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Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios MA093 – Matemática básica 2 Ângulos notáveis. Funções trigonométricas de qualquer ângulo Francisco A. M. Gomes UNICAMP - IMECC Setembro de 2018 Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios Tópicos importantes O objetivo dessa aula é investigar 1 Ângulos notáveis. 2 Ângulos de referência. 3 Funções trigonométricas de quaisquer ângulos. Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios Descobrindo seno e cosseno de 30◦, 45◦ e 60◦ Dividindo ao meio um triângulo equilátero de lado 1, obtemos sen(60◦) = cos(30◦) = √ 3 2 cos(60◦) = sen(30◦) = 1 2 Do triângulo retângulo isósceles de hipotenusa 1, obtemos sen(45◦) = cos(45◦) = √ 2 2 Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios Descobrindo a tangente de 30◦, 45◦ e 60◦ No triângulo retângulo, tan(θ) = cat. oposto cat. adjacente = sen(θ) cos(θ) Logo, tan(30◦) = sen(30◦) cos(30◦) = 1/2√ 3/2 = √ 3 3 tan(60◦) = sen(60◦) cos(60◦) = √ 3/2 1/2 = √ 3 tan(45◦) = sen(45◦) cos(45◦) = √ 2/2√ 2/2 = 1 Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios Seno, cosseno e tangente de ângulos notáveis θ 0 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 0 π/6 π/4 π/3 π/2 sen(θ) 0 1/2 √ 2/2 √ 3/2 1 cos(θ) 1 √ 3/2 √ 2/2 1/2 0 tan(θ) 0 √ 3/3 1 √ 3 – Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios Seno e cosseno de ângulos maiores que 90◦ Seja P = (x̄ , ȳ) o ponto da circunferência unitária associado ao ângulo θ. Nesse caso, definimos sen(θ) = ȳ e cos(θ) = x̄ Por exemplo, para θ = 120◦, temos P(θ) = (cos(θ), sen(θ)) = ( −1 2 , √ 3 2 ) . Observe que sen(θ) e cos(θ) podem ser negativos. Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios Alguns valores do seno e do cosseno Cada ponto Pi da circunferência unitária tem coordenadas xi e yi dadas por Pi = (cos(θ), sen(θ)), Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios Sinal das funções trigonométricas O sinal das funções trigonométricas varia de acordo com o quadrante. A figura ao lado mostra os sinais das funções em cada quadrante. Assim, sen(θ) > 0 em I e II; cos(θ) > 0 em I e IV; tan(θ) > 0 em I e III. Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios Ângulo de referência Para todo ângulo θ definimos um ângulo de referência, que é o ângulo entre o eixo-x e o lado terminal de θ. No 1o quadrante (0 < θ < 90◦), o ângulo de referência é θ̄ = θ. Para calcular sen(θ) e cos(θ): 1 Obtemos o ângulo de referência θ̄. 2 Calculamos sen(θ̄) ou cos(θ̄). 3 Definimos o sinal, de acordo com a transparência anterior. Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios Seno e cosseno no segundo quadrante Se θ está no 2o quadrante (90◦<θ<180◦), definimos o ângulo de referência θ̄ = 180◦ − θ. Nesse caso, sen(θ) = sen(θ̄) cos(θ) = −cos(θ̄) Exemplos: sen(150◦) = sen(180◦ − 150◦) = sen(30◦) = 1/2. cos(135◦) = −cos(180◦ − 135◦) = −cos(45◦) = − √ 2/2. Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios Seno e cosseno no terceiro quadrante Para θ no 3o quadrante (180◦<θ<270◦), definimos o ângulo de referência θ̄ = θ − 180◦. Nesse caso, sen(θ) = −sen(θ̄) cos(θ) = −cos(θ̄) Exemplos: sen(210◦) = −sen(210◦ − 180◦) = −sen(30◦) = −1/2. cos(225◦) = −cos(225◦ − 180◦) = −cos(45◦) = − √ 2/2. Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios Seno e cosseno no quarto quadrante Para θ no 4o quadrante (270◦<θ<360◦), definimos o ângulo de referência θ̄ = 360◦ − θ. Nesse caso, sen(θ) = −sen(θ̄) cos(θ) = cos(θ̄) Exemplos: sen(330◦) = −sen(360◦ − 330◦) = −sen(30◦) = −1/2. cos(315◦) = cos(360◦ − 315◦) = cos(45◦) = √ 2/2. Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios Relembrando os triângulos retângulos Em um triângulo retângulo, temos tan(θ) = cateto opostocateto adjacente = 1 tan(θ) cot(θ) = cateto adjacentecateto oposto = 1 tan(θ) sec(θ) = hipotenusacateto adjacente = 1 cos(θ) csc(θ) = hipotenusacateto oposto = 1 sen(θ) Observe que tan(θ) = sen(θ)cos(θ) e cot(θ) = cos(θ) sen(θ) . Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios Coordenadas e funções trigonométricas Se (x , y) são as coordenadas de um ponto P da circunferência unitária, então sen(θ) = y cos(θ) = x tan(θ) = yx csc(θ) = 1y sec(θ) = 1 x cot(θ) = x y Observe que: tan(θ) e sec(θ) não estão definidas quando x = 0. cot(θ) e csc(θ) não estão definidas quando y = 0. Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios Ângulos notáveis no segundo quadrante θ 90◦ 60◦ 45◦ 30◦ 0 sen(θ) 1 √ 3/2 √ 2/2 1/2 0 cos(θ) 0 1/2 √ 2/2 √ 3/2 1 tan(θ) – √ 3 1 √ 3/3 0 θ 90◦ 120◦ 135◦ 150◦ 180◦ sen(θ) 1 √ 3/2 √ 2/2 1/2 0 cos(θ) 0 −1/2 − √ 2/2 − √ 3/2 −1 tan(θ) – − √ 3 −1 − √ 3/3 0 Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios Outros ângulos notáveis θ 0◦ 90◦ 180◦ 270◦ 360◦ sen(θ) 0 1 0 −1 0 cos(θ) 1 0 −1 0 1 tan(θ) 0 – 0 – 0 csc(θ) – 1 – −1 – sec(θ) 1 – −1 – 1 cot(θ) – 0 – 0 – Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios Ângulos coterminais Funções trigonométricas Funções trigonométricas têm o mesmo valor para ângulos coterminais. sen(765◦) = sen(45◦) = sen(−315◦) = √ 2/2. cos(765◦) = cos(45◦) = cos(−315◦) = √ 2/2. tan(765◦) = tan(45◦) = tan(−315◦) = 1. Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios Calculando o seno e o cosseno de ângulos quaisquer Aproximações por séries Supondo que x seja dado em radianos, temos sen(x) = x − x 3 3! + x5 5! − x 7 7! + · · · cos(x) = 1− x 2 2! + x4 4! − x 6 6! + · · · Para x = π/9 = 20◦, somando os 4 termos acima obtemos sen(π9 ) ≈ 0, 3420201431 (melhor aproximação: 0,3420201433) cos(π9 ) ≈ 0, 9396926153 (melhor aproximação: 0,9396926208) Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios Exerćıcio 1 Problema Indique o quadrante associado aos ângulos abaixo e dê o sinal do seno de cada um deles. 150◦, 210◦ e 330◦. A) +, +, − B) +, −, − C) +, −, + D) −, −, + E) −, +, + Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios Exerćıcio 2 Problema Determine o ângulo de referência associado a cada ângulo abaixo. 100◦, 345◦ e 250◦ 80◦, 15◦, 70◦. Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios Exerćıcio 3 Problema Sabendo que sen(60◦) = √ 3/2, calcule sen(120◦), sen(240◦) e sen(300◦). Dica: marque arcos na circunferência unitária. √ 3/2, − √ 3/2, − √ 3/2. Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios Exerćıcio 4 Problema Indique o quadrante associado aos ângulos abaixo e dê o sinal do cosseno de cada um deles. 120◦, 240◦ e 300◦. A) +, +, − B) +, −, − C) +, −, + D) −, −, + E) −, +, + Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios Exerćıcio 5 Problema Sabendo que cos(60◦) = 1/2, calcule cos(240◦) e cos(300◦). Dica: marque arcos na circunferência unitária. −1/2, 1/2. Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios Exerćıcio 6 Problema Seja 0 ≤ x ≤ 180◦. Se sen(x) = 3/5, calcule cos(x) e cos(x + 180◦). 4/5, −4/5. Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios Exerćıcio 7 Problema Sabendo que sen(45◦) = cos(45◦) = √ 2/2, calcule tan(45◦), tan(135◦) e tan(225◦). Dica: marque arcos na circunferência unitária. 1, −1, 1. Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios Exerćıcio 8 Problema Sem usar calculadora, determine sen(780◦). Dica:ache um ângulo coterminal a 780◦ no intervalo [0, 360◦]. sen(780◦) = sen(60◦) = √ 3/2. Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios Exerćıcio 9 Problema Sabendo que sen(30◦) = 1/2 e cos(30◦) = √ 3/2, determine sec(150◦), csc(150◦) e cot(150◦). Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exercícios
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