Unidade VI Aplicações de Derivadas

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Cálculo Diferencial 
Aplicações de Derivadas
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Dra. Ana Lúcia Manrique
Revisão Textual:
Profa. Ms. Selma Aparecida Cesarin
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Nesta Unidade, estudaremos como utilizar os conceitos de limites e de derivadas para 
fazermos uma análise geral do comportamento de uma função de uma variável real, 
identificando seus pontos de máximo e de mínimo, as inflexões, os intervalos de crescimento 
e de decrescimento e de concavidade do gráfico da função, bem como possíveis assíntotas. 
Com relação aos conteúdos, dividimos em:
•	 Máximo e Mínimo;
•	 Crescimento e Decrescimento;
•	 Inflexão;
•	 Concavidade.
Ao término deste estudo, desejamos que você seja capaz de esboçar o gráfico de uma função 
de uma variável real, utilizando a primeira e a segunda derivadas.
Para ajudar, realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça os exemplos resolvidos, 
além de treinar com as atividades práticas disponíveis e suas resoluções ao final do conteúdo. 
Finalmente, e o mais importante, fique atento às atividades avaliativas propostas e ao prazo 
para realização. 
Nesta unidade, a discussão é sobre a análise do comportamento de uma 
função de uma variável real. Nesta análise, estudaremos os pontos críticos, 
mais especificamente, os pontos de máximo e de mínimo, e os intervalos 
de crescimento e de decrescimento da função. Continuaremos nessa 
análise com a identificação dos intervalos de concavidade para cima e de 
concavidade para baixo, bem como dos pontos de inflexão.
Aplicações de Derivadas
 · Introdução
 · Análise do Comportamento de uma Função
 · Teorema de Fermat
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Unidade: Aplicações de Derivadas
Contextualização
Fazemos uso de derivadas em diferentes campos do saber e em problemas do dia a dia. Um 
dos problemas que ocorre em diversas situações práticas refere-se à otimização de recursos, por 
exemplo, em determinar quais são os recursos a serem comprados ou usados de maneira a obter 
o máximo lucro ou o mínimo custo.
Dado um problema em que se quer maximizar ou minimizar um objetivo que depende de 
algumas variáveis, torna-se necessário, primeiramente, determinar quais são as variáveis que 
afetam este objetivo.
Vejamos um problema.
Considere que temos um terreno para lotear e cada lote terá dimensões retangulares, com 
100 m de perímetro. Queremos determinar as dimensões do lote retangular de forma a obter a 
maior área.
Resolução
Como o lote terá a forma retangular, então, podemos pensar que este lote terá uma medida 
x de comprimento e uma medida y de largura.
X
y
Foi dado no enunciado do problema que o lote terá 100 m de perímetro; então, podemos 
escrever que:
2 2 100x y+ =
Alem disso, se quer que a área do lote seja a máxima possível, considerando este perímetro.
( )
( )
 
.
máximizar Área
máx x y
7
Como as medidas de comprimento e largura estão relacionados pelo perímetro, podemos 
escrever que:
2 2 100 50x y y x+ = ⇒ = −
Substituindo y na expressão da área do lote retangular, temos que:
( )
( ) 2
 . . 50
50
Área A x y x x
A x x x
= = −
= −
Como queremos saber em que valores de x a área do lote será máxima, podemos derivar 
esta função área e igualar a zero, para verificar se existe um valor de x em que a área seja 
máxima. Então, derivando esta função e igualando a zero temos:
Desta forma, podemos concluir que em x=25 a função área terá seu valor máximo. E para 
determinar o valor de y voltamos para a equação do perímetro, que relaciona as duas variáveis x e y.
2 2 100
2.25 2 100
25
x y
y
y
+ =
+ =
=
Assim, obtemos as dimensões do lote, 25 m de largura e 25 m de comprimento.
Este é um exemplo da utilização de derivadas para resolver problemas.
( )
( )
( )
' 50 2 0 25
' 0 50 2.0 50 0
' 30 50 2.30 10 0
A x x
A
A
x = − = → =
= − = >
= − = − <
'A
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Unidade: Aplicações de Derivadas
Introdução
Nesta Unidade, estudaremos como utilizar os conceitos de limites e de derivadas para fazermos 
uma análise geral do comportamento de uma função de uma variável real, identificando seus 
pontos de máximo e de mínimo, as inflexões, os intervalos de crescimento e de decrescimento 
e de concavidade do gráfico da função.
Análise do Comportamento de uma Função
Consideremos o gráfico da função f(x) = x4 - 2x2 - 1.
Podemos dizer que esta é uma função contínua e diferenciável em todo o seu domínio.
Vamos detalhar um pouco mais estas análises, identificando alguns pontos no gráfico. 
Consideremos, primeiramente, valores negativos para x. Isto significa que estamos analisando a 
parte do gráfico da função que está no 2o e 3o quadrantes.
Se tomamos o valor de x1 = - 1, 7, então o que posso dizer do valor da função em x1 = -1, 7, 
ou seja, do valor de f(- 1, 7)? Podemos identificar o ponto (- 1, 7; f(- 1, 7)) no gráfico e verificar 
que f(-1, 7) > 0.
E se x3=-1,3, o que podemos dizer de f(-1,3)? Podemos também identificar esse ponto 
(-1,3;f(-1,3)) no gráfico e verificar que f(-1,3)< 0.
9
Como f(- 1, 7) > 0 e f(- 1, 3) < 0 e f é contínua, temos que o gráfico da função f cruza o eixo das 
abscissas, o eixo x. Também podemos dizer que existe um valor x2 tal que o gráfico corta o eixo x, ou 
seja, que f(x2 )=0 e que o valor que zera a função pertence ao intervalo [- 1, 6;-1,5].
Consideremos outro intervalo fechado [- 1, 8; - 1, 2] e peguemos alguns valores de x deste 
intervalo. Percebemos que, quando os valores de x aumentam, os valores de f(x) diminuem. 
Além de identificarmos que o gráfico da função corta o eixo x, podemos também verificar que 
o gráfico da função está decrescendo neste intervalo.
Vamos considerar, agora, o valor de x5=-0,8. Então, o que posso dizer do valor da função em 
x5= - 0, 8, ou seja, do valor de f(- 0, 8)? Podemos identificar o ponto (- 0, 8; f(- 0, 8)) no gráfico 
e verificar que f(- 0, 8) < 0.
E se x6= - 0, 4, o que podemos dizer de f(- 0, 4)? Podemos também identificar esse ponto 
(- 0, 4; f(- 0, 4)) no gráfico e verificar que f(- 0, 4) < 0.
Consideramos o intervalo fechado [- 0, 9; - 0, 2] e pegamos alguns valores de x deste intervalo. 
Percebemos que, quando os valores de x aumentam, os valores de f(x) também aumentam, ou 
seja, podemos verificar que o gráfico da função está crescendo neste intervalo.
Façamos uma análise do que acontece com o gráfico da função quando consideramos apenas 
valores negativos para x. Percebemos que o gráfico da função que estava decrescendo começa 
a crescer. Então, existe um ponto no qual o gráfico muda de decrescimento para crescimento.
Vamos pensar em retas tangentes ao gráfico desta função. Pensemos em um caso bastante 
especial, no qual temos retas tangentes horizontais, ou seja, em que valores de x tem coeficientes 
angulares nulos, ou mais especificamente, para quais valores do domínio temos derivada da 
função igual a zero?
Percebemos que para x4 = -1 temos uma reta tangente horizontal. Além disso, é nesse ponto 
que o gráfico da função deixa de apresentar um decrescimento para apresentar um crescimento.
Neste caso, dizemos que no ponto (x4, f(x4)) a função apresenta um ponto de mínimo local, 
sendo f(x4) esse valor mínimo.
Vejamos a derivada da função:
( )
( )
4 2
3
2 1
' 4 4
f x x x
f x x x
= − −
= −
Se identificamos no gráfico um ponto em que a tangente é horizontal, então é possível 
determinar este valor utilizando a expressão algébrica da função derivada. Deste modo, queremos 
saber os valores de x tais que f’(x)=0. Então, vamos igualar a expressão da derivada a zero.
( ) 3' 4 4 0f x x x= − =
Percebemos que temos o termo (4x) em comum e o colocamos em evidência na expressão.
10
Unidade: Aplicações de Derivadas
24 ( 1) 0x x − =
Se temos o produto de dois números com resultado zero, é porque um dos dois números é 
zero ou os dois são zero. Assim, podemos separar este produto em duas sentenças:
2
4 0 0
1 0 1 0 1 0 
 1 1
x x
x x ou x
x ou x
= ⇒ =
− = ⇒ + = − = ⇒
⇒ = − =
Temos agora outras informações: existem três pontos do gráfico nos quais a função possui 
uma reta tangentehorizontal, ou seja, nos quais a derivada é nula, quais sejam: x = -1 e x = 
0 e x = 1. E, ao analisarmos o gráfico da função nestes pontos, percebemos que nestes pontos 
existe a mudança de crescimento para decrescimento, ou vice-versa.
No ponto x7=0, percebemos que a função apresenta um crescimento e, a partir deste ponto, 
a função apresenta um decrescimento. 
 Neste caso, dizemos que no ponto (x7, f(x7)) a função apresenta um ponto de máximo local, 
sendo f(x7) esse valor máximo.
E ao verificarmos o que ocorre no gráfico próximo ao último valor encontrado, em que 
temos a derivada igual a zero, x = 1, percebemos que a função apresenta um valor mínimo 
neste ponto, pois a função apresenta um decrescimento em valores menores que x = 1 e um 
crescimento em valores maiores que x=1.
Coloquemos algumas destas informações no quadro:
x1 x2 x3 x4 = -1 x5 x6 x7 = 0
f(x1)>0 f(x2)=0 f(x3)<0 f'(x4)=0 f(x5)<0 f(x6)<0 f'(x7 )=0
Gráfico corta o eito x.
Decrescimento da função
Crescimento da funçãoReta tangente horizontal Mínimo
Reta tangente 
horizontal máximo
Vejam quantas informações já temos da função f(x)=x4-2x2-1 ao analisarmos seu gráfico e 
sua expressão algébrica!
Iremos sintetizar estas informações.
Definição
Uma	função	f	 tem	máximo	absoluto	em	x	=	c,	se	f(c)	≥	f(x),	para	todo	x	pertencente	ao	
domínio da função. E o número f(c) é chamado de valor máximo da função f em seu domínio.
Definição
Uma	função	f	 tem	mínimo	absoluto	em	x	=	c,	se	 f(c)	≤	f(x),	para	 todo	x	pertencente	ao	
domínio da função. E o número f(c) é chamado de valor mínimo da função f em seu domínio.
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Entretanto, quando a função apresentar estas condições nas proximidades de x = c, ou seja, 
em um intervalo aberto contendo c, chamamos estes valores de máximo local e mínimo local.
E chamamos estes valores máximos e mínimos da função de valores extremos da função.
Retomando a análise que estamos realizando da função f(x) = x4 - 2x2 - 1, percebemos que:
 » em x = - 1 a função apresenta um valor mínimo absoluto, pois não existe outro valor 
do domínio da função que tenha f(x) < f(c); 
 » em x = 0 a função apresenta um valor máximo local, pois nas proximidades deste valor 
temos f(x) < f(c); e
 » em x = 1 a função apresenta um valor mínimo absoluto, pois não existe outro valor do 
domínio da função que tenha f(x) < f(c).
Percebemos que em x = 0 temos um máximo local, mas este valor não é absoluto, pois, 
existem valores de x tais que f(x) > f(0) – por exemplo, para x = 2, temos f(2) > f(0).
Podemos, também, apontar outra característica destes valores extremos da função: eles 
ocorreram nos pontos em que a derivada da função é zero. Este é um teorema.
Teorema de Fermat
Se f tiver um máximo ou mínimo local em c e f ‘(c) existir, então f ‘(c) = 0.
Este teorema sugere como devemos proceder para que encontremos os valores extremos da 
função: derivar a função e igualar a zero.
Voltamos a fazer um estudo da derivada da função f(x)=x4-2x2-1. Qual será o sinal da 
derivada para x < – 1? Consideremos x = – 2
( )
( ) ( ) ( )
3
3
' 4 4
' 2 4 2 4 2 32 8 24 0
f x x x
f
= −
− = − − − = − + = − <
Já vimos que para x < – 1, a função é decrescente.
Vejamos o sinal da derivada para um valor no intervalo – 1 < x < 0. Consideremos x = – 0,5.
( )
( ) ( ) ( )
3
3
' 4 4
0,5 4 0,5 4 0,5 0,5 2 1,5 0
f x x x
f
= −
− = − − − = − + = >′
12
Unidade: Aplicações de Derivadas
Já vimos que para – 1 < x < 0, a função é crescente.
E qual o sinal da derivada para um valor no intervalo 0 < x < 1? Consideremos x = 0,5.
( )
( ) ( ) ( )
3
3
' 4 4
' 0,5 4 0,5 4 0,5 0,5 2 1,5 0
f x x x
f
= −
= − = − = − <
Para 0 < x < 1, a função é decrescente.
E para um valor no intervalo x > 1, qual será o sinal da derivada?
Consideremos x = 2.
( )
( ) ( ) ( )
3
3
' 4 4
' 2 4 2 4 2 32 8 24 0
f x x x
f
= −
= − = − = >
Para x > 1, a função é crescente.
Coloquemos todas essas informações em um esquema.
Assim, podemos concluir que:
 » se f ‘(x) > 0 em um intervalo, então f é crescente neste intervalo;
 » se f ‘(x) < 0 em um intervalo, então f é decrescente neste intervalo;
 » f apresenta valor mínimo local em c quando f ‘(c) = 0, ou não existe, e se a derivada 
mudar do sinal negativo para o positivo
 » f apresenta valor máximo local em c quando f ‘(c) = 0, ou não existe, e se a derivada 
mudar do sinal positivo para o negativo.
Além dessas análises, podemos realizar um estudo sobre a concavidade da curva do gráfico 
da função por meio da segunda derivada. 
f
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Vamos analisar novamente o gráfico da função f(x) = x4 - 2x2 - 1.
 É possível perceber que a função apresenta decrescimento em dois intervalos: para x < –1 e para 
0 < x < 1. Entretanto, as concavidades das curvas nestes dois intervalos são diferentes, no primeiro 
intervalo, a concavidade é para cima e no segundo intervalo a concavidade é para baixo.
Estudemos a segunda derivada da função.
( )
( )
( )
4 2
3
2
2 1
' 4 4
'' 12 4
f x x x
f x x x
f x x
= − −
= −
= −
Para quais valores a segunda derivada é zero?
( ) 2
2
'' 12 4 0
4 1
12 3
1 3
33
3 3 
3 3
f x x
x
x
x ou x
= − =
= =
= ± = ±
= = −
E vamos estudar o sinal da segunda derivada.
•	 para 3
3
x < − , seja x = –1.
( )
( ) ( )
2
2
" 12 4
" 1 12 1 4 8 0
f x x
f
= −
− = − − = >
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Unidade: Aplicações de Derivadas
•	 para 3 3
3 3
x− < < , seja x = 0.
( )
( ) ( )
2
2
" 12 4
" 0 12 0 4 4 0
f x x
f
= −
= − = − <
•	 para 3
3
x > , seja x = 1.
( )
( ) ( )
2
2
" 12 4
" 1 12 1 4 12 4 8 0
f x x
f
= −
= − = − = >
E coloquemos estas informações sobre a segunda derivada em um esquema.
Podemos perceber que os valores encontrados como raízes da segunda derivada da função 
correspondem aos pontos do gráfico da função f em que existe a mudança de concavidade. 
Em 3 
3
x = − , o gráfico da função f muda de uma concavidade para cima para uma concavidade 
para baixo. E em 3
3
x = o gráfico da função f muda de uma concavidade para baixo para uma 
concavidade para cima. E estes pontos são chamados de pontos de inflexão.
Definição
Um ponto P sobre uma curva é chamado de ponto de inflexão se a curva mudar de 
concavidade para cima para concavidade para baixo ou vice-versa em P.
Então, podemos concluir que se a segunda derivada de uma função possuir sinal positivo em 
um intervalo, a concavidade da função será para cima. E se a segunda derivada de uma função 
possuir sinal negativo em um intervalo, então, a concavidade da função será para baixo.
Ainda podemos fazer um estudo sobre a existência de assíntotas ao gráfico da função. Como 
a função é contínua no conjunto dos números reais, por ser uma função polinomial, então, não 
existe assíntota vertical. 
f
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E para saber se o gráfico da função possui uma assíntota horizontal, precisamos verificar os 
seguintes limites:
( ) ( )
( ) ( )
4 2
4 2
lim lim 2 1 
lim lim 2 1 
x x
x x
f x x x
f x x x
→+∞ →+∞
→−∞ →−∞
= − − = +∞
= − − = −∞
Portanto, o gráfico da função não possui assíntota horizontal nem assíntota vertical.
Vamos propor um Roteiro para esboçar o gráfico de uma função f de uma variável real:
1. Como primeira ação, começamos determinando o domínio da função f;
2. Dependendo da expressão algébrica dada para a função, é possível determinar os 
valores de x que zeram a função, ou seja, tal que f(x)=0 – determinamos os pontos do 
gráfico que cortam o eixo x;
3. Determinamos, também, o ponto do gráfico que corta o eixo y, ou seja, qual é o 
valor de f(0);
4. Começamos a estudar o sinal da derivada da função, com a determinação dos 
intervalos de crescimento e decrescimento. E nos valores que zeram a derivada da 
função, identificamos os possíveis pontos de máximo e de mínimo locais;
5. Depois, passamos a estudar o sinal da segunda derivada da função, com a determinação 
dos intervalos de concavidade para cima e de concavidade para baixo, identificando os 
possíveis pontos de inflexão;
6. E, por último, verificamos se a função possui assíntotas horizontaise verticais.
Com estas informações podemos esboçar o gráfico da função.
Exemplos
1. Seja f(x) = x3 - 2x2 + 1. Como a função é polinomial Df= .
Primeiramente, vamos analisar o comportamento desta função por meio de sua derivada.
( )
( )
2
2
' 3 4
3 4 0
3 4 0
40 ou 
3
f x x x
x x
x x
x x
= −
− =
− =
= =
Por meio da derivada, encontramos dois valores de x que podem ser extremos da função.

16
Unidade: Aplicações de Derivadas
Vamos realizar um estudo do sinal da derivada. Queremos saber se a função apresenta um 
crescimento ou um decrescimento nas proximidades destes pontos para identificarmos se a 
função apresenta máximo ou mínimo local. 
Sabemos que nestes pontos encontrados, a derivada é nula. E o que ocorre antes e após 
estes valores?
Se encontrarmos o sinal da derivada positivo, significa que temos um crescimento da função. E se 
encontrarmos o sinal da derivada negativo, significa que temos um decrescimento da função.
Para estudar o sinal da derivada f ’(x) = 3x2 - 4x, necessitamos saber do sinal da função 
derivada para qualquer valor de x nos seguintes intervalos:
( )
2
2
0 : 2, ( 2) 3( 2) 4( 2) 12 8 20 0
0 : ' 0 0
40 : 1, (1) 3(1) 4(1) 3 4 1 0
3
4 4: ' 0
3 3
x seja x então f
x f
x seja x então f
x f
′− < = − − = − − − = + = >
− = =
′− < < = = − = − = − <
 − = = 
 
24 : 2, (2) 3(2) 4(2) 12 8 4 0
3
x seja x então f ′− > = = − = − = >
Coloquemos estes sinais da derivada da função em um esquema, que facilitará a identificação 
do crescimento e decrescimento e os valores de máximo e de mínimo locais.
Desta forma, podemos afirmar que a função f(x) = x3 - 2x2 + 1 apresenta:
 » crescimento	no	intervalo	]-∞,0[
 » decrescimento no intervalo 40,
3
 
  
 » crescimento no intervalo 4 ,
3
 +∞  
 » valor máximo local em f(0)=1
 » valor mínimo local em 
3 24 4 4 5 2 1
3 3 3 27
f      = − + = −     
     
f
17
Estudemos, agora, a segunda derivada da função f(x) = x3 - 2x2+1.
( )
( )
( )
3 2
2
2 1.
' 3 4
" 6 4
f x x x
f x x x
f x x
= − +
= −
= −
Igualando a zero a segunda derivada, teremos os possíveis pontos de inflexão do gráfico que 
mostram a mudança de concavidade do gráfico da função.
6 4 0
4 2
6 3
x
x
− =
= =
E estudemos o sinal da segunda derivada nos dois intervalos que este ponto nos fornece: 
2 2 ou 
3 3
x x< >
 » para 2
3
x < , seja x = 0, então f”(0) = 6 . 0 - 4 = - 4 < 0 ⟹ f tem concavidade para 
baixo para 
2
3
x < ;
 » para 
2
3
x > , seja x=1, então f”(1) = 6 . 1 - 4 = 2 > 0 ⟹ f tem concavidade para cima 
para .
Desta forma, como existe a mudança de concavidade do gráfico da função em x=2/3 , 
podemos concluir que este é o ponto de inflexão do gráfico da função.
Vejamos o gráfico da função f(x) = x3 - 2x2 + 1.
 
18
Unidade: Aplicações de Derivadas
2. Seja f(x) = x3 e estudemos o comportamento desta função. Como a função é polinomial 
Df= . 
Primeiramente, vamos estudar a primeira derivada da função.
( )
( )
3
2' 3
f x x
f x x
=
=
Igualamos a zero a derivada da função e determinamos os possíveis candidatos a extremos 
da função, máximos e mínimos.
23 0
0
x
x
=
=
Estudemos o sinal da derivada em pontos dos seguintes intervalos:
( )
2
2
0 0
0 : 1, ( 1) 3( 1) 3 0
0 : ' 0 0
0 : 1, (1) 3(1) 3 0
x x
x seja x então f
x f
x seja x então f
< >
′− < = − − = − = >
− = =
′− > = = = >
Estas	informações	nos	mostram	que	o	sinal	de	derivada	é	sempre	positivo	para	x≠0.	Desta	
forma, a função só cresce e não possui nem máximo e nem mínimo.
Estudemos a segunda derivada para determinarmos a concavidade do gráfico da função.
( )
( )
( )
3
2' 3
" 6
f x x
f x x
f x x
=
=
=
Igualando a zero a segunda derivada, obtemos os candidatos a pontos de inflexão.
6 0 0x x= ⇒ =
Estudemos o sinal da segunda derivada em pontos dos seguintes intervalos:
•	 ( ) ( )0 : 1, " 1 6. 1 6 0x seja x então f< =− − = − = − < ⇒ a função tem concavidade para baixo 
em x<0
•	 ( )0 : " 0 0x f= =
•	 ( )0 : 1 , " 1 6.1 6 0x seja x então f> = = = > ⇒ a função tem concavidade para cima em x>0.

19
Vejamos o gráfico da função f(x) = x3
3. Seja f(x)= 2 + 3x - x3, Df= .
Primeiramente, vamos analisar o comportamento desta função por meio de sua derivada.
( ) 2
2
2
' 3 3
3 3 0
1
1 ou 1
f x x
x
x
x x
= −
− =
=
= − =
Encontramos por meio da derivada dois valores de x que podem ser extremos da função.
Vamos realizar um estudo do sinal da derivada. Queremos saber se a função apresenta um 
crescimento ou um decrescimento nas proximidades destes pontos para identificarmos se a 
função apresenta máximo ou mínimo local. 
Sabemos que nestes pontos encontrados, a derivada é nula, e o que ocorre antes e após 
estes valores?
Se encontrarmos o sinal da derivada positivo, significa que temos um crescimento da função. E se 
encontrarmos o sinal da derivada negativo, significa que temos um decrescimento da função.
Para estudar o sinal da derivada f’ (x)= 3 - 3x2, necessitamos saber do sinal da função 
derivada para qualquer valor de x nos seguintes intervalos:
( )
( )
2
2
2
1: 2, ( 2) 3 3( 2) 3 12 9 0
1: ' 1 0
1 1: 0, (0) 3 3(0) 3 0
 1: ' 1 0
1: 2, (2) 3 3(2) 3 12 9 0ã
x seja x então f
x f
x seja x então f
x f
x seja x ent o f
′− < − = − − = − − = − = − <
= − =
′− < < = = − = >
− = =
′− > = = − = − = − <

20
Unidade: Aplicações de Derivadas
Coloquemos estes sinais da derivada da função em um esquema, que facilitará a identificação 
do crescimento e decrescimento e os valores de máximo e de mínimo locais.
Desta forma, podemos afirmar que a função f(x) = 2 + 3x - x3 apresenta:
 » decrescimento	no	intervalo	]-∞,-1[
 » crescimento no intervalo ]-1,1[
 » decrescimento	no	intervalo	]1,+∞[
 » valor máximo local em f(1)= 2 + 3 - 1 = 4
 » valor mínimo local em f(-1)= 2 + 3 . (-1) - (-1)3 = 0
Estudemos agora a segunda derivada da função f(x) = 2 + 3x - x3.
( )
( )
( )
3
2
2 3
' 3 3
" 6
f x x x
f x x
f x x
= + −
= −
= −
Igualando a zero a segunda derivada, teremos os possíveis pontos de inflexão do gráfico que 
mostra a mudança de concavidade do gráfico da função.
6 0
0
x
x
− =
=
E estudemos o sinal da segunda derivada nos dois intervalos que este ponto nos fornece.
•	 para x < 0, seja x = -1, então f”(-1) = - 6 . (-1) = 6 > 0 ⟹ f tem concavidade para cima 
para x<0;
•	 para x > 0, seja x = 1, então f”(1) = - 6 . 1 = - 6 < 0 ⟹ f tem concavidade para baixo 
para x > 0.
Desta forma, como existe a mudança de concavidade do gráfico da função em x = 0 , 
podemos concluir que este é o ponto de inflexão do gráfico da função.
Vejamos o gráfico da função f(x) = 2 + 3x - x3.
f
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Unidade: Aplicações de Derivadas
Material Complementar
Para pesquisar e aprofundar seus estudos sobre Derivadas consulte o site e as referências a seguir. 
Sites
 » https://pt.khanacademy.org/math/differential-calculus/taking-derivatives/visualizing-
derivatives-tutorial/v/graphs-of-functions-and-their-derivatives-example-1
 » https://pt.khanacademy.org/math/differential-calculus/taking-derivatives/visualizing-
derivatives-tutorial/v/where-a-function-is-not-differentiable
 » http://omatematico.com/Novo/NIVELSUPERIOR/derivadas/derivadas.html
Referências Bibliográficas
ANTON, H. Cálculo, Um Novo Horizonte. v. 1. Porto Alegre: Bookman, 2000;
STEWART, J. Cálculo. v. 1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2009;
THOMAS, G. Cálculo. v. 1. São Paulo: Addison Wesley, 2003.
https://pt.khanacademy.org/math/differential-calculus/taking-derivatives/visualizing-derivatives-tutorial/v/graphs-of-functions-and-their-derivatives-example-1
https://pt.khanacademy.org/math/differential-calculus/taking-derivatives/visualizing-derivatives-tutorial/v/graphs-of-functions-and-their-derivatives-example-1
https://pt.khanacademy.org/math/differential-calculus/taking-derivatives/visualizing-derivatives-tutorial/v/where-a-function-is-not-differentiable
https://pt.khanacademy.org/math/differential-calculus/taking-derivatives/visualizing-derivatives-tutorial/v/where-a-function-is-not-differentiablehttp://omatematico.com/Novo/NIVELSUPERIOR/derivadas/derivadas.html
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Referências
STEWART, J. Cálculo. v.1 4.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning. 2001.
LARSON, R.; HOSTETLER, R. P.; EDWARDS, B. H. Cálculo. v.1. São Paulo: McGraw-Hill, 2006
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Unidade: Aplicações de Derivadas
Anotações