Aula 5 EDO 2012

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JU´LIO DE MESQUITA FILHO”
UNESP - Campus de Ilha Solteira - Departamento de Matema´tica
EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS - 2012.
Aula 05 (27/03) Equac¸o˜es Exatas
Outra classe de equac¸o˜es de primeira ordem para qual existe um me´todo espec´ıfico de encontra
as soluc¸o˜es
Consideremos a equac¸a˜o
y
′
= f(x, y)
na forma
M(x, y) +N(x, y) y
′
= 0
Quando M(x, y) = M(x) e N(x, y) = N(y) a equac¸a˜o e´ a varia´veis separa´veis.
Suponhamos que exista Ψ tal que
∂Ψ
∂x
(x, y) = M(x, y) e
∂Ψ
∂y
(x, y) = N(x, y)
de modo que
Ψ(x, y) = c ,
defina y = φ(x), implicitamente, como func¸a˜o diferencia´vel de x. Neste caso,
d
∂x
Ψ[x,φ(x)]︷ ︸︸ ︷
∂Ψ
∂x
(x, y) +
∂Ψ
∂y
(x, y)
dy
dx
= M(x, y) +N(x, y) y
′
= 0.
Logo
d
∂x
Ψ[x, φ(x)] = 0.
Quando isto acontece dizemos que a equac¸a˜o e´ EXATA. Esta u´ltima equac¸a˜o e´ equivalente a`
equac¸a˜o original. Claro que
Ψ(x, φ(x)) = c ,
o que define (implicitamente !) y como func¸a˜o de x. Assim
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Basta encontrar a func¸a˜o potencial
Ψ(x) quando a equac¸a˜o for exata
O pro´ximo resultado fornece condic¸o˜es necessa´rias e suficientes para a existeˆncia da func¸a˜o po-
tencial Ψ.
Teorema Suponha que as func¸o˜es M , N , My e Nx sa˜o cont´ınuas numa regia˜o retangular
R = {(x, y) : α < x < β , γ < y < δ}.
Enta˜o a equac¸a˜o
M(x, y) +N(x, y) y
′
= 0
e´ exata, isto e´, existe uma func¸a˜o Ψ com
Ψx(x, y) = M(x, y) e Ψy(x, y) = N(x, y) ,
se, e somente se,
My(x, y) = Nx(x, y) , ∀(x, y) ∈ R.
Para encontrar a soluc¸a˜o da equac¸a˜o
devemos encontrar a func¸a˜o potencial Ψ(x)
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Como construir a func¸a˜o potencial:
De Ψx(x, y) = M(x, y) segue (integrando em x) que
Ψ(x, y) =
∫
Ψx(x, y) dx =
∫
M(x, y) dx︸ ︷︷ ︸
Q(x,y)
+ L(y)︸︷︷︸
constante em x
.
Claro que
M cont´ınua =⇒ Q deriva´vel, com Qx = M
Derivando esta u´ltima igualdade em relac¸a˜o a y obtemos que
Ψy(x, y) =
∂Q
∂y
(x, y) + L
′
(y) = N(x, y)
Portanto
L
′
(y) = N(x, y)− ∂Q
∂y
(x, y) =⇒ L(y) =
∫ [
N(x, y)− ∂Q
∂y
(x, y)
]
dy.
Encontrar L(y) significa determinar Ψ
Exemplo Considere a equac¸a˜o
(2 x y2 + 2 y) + (2 x2 y + 2 x) y
′
= 0
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