AD2_MD2_20231_Gabarito_Corrigido

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Métodos Determinísticos II
Profª. Fernanda Mendonça e Prof. Rafael Lobosco
1o Semestre de 2023
AD2
GABARITO
Questão 1: [4,0 pts] Responda as perguntas abaixo e justifique todas as suas respostas (ATENÇÃO: respostas
sem justificativa serão desconsideradas).
a) [2,0 pts] Toda função contínua é diferenciável?
b) [2,0 pts] A função f (x) =px é diferenciável em x = 0?
Solução:
a) Resposta: Não. Existem funções contínuas em R, mas que não são deriváveis em todos os números
reais.
Exemplo: A função f (x) = |x| é contínua em R, mas não é derivável em x0 = 0, pois sua derivada f ′(x)
não é contínua nesse ponto. De fato, para avaliar se f (x) é derivável em x0 = 0, precisamos recorrer à
definição de derivada via limites e calcular os seguintes limites laterais:
lim
x→0+
f (x)− f (0)
x −0 e limx→0−
f (x)− f (0)
x −0 .
Assim,
lim
x→0+
f (x)− f (0)
x −0 = limx→0+
x −0
x −0 = limx→0+
x
x
= lim
x→0+
1 = 1;
lim
x→0−
f (x)− f (0)
x −0 = limx→0−
−x −0
x −0 = limx→0−
−x
x
= lim
x→0−−1 =−1.
Como os limites laterais calculados acima são distintos, concluímos que f ′(x) não é contínua para
x0 = 0 e, portanto, f (x) não é derivável nesse ponto.
b) Resposta: Não. Observe que o domínio da função f (x) =px é dado por Dom( f ) = [0,+∞). Logo, para
avaliar se esta função é derivável em x = 0, devemos calcular apenas o limite lateral lim
x→0+
f (x)− f (0)
x −0 .
Dessa forma,
lim
x→0+
f (x)− f (0)
x −0 = limx→0+
p
x −p0
x
= lim
x→0+
p
x
x
= lim
x→0+
1p
x
=+∞.
Como o limite acima resultou em “+∞”, isso significa geometricamente que a reta tangente ao gráfico
da função f (x) =px no ponto (0,0) possui coeficiente angular “infinito”, o que não é possível ter.
Questão 2: [1,0 pto] Considere a função g (x) = 2x3. Utilize a definição de derivada (via limites) para de-
monstrar que g ′(x) = 6x2.
Solução: Lembremos que a derivada de uma função g (x) é definida pelo seguinte limite:
g ′(x) = lim
h→0
g (x +h)− g (x)
h
.
Assim, utilizando a expressão acima, temos:
g ′(x) = lim
h→0
g (x +h)− g (x)
h
= lim
h→0
2(x +h)3 −2x3
h
= lim
h→0
2(x3 +3x2h +3xh2 +h3)−2x3
h
=
= lim
h→0
(2x3 +6x2h +6xh2 +2h3)−2x3
h
= lim
h→0
︷︸︸︷
2x3 +6x2h +6xh2 +2h3 −
︷︸︸︷
2x3
h
= lim
h→0
6x2h +6xh2 +2h3
h
=
= lim
h→0
h(6x2 +6xh +2h2)
h
= lim
h→0
6x2 +6xh +2h2 = lim
h→0
6x2︸ ︷︷ ︸
=6x2
+ lim
h→0
6xh︸ ︷︷ ︸
=0
+ lim
h→0
2h2︸ ︷︷ ︸
=0
= 6x2.
Logo, está demonstrado que g ′(x) = 6x2.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 3 A 5.
O lucro (ou prejuízo) em reais de uma fábrica após a produção de x unidades de produto é dado por:
L(x) = 240x2 −30x4.
Questão 3: [2,0 pts] Encontre o lucro máximo que a fábrica pode obter, justificando todos os cálculos efe-
tuados.
Solução: Para encontrar o lucro máximo que a fábrica pode obter, buscaremos pelo máximo local da função
L(x) = 240x2 −30x4,
utilizando o teste da derivada primeira, isto é, analisando os intervalos de crescimento e de decrescimento
da função L(x). Mostraremos também que o máximo local que vamos encontrar é também o máximo global
desta função.
Observe que, como x representa a quantidade de unidades de um produto, faz sentido realizar o estudo do
crescimento/decrescimento de L(x) apenas para valores de x não-negativos. Assim, ao longo de todos os
nossos cálculos, consideraremos sempre x ∈ [0,+∞).
Calculando a derivada primeira de L(x), obtemos:
L′(x) = 480x −120x3 = 120x(4−x2).
Portanto,
L′(x) = 0 ⇔ 120x(4−x2) = 0 ⇔ x = 0 ou x =−2 ou x = 2.
Como estamos buscando soluções não-negativas, descartamos o resultado x = −2 obtido acima. Assim,
consideraremos como candidatos a extremo local de L(x) apenas os valores x = 0 e x = 2.
Realizando o estudo dos sinais de L′(x) para x > 0, escrevemos:
2
• L′(x) > 0 ⇔ 120x(4−x2) > 0 ⇔ 0 < x < 2.
• L′(x) < 0 ⇔ 120x(4−x2) < 0 ⇔ x > 2.
Logo, L(x) é crescente para x ∈ ]0,2[ e é decrescente para x ∈ ]2,+∞). Portanto, pelo teste da derivada pri-
meira, L(x) alcança lucro máximo quando x = 2. Com efeito, pelo que vimos nos cálculos acima, o lucro da
fábrica cresce até a produção de x = 2 unidades e decresce a partir da produção de mais do que "2 unida-
des", o que mostra que o máximo local obtido é na realidade um máximo global de L(x).
Dessa forma, o lucro máximo que a fábrica pode obter é dado por L(2) = 480 reais, isto é, por R$ 480,00.
Questão 4: [1,0 pto] Quantas unidades de produto a fábrica precisa produzir para alcançar o lucro máximo?
Justifique sua resposta.
Solução: De acordo com os cálculos obtidos na questão 3 acima, concluímos que a fábrica alcança o lucro
máximo ao produzir x = 2 unidades de produto.
Questão 5: [2,0 pts] Faça um esboço do gráfico da função L(x), exibindo suas raízes e o ponto de máximo.
Solução: Observe que a função L(x) está definida apenas para valores de x não negativos, isto é, devemos
ter x ∈ [0,+∞]. Portanto, faremos o esboço do gráfico da função apenas neste intervalo.
Assim, para x ∈ [0,+∞), o ponto de máximo global de L(x) ocorre no ponto (2,480). Para encontrar as raízes
de L(x), precisamos resolver a seguinte equação:
240x2 −30x4 = 0.
Dessa forma,
240x2 −30x4 = 0 ⇔ 30x2 (8−x2)= 0 ⇔ x = 0 ou x =−2p2 ou x = 2p2.
Novamente descartamos a solução negativa, donde as raízes a serem consideradas são x = 0 e x = 2p2.
Além disso, pelo que vimos na questão 3, a função L(x) é crescente em ]0,2[ e decrescente em ]2,+∞).
Portanto, um esboço do gráfico da função L(x) é dado por:
3
4