Métodos Determinísticos 2 - AP2 - 2023.01 - Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
GABARITO – AP2 – Métodos Determinísticos II – 1/2023
Código da disciplina EAD06077
Questão 1 [2,0 pts]: Responda a seguinte pergunta: a função f (x) = |x| é derivável em x0 = 0? Justifique a
sua resposta.
Resposta: A função f (x) = |x| não é derivável em x0 = 0.
De fato, para avaliar se f (x) é derivável em x0 = 0, precisamos recorrer à definição de derivada via limites e
calcular os seguintes limites laterais:
lim
x→0+
f (x)− f (0)
x −0 e limx→0−
f (x)− f (0)
x −0 .
Assim,
lim
x→0+
f (x)− f (0)
x −0 = limx→0+
x −0
x −0 = limx→0+
x
x
= lim
x→0+
1 = 1;
lim
x→0−
f (x)− f (0)
x −0 = limx→0−
−x −0
x −0 = limx→0−
−x
x
= lim
x→0−−1 =−1.
Como os limites laterais calculados acima são distintos, concluímos que f ′(x) não é derivável em x0 = 0.
Questão 2 [2,0 pts]: Considere a função f (x) = x
2 +p7p
3x +1 . Calcule f
′(x).
Solução: Para encontrar f ′(x), utilizaremos a Regra do Quociente. Assim,
f (x) = x
2 +p7p
3x +1 ⇒ f
′(x) =
2x
p
3x +1− (x2 +p7) . 1
2
(3x +1)−1/2.3(p
3x +1)2 =
2x
p
3x +1− 3(x
2 +p7)
2
p
3x +1
3x +1 =
=
4x(3x +1)−3(x2 +p7)
2
p
3x +1
3x +1 =
12x2 +4x −3x2 −3p7
2
√
(3x +1)3
= 9x
2 +4x −3p7
2
√
(3x +1)3
.
Portanto, f ′(x) = 9x
2 +4x −3p7
2
√
(3x +1)3
.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 3 E 4.
O lucro (ou prejuízo) em reais de uma fábrica após a produção de x unidades de produto é dado por:
L(x) = 240x2 −30x4.
Questão 3 [2,0 pts]: Encontre o lucro máximo que a fábrica pode obter, justificando todos os cálculos efe-
tuados.
Solução: Para encontrar o lucro máximo que a fábrica pode obter, buscaremos pelo máximo local da função
L(x) = 240x2 −30x4,
utilizando o teste da derivada primeira, isto é, analisando os intervalos de crescimento e de decrescimento
da função L(x). Mostraremos também que o máximo local que vamos encontrar é também o máximo global
desta função.
Observe que, como x representa a quantidade de unidades de um produto, faz sentido realizar o estudo do
crescimento/decrescimento de L(x) apenas para valores de x não-negativos. Assim, ao longo de todos os
nossos cálculos, consideraremos sempre x ∈ [0,+∞).
Calculando a derivada primeira de L(x), obtemos:
L′(x) = 480x −120x3 = 120x(4−x2).
Portanto,
L′(x) = 0 ⇔ 120x(4−x2) = 0 ⇔ x = 0 ou x =−2 ou x = 2.
Como estamos buscando soluções não-negativas, descartamos o resultado x = −2 obtido acima. Assim,
consideraremos como canditados a extremo local de L(x) apenas os valores x = 0 e x = 2.
Realizando o estudo dos sinais de L′(x) para x > 0, escrevemos:
• L′(x) > 0 ⇔ 120x(4−x2) > 0 ⇔ 0 < x < 2.
• L′(x) < 0 ⇔ 120x(4−x2) < 0 ⇔ x > 2.
Logo, L(x) é crescente para x ∈ ]0,2[ e é decrescente para x ∈ ]2,∞). Portanto, pelo teste da derivada pri-
meira, L(x) alcança lucro máximo quando x = 2. Com efeito, pelo que vimos nos cálculos acima, o lucro da
fábrica cresce até a produção de x = 2 unidades e decresce a partir da produção de mais do que "2 unida-
des", o que mostra que o máximo local obtido é na realidade um máximo global de L(x).
Dessa forma, o lucro máximo que a fábrica pode obter é dado por L(2) = 480 reais.
Questão 4 [1,0 pto]: Quantas unidades de produto a fábrica precisa produzir para alcançar o lucro máximo?
Justifique sua resposta.
Solução: De acordo com os cálculos obtidos na questão 3 acima, concluímos que a fábrica alcança o lucro
máximo ao produzir x = 2 unidades de produto.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 5 E 6.
Considere a função h(x) = 1
x
p
l n(x)
.
Questão 5 [2,0 pts]: Calcule
∫
h(x)d x.
Solução: Observe que
∫
h(x)d x =
∫
1
x
p
l n(x)
d x.
2
Assim, fazendo a substituição u = ln(x) na integral acima, obtemos du = 1
x
d x. Dessa forma,
∫
1p
u
du =
∫
u−1/2du = u
− 12+1
−12 +1
+C = u
1
2
1
2
+C = 2u 12 +C .
Como u = ln(x), obtemos:
2u
1
2 +C = 2(ln(x)) 12 +C = 2
√
l n(x)+C .
Portanto,
∫
h(x)d x = 2
√
ln(x)+C .
Questão 6 [1,0 pto]: Calcule
∫ e
1
h(x)d x.
Solução: Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo e o resultado obtido na Questão 5 (acima), obte-
mos: ∫ e
1
h(x)d x =
[
2
√
ln(x)
]e
1
= 2
√
ln(e)︸ ︷︷ ︸
=1
−2
√
ln(1)︸ ︷︷ ︸
=0
= 2−0 = 2.
3