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Lista de Exerćıcios
Interpolação polinomial e ajuste de curvas
Questão 1 Considere a tabela
x 0 0,15 0,22 0,3 0,4 0,5 0,6 0,75 0,8
ex 1 1,1618 1,2461 1,3499 1,4918 1,6487 1,8221 2,1170 2,2255
(a) Quais pontos da tabela você usaria para estimar o valor ex em x = 0, 45, através de um polinômio interpolador
do segundo grau ? Justifique.
(b) Esta escolha seria diferente, dependendo do polinômio interpolador (Lagrange ou Newton) empregado ? Justifi-
que.
(c) Avalie e0,45 através de um polinômio interpolador de Lagrange de grau 2, empregando os pontos indentificados
em (a).
(d) Estime o erro máximo de interpolação para o valor obtido em c), no intervalo considerado.
(a) Os pontos 0,4 e 0,5, pois o valor a ser estimado não deve ser extrapolado fora do valor estimado. O terceiro
ponto é o mais próximo de 0,45, e no caso tanto faz ser 0,3 ou 0,6.
(b) Não seria. Existe um único polinômio interpolador de grau 2 com 3 pontos espećıficos, então ambos os métodos
obteriam o mesmo polinômio
(c) Via Lagrange, escolhendo 0,3:
L2(x) = y0
(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)
+ y1
(x− x0)(x− x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)
+ y2
(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)
L2(x) = 1, 3499
(0, 45− 0, 4)(0, 45− 0, 5)
(0, 3− 0, 4)(0, 3− 0, 5)
+ 1, 4918
(0, 45− 0, 3)(0, 45− 0, 5)
(0, 4− 0, 3)(0, 4− 0, 5)
+ 1, 6487
(0, 45− 0, 3)(0, 45− 0, 4)
(0, 5− 0, 3)(0, 5− 0, 4)
L2(x) = 1, 56837
Se fizer a mesma conta mas escolhendo 0.6, o valor é 1,56819
(d) Usamos grau n = 2 (3 pontos), a derivada de terceira de ex é ex. A fórmula do erro:
Tn(x) =
fn+1(ξ)
(n+ 1)!
n∏
i=0
(x− xi), x0 < ξ, xn
A escolha de ξ é o valor dentro do intervalo considerado que fornece o máximo valor de fn+1. Assim, utilizando
0,3, ξ = 0, 5:
T2(0, 45) =
e0,5
3!
(0, 45− 0, 3)(0, 45− 0, 4)(0, 45− 0, 5)
T2(0, 45) = 0, 0001030
Atenção: Se escolher acima o ponto 0,6, o erro teórico pode ficar menor que o erro real caso você arredonde os
cálculos para 4 casas decimais. Se usar a função original e calcular o y com maior precisão, funciona. Abaixo
estão os resultados de cálculos usando R, com maior precisão:
1
Escolhendo 0.3: L2(0.45) = 1.56841, T2(0.45) = -0.00010,
|e^0.45 - L2(0.45)| < T2(0.45): 0.0000945 < 0.0001030
Escolhendo 0.6: L2(0.45) = 1.56821, T2(0.45) = 0.00011,
|e^0.45 - L2(0.45)| < T2(0.45): 0.0001018 < 0.0001139
Questão 2 Considere os pontos na tabela abaixo. O polinômio P3(x) = −2 + 2x+ x2 + x3 passa pelos pontos (xi, yi)
para i ∈ {0, 1, 3, 4}.
i 0 1 2 3 4
xi -2 -1 0 1 2
yi -10 -4 -4 2 14
(a) Encontre um polinômio interpolador de grau não superior a 4 que passa por todos os pontos da tabela, usando
o mı́nimo esforço computacional.
(b) Determine P4(1, 5).
(a) No ajuste do polinômio interpolador acima, utilizamos os pontos onde x = (−2,−1, 1, 2). Agora queremos
calcular um novo polinômio com o novo ponto onde x = 0. O ponto extra que está entrando está no meio dos
pontos utilizados no polinômio de grau 3 dado ali em cima. Porém, note que não é necessário que os pontos
estejam em ordem crescente para serem interpolados.
Vamos então colocar o ponto do meio no final, assim x = (−2,−1, 1, 2, 0). e y = (−10,−4, 2, 14,−4). O
espaçamento de x não é constante (sendo (1, 2, 1,−2)), portanto não é posśıvel utilizar Gregory-Newton. Po-
deŕıamos começar o processo de interpolação do zero com Gregory Newton, reordenando os pontos, mas é
posśıvel resolver o problema com menos esforço computacional ao utilizar o método de Newton: basta calcular
as diferenças divididas e adicionar mais um termo ao polinômio dado acima. A fórmula de Newton é dada por:
Pn(x) = y0 +
n∑
i=1
⊥∆iy0
i−1∏
j=0
(x− xj)
O ponto (x4, y4) = (0,−4) só é necessário no último termo para calcular ⊥∆4y0. Todo o resto da fórmula só
depende dos pontos (x0, y0), . . . , (x3, y3). Assim podemos reescrever como:
P4(x) = P3(x) +⊥∆4y0
3∏
j=0
(x− xj)
= P3(x) +⊥∆4y0(x− x0)(x− x1)(x− x2)(x− x3)
= P3(x) +⊥∆4y0(x+ 2)(x+ 1)(x− 1)(x− 2)
= P3(x) +⊥∆4y0(x2 + 3x+ 2)(x2 − 3x+ 2)
= P3(x) +⊥∆4y0(x4 − 5x2 + 4)
Aqui não temos escapatória: para calcular ⊥∆4y0, é necessário calcular toda a tabela de diferenças divididas:
i xi yi ⊥∆y0 ⊥∆2y0 ⊥∆3y0 ⊥∆4y0
0 -2 -10 6 -1 1 -1/2
1 -1 -4 3 3 0
2 1 2 12 3
3 2 14 9
4 0 -4
O polinômio então é dado por:
P4(x) = x
3 + x2 + 2x− 2− 1
2
(x4 − 5x2 + 4)
= −1
2
x4 + x3 +
7
2
x2 + 2x− 4
2
(b) Avaliando o polinômio acima em 1,5, temos que P4(1, 5) = 7, 71875.
Questão 3: Utilize interpolação inversa via polinômio de grau 1, para encontrar uma aproximação para a raiz de
f(x) = x− e−x, considerando os pontos da tabela abaixo:
i 0 1 2 3
xi 0,3 0,4 0,5 0,6
xi − e−xi -0,44082 -0,27032 -0,10653 0,05119
Basta pegar 0,5 e 0,6, calcular a reta que passa entre estes pontos (achar b0 e b1 em y = b0 + b1x) e depois fazer
0 = b0 + b1x para aproximar a raiz: [
1 0, 5
1 0, 6
] [
b0
b1
]
=
[
−0, 10653
0, 05119
]
A solução é b0 = −0, 89513 e b1 = 1.57720. A reta é y = −0, 89513 + 1, 5772x. A estimativa de raiz é dada por:
−0, 89513 + 1, 5772x = 0 → x = 0, 89513
1, 57720
= 0, 5675437
Questão 4: Construa as diferenças divididas associadas à tabela abaixo e responda:
i xi yi f [xi, xi+1] f [xi, . . . , xi+2] f [xi, . . . , xi+3] f [xi, . . . , xi+4]
0 1,0 0,7651
1 1,3 0,6200
2 1,6 0,4554
3 1,9 0,2818
4 2,2 0,1104
(a) A tabela de diferenças divididas permite escrever o (único) polinômio interpolador dos cinco pontos {(xi, yi) :
i = 0, 1, . . . , 4} por meio de duas expressões. Quais são elas ?
(b) Estime o valor da função f(x) em x = 1, 2, por meio de um polinômio de Newton de grau 2, considerando a
escolha apropriada dos pontos de interpolação.
i xi yi f [xi, xi+1] f [xi, . . . , xi+2] f [xi, . . . , xi+3] f [xi, . . . , xi+4]
0 1,0 0,7651 -0,48367 -0,10833 0,06481 0,0036
1 1,3 0,6200 -0,54867 -0,05000 0,06914
2 1,6 0,4554 -0,57867 0,01222
3 1,9 0,2818 -0,57133
4 2,2 0,1104
(a) Pode-se usar a fórmula de Newton para interpolação, que usa diretamente a diferença dividida. Pode-se também
usar a relação ⊥∆kyi = ∆
kyi
k!hk
para obter as diferenças finitas correspondentes e usar o método de Gregory-Newton,
já que os pontos são igualmente espaçados.
(b) Utilizando 1,2, os pontos ideais são 1,0, 1,3 e 1,6. Dá pra reaproveitar só a parte superior esquerda da tabela de
diferenças divididas. Assim fica:
Pn(x) = y0 +
n∑
k=1
⊥∆ky0
k−1∏
j=0
(x− xj)
= y0 +⊥∆1y0(x− x0) +⊥∆2y0(x− x0)(x− x1)
= 0, 7651− 0, 48367(1, 2− 1, 0)− 0, 10833(1, 2− 1, 0)(1, 2− 1, 3)
= 0, 6705326
3
Questão 5 Seja f(x) um polinômio de grau p. Considere k pontos {(xi, f(xi)) : i = 0, 1, . . . , k − 1}, onde k ≥ p+ 2,
tais que xi 6= xj para i 6= j. Qual é o valor das diferenças divididas f [x0, . . . , xp+1], . . . , f [x0, . . . , xk−1] ? Justifique
sua resposta.
O valor é zero devido ao Teorema 3.1 no livro: se y = f(x) for um polinômio de grau n, então suas diferenças divididas
de ordem n+ 1 são identicamente nulas, ou seja, zero.
Questão 6 Considere os pontos apresentados na Questão 2:
i 0 1 2 3 4
xi -2 -1 0 1 2
yi -10 -4 -4 2 14
É posśıvel utilizar o polinômio interpolador de Gregory-Newton para avaliar P2(x) em x = 1, 5 ? Em caso positivo,
apresente o valor de P2(1, 5) utilizando o polinômio de Gregory-Newton.
Sim, pois os pontos são igualmente espaçados. Para P2(x), utilizamos 4 pontos que devem ser os pontos i = 2, 3, 4.
Os pontos são (x0, y0) = (0,−4), (x1, y1) = (1, 2) e (x2, y2) = (2, 14).
h = 1
u(x) =
x− x0
h
=
x− 0
1
u(1, 5) = 1, 5
Diferenças finitas:
i xi yi ∆yi ∆
2yi
0 0 -4 6 6
1 1 2 12
2 2 14
O polinômio de Gregory Newton:
Pn(x) = y0 +
n∑
i=1
∆iy0
i!
i−1∏
j=0
(ux − j)
P2(x) = −4 +
6
1
(1, 5− 0) + 6
2
(1, 5− 0)(1, 5− 1)+
P4(x) = −4 + 9 + 2, 25
= 7, 25
Na versão anterior do gabarito eu havia calculado P4(x) ao invés de P2(x). Não era o que a questão tinha pedido,
então refiz acima os cálculos corretos mas mantive abaixo os cálculos (também corretos) para P4(x):
h = 1
u(x) =
x− x0
h
=
x+ 2
1
u(1, 5) = 3, 5Diferenças finitas:
i xi yi ∆yi ∆
2yi ∆
3yi ∆
4yi
0 -2 -10 6 -6 12 -12
1 -1 -4 0 6 0
2 0 -4 6 6
3 1 2 12
4 2 14
4
O polinômio P4(x):
P4(x) = −10 +
6
1
(3, 5− 0) + −6
2
(3, 5− 0)(3, 5− 1)+
12
6
(3, 5− 0)(3, 5− 1)(3, 5− 2) + −12
24
(3, 5− 0)(3, 5− 1)(3, 5− 2)(3, 5− 3)
P4(x) = −10 + 21− 26, 25 + 26, 25− 3, 28125
= 7, 71875
Questão 7 Considere um conjunto de pares de pontos (xi, yi) obtidos experimentalmente. Busca-se obter uma
relação semidetemińıstica utilizando ajuste de curvas. Foram feitas 4 modelagens matemáticas, em que foram obtidos
os seguintes valores mostrados na tabela abaixo. Qual modelo deve ser escolhido? Justifique sua resposta.
g b0 b1 b2 b3 b4 1−R2 s2
1 4, 222× 100 2, 920× 103 8, 58× 10−4 3, 65× 10−4
2 −6, 513× 101 6, 034× 103 1, 034× 101 9, 86× 10−7 4, 61× 10−7
3 −7, 182× 101 6, 211× 103 1, 151× 101 −1.940× 10−3 9, 83× 10−7 5, 11× 10−7
4 3, 520× 102 −1, 963× 103 −6, 986× 101 2, 676× 10−1 −1, 486× 10−4 9, 72× 10−7 5, 68× 10−7
O modelo 2 deve ser escolhido pois a ordem de grandeza de 1 − R2 é a mesma dos outros modelos que usam mais
parâmetros e a variância residual começa a oscilar a partir do terceiro modelo.
Questão 8 Considere a tabela abaixo, com valores observados de uma função f(t) que representa o consumo de água
em uma cidade no peŕıodo t = 0, 1, 2, 3, 4. Deseja-se prever o consumo de água da cidade para t = 5.
(a) Obtenha a reta f(t) = at+ b que melhor ajusta o conjunto de pontos dados.
(b) Com a reta obtida, estime f(5).
(c) Calcule a soma dos quadrados dos erros.
(d) Calcule também R2 e s2.
(e) Alguma forma de interpolação polinomial seria adequada para avaliar f(5) ? Justifique.
ti 0 1 2 3 4
f(ti) 11,0 10,5 10,3 10,2 10,8
(a) Ajuste de curvas: ∑
ti 0 1 2 3 4 10
yi 11,0 10,5 10,3 10,2 10,8 52,8
t2i 0 1 4 9 16 30
tiyi 0 10,5 20,6 30,6 43,2 104,9
O sistema de equações normais: [
n
∑
t∑
t
∑
t2
] [
b0
b1
]
=
[ ∑
y∑
ty
]
[
5 10
10 30
] [
b0
b1
]
=
[
52, 8
104, 9
]
Ao resolver obtemos b0 = 10, 7, b1 = −0, 07, e a equação é f(t) = 10, 7− 0, 07t
(b) f(5) = 10, 7− 0, 07 · 5 = 10, 35.
5
(c) A soma dos reśıduos:
ti 0 1 2 3 4
yi 11,00 10,50 10,30 10,20 10,80
ui 10,70 10,63 10,56 10,49 10,42
di 0,30 -0,13 -0,26 -0,29 0,38
d2i 0,09 0,0169 0,0676 0,0841 0,1444∑
d2i = 0, 403
(d) Cálculos:
s2 =
0, 403
5− 2
= 0, 13433
R2 = 1− D(a, b)∑
i y
2
i − 1n (
∑
i yi)
2
= 1− 0, 403
558, 02− 15 (52, 8)2
= 0, 1084
(e) Não seria ideal usar um polinômio interpolador pois o valor a ser avaliado, f(5), está fora do intervalo dos pontos
x originais.
Questão 9 Dado um conjunto de pontos {(xi, yi) : i = 1, . . . , n}:
(a) Determine o conjunto de equações normais que permita fazer o ajuste u(x) = acos(x) + bex + c.
(b) Interprete a equação do sistema de equações normais relativa à derivada parcial da função desvio em relação ao
parâmetro c. Quais são suas consequências geométricas ?
(c) O mesmo fato seria observado pelo ajuste se o modelo fosse u(x) = acos(x) + bex ?
(a) Impondo que as derivadas parciais do desvio
∑n
i=1(yi − u(xi))2 em relação aos parâmetros a, b, c (nesta ordem)
se anulam obtemos o sistema linear: ∑i cos2(xi) ∑i exi cos(xi) ∑i cos(xi)∑
i e
xi cos(xi) e
2xi cos(xi)
∑
i e
xi∑
i cos(xi)
∑
i e
xi n
 ab
c
 =
 ∑i yi cos(xi)∑
i yie
xi∑
i yi

(b) ∂D(a,b,c)∂c = 0→
∑
i(yi − (acos(xi) + bexi + c)) = 0, logo a soma dos desvios é nula.
(c) Não, pois o sistema de equações normais não envolveria a restrição acima.
Questão 10 Após uma linearização do modelo y =
1
abx
, escreva as equações normais, ou seja, o sistema a ser resolvido
para ajustar os valores dos parâmetros a e b a um conjunto de n pontos (x1, y1), . . . , (xn, yn).
Linearizando o modelo:
y =
1
abx
1
y
= abx
ln
1
y
= ln a+ x ln(b)
A matriz de equações normais substituindo y por ln 1y , a por ln a e b por ln b, fica:
6
(
n
∑
xi∑
xi
∑
x2i
)(
ln a
ln b
)
=
( ∑
ln 1yi∑
xi ln
1
yi
)
Questão 11 Considere os pontos:
x -3 -1 1 3 5
y 12,5 1,5 2,5 13,0 38,0
Considere o modelo de regressáo u(x) = bx2. Ache, pelo método dos quadrados mı́nimos, o valor ótimo de b.
Calcule u(7).
A função de erro é
D(x) =
5∑
i=1
(yi − bx2)2
Derivando em relação a b e igualando a zero:
−2
5∑
i=1
(yi − bx2)x2 = 0
5∑
i=1
(yi − bx2)x2 = 0
b
5∑
i=1
x4 =
5∑
i=1
yix
2
x -3 -1 1 3 5
∑
x = 5
y 12,5 1,5 2,5 13,0 38,0
∑
y = 67, 5
x2 9 1 1 9 25
∑
x2 = 45
x4 81 1 1 81 625
∑
x4 = 789
yx2 112,5 1,5 2,5 117,0 950,0
∑
yx2 = 1183, 5
b = 1183, 5/789 = 1, 5
u(7) = 1, 5× 72 = 73, 5
7