Efetuando integrais

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Licenciatura em ciências · USP/ Univesp
Gil da Costa Marques
17EFETUANDO INTEGRAIS
17.1 Introdução
17.2 Algumas Propriedades da Integral Definida
Propriedade 1
Propriedade 2
Propriedade 3
Propriedade 4
17.3 Uma primeira técnica de Integração
17.3.1 Mudança de Variável
17.3.2 Primitivação por substituição
Fu
nd
am
en
to
s 
de
 M
at
em
át
ic
a 
I
375
Fundamentos de Matemática I
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
17.1 Introdução
Para calcular integrais das funções simples, basta fazer uso do conceito de antiderivada. 
Nesse caso o procedimento é simples e direto. Tudo que devemos saber é a antiderivada do 
integrando. Considere o exemplo abaixo:
Exemplos
• ExEmplo 1:
Determine a integral definida da função de expoente real f(x) = x3/2 no intervalo [1,4]. 
Sabendo-se que sua antiderivada é a função f x x( ) = ( )25
5 2 , encontramos:
 17.1 
E isso, como apontado antes, porque
 17.2 
• ExEmplo 2:
Analogamente, podemos escrever que a integral indefinida da função exponencial é dada por:
 17.3 
e, portanto, a integral definida abaixo pode ser determinada facilmente:
 17.4 
Entretanto, determinar as primitivas de algumas funções nem sempre é tão simples. Exige 
que utilizemos certas propriedades e técnicas.
x dx x3 2
1
4
5 2
1
4
5 2 5 2 52
5
2
5
4 1 2
5
2 1 62
5∫ = ( ) = ( ) − ( )( ) = ( ) − ( )( ) =
x dx x C3 2 5 22
5( ) = ( ) +∫
e dx e Cx x( ) = +∫
e dx e ex x( ) = = − =∫
0
2
0
2
2 1 1
ln ln
ln
376
17 Efetuando Integrais
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17.2 Algumas Propriedades da Integral Definida
Para a integral definida,valem as seguintes propriedades:
Propriedade 1
Se f e g são funções integráveis no intervalo [a,b], então a função f + g é integrável em [a,b] e
 17.5 
Ou seja, a integral da soma é a soma das integrais.
• ExEmplo 3:
 17.6 
Propriedade 2
Se k é uma constante e f é uma função integrável no intervalo [a,b], então a função k⋅f é 
integrável em [a,b] e
 17.7 
Assim, a integral do produto de um número por uma função é igual ao produto desse 
número pela integral da função. 
f x g x dx f x dx g x dx
a
b
a
b
a
b
( ) + ( )  = ( ) + ( )∫ ∫ ∫
x x dx x dx x dx
x x
2 3
1
2
2
1
2
3
1
2
3
1
2 4
1
2
3 3 4
3 4
2
3
1
3
2
+( ) = + =
= +
= −





 +
∫ ∫ ∫
44
1
4
8
3
1
3
4 1
4
73
12
4
−






= − + − =
k f x k f x
a
b
a
b
∫ ∫⋅ ( ) = ⋅ ( )
377
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• ExEmplo 4:
 17.8 
Propriedade 3
Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e c é um ponto qualquer do intervalo [a,b], então
 17.9 
• ExEmplo 5:
Calculemos I x dx= ∫ 2
1
3
 de duas formas:
1. primeiramente de modo direto:
 17.10 
2. agora, usando a propriedade:
 17.11 
4 4
4
3
4 2
3
1
3
4 8
3
1
3
28
2
1
2
2
1
2
3
1
2
3 3
x dx x dx
x
∫ ∫= =
= ⋅ =
= −





 = −





 = 33
f x dx f x dx f x dx
a
b
a
c
c
b
( ) ( ) ( )= +∫ ∫ ∫
Gráfico 17.1: I x dx x dx x dx= = +∫ ∫ ∫2
1
3
2
1
2
2
2
3
x dx x2
1
3 3
1
3
3
27
3
1
3
26
3∫ = = − =
I x dx x dx x dx
x x
= = + =
= +
= −





 + −
∫ ∫ ∫2
1
3
2
1
2
2
2
3
3
1
2 3
2
3
3 3 3
3 3
2
3
1
3
3
3
233
3 3
3
3
3
1
3
26
3






= − =
378
17 Efetuando Integrais
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A propriedade 17.9 se revela especialmente útil quando a função for descontínua. Assim, se 
c for um ponto de descontinuidade da função, a área da região compreendida entre seu gráfico 
e o eixo horizontal será dada pela soma definida em 17.9.
Propriedade 4
Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] então é válida a seguinte propriedade da 
integral definida 
 17.12 
Basta observar que f x dx
a
a
( ) =∫ 0 , de onde f x dx f x dx
b
a
a
b
( ) ( )+ =∫∫ 0 .
• ExEmplo 6:
 17.13 
Portanto, I1 = −I2, isto é:
 17.14 
Gráfico 17.2: A função f é descontínua 
no ponto c e
 
f x dx f x dx f x dx
a
b
a
c
c
b
( ) ( ) ( )= +∫ ∫ ∫
f x dx f x dx
a
b
b
a
( ) = − ( )∫ ∫
I xdx x
I xdx x
1
2
3 2
2
3 2 2
2
3
2 2
3
2 2 2
2
3
2
2
2
9
2
4
2
5
2
2
2
2
3
2
5
= = = − = − =
= = = − = −
∫
∫ 22







xdx xdx
2
3
3
2
∫ ∫= −
379
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17.3 Uma primeira técnica de Integração
17.3.1 Mudança de Variável
Muitas vezes o cálculo de integrais pode ser efetuado de uma forma simples mediante 
uma mudança de variável. Para efeito de ilustração, consideremos o caso de uma integral de 
quociente de funções simples.
• ExEmplo 7:
Efetue a integral, abaixo, na dependência dos parâmetros a e b. 
 17.15 
Lembrando que:
 17.16 
A integral acima pode ser escrita como:
 17.17 
Colocando
 17.18 
Observamos que a primitiva do integrando de 17.17, é
 17.19 
Portanto,
 17.20 
I x
x
dx
a
b
= ∫
cos
sen2
d x xdxsen = cos
I d x
xa
b
= ∫
sen
sen2
y x= sen
d x
x
dy
y y
C
x
C
sen
sen sen
( )
= = − + = − +∫ ∫2 2
1 1
I
x a ba
b
= − = −
1 1 1
sen sen sen
380
17 Efetuando Integrais
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Para verificarmos a validade de 17.19, devemos derivar o lado direito de 17.19, e verificar que essa 
derivada é igual ao integrando de 17.15. De fato, obtemos
 17.21 
Consideremos uma integral definida, arbitrária, da forma:
 17.22 
e a mudança de variável definida por:
 17.23 
Temos que 
 17.24 
Assim, podemos efetuar a integral por meio do uso da variável u. Nesse caso, a integral 
17.22 se escreve:
 17.25 
onde os limites ua e ub são definidos em 17.22.
• ExEmplo 8:
Os casos mais simples de integrais são aqueles envolvendo funções simples. 
Consideremos agora o caso em que o argumento da função é kx, k constante. Ou seja, considere-
mos a integral indefinida de uma função da forma:
 17.26 
d
dx x
C d
dx x x
d x
dx
x
x
− +




 = −





 = ( )
=
1 1 1
2sen sen sen
sen cos
sen(( )2
I g x dx
a
b
= ( )∫
x h u= ( )
dx dh u
du
du h u du a h u b h ua b= = ′ = =
( ) ( ) ( ) ( ) 
I g x dx g h u h u du
a
b
u
u
a
b
= ( ) = ( ) ′( )∫ ∫ ( )
I g kx dx= ( )∫
381
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Efetuando a substituição
isto é,
 17.27 
Podemos escrever a integral 17.26, sob a forma:
 17.28 
Portanto, se y for a antiderivada de g, segue de 17.28, que:
 17.29 
• ExEmplo 9:
Determine a integral 
 17.30 
Pelo que foi visto acima, obtemos para a integral indefinida da função g(x) = cos(kx)
 17.31 
e, portanto, a integral definida em 17.30 é:
 17.32 
u kx
du kdx
du
k
dx
=
=
=
u kx dx du
k
= ⇒ =
g kx dx
k
g u du( ) = ( )∫ ∫
1
g kx dx y kx
k
C( ) = +∫
( )
I kx dx= ( )∫ cos
0
2pi
cos
sen
kx dx
kx
k
C( ) = ( ) +∫
cos sen
sen sen . sen
kx dx kx
k
k
k
k
k
k
k
( ) = =
( )
−
( )
=
( )
∫
0
2
0
2
2 0 2
pi pi pi pi
382
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• ExEmplo 10:
Considere uma função dependente do tempo, que é dada pela integral:
 17.33 
Em primeiro lugar, examinemos a integral indefinida:
 17.34 
aonde fizemos a mudança de variável u = (av)2 ⇒ du = 2a2v dv e, portanto, [1/(2a)]du = av dv.
Logo, 
 17.35 
• ExEmplo 11:
Determine a integral definida no intervalo [0, t], cuja expressão é:
 17.36 
Observamos que a integral dada pode ser escrita da seguinte maneira:
 17.37 
e, fazendo a substituição 
 17.38 
obtemos para a integral indefinida correspondente
 17.39 
x t x t av
av
dv
t
t
( ) ( )
( )
− =
+
∫0 210
av
av
dv
a u
du
a
u C
a
u C
a
av C
1
1
2
1
1
2
2
1 1 1 1 1
2
2
+
=
+
= + + = + + = + +∫ ∫( )
( ) 
x t x t
a
av
a
at at
t
t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )− = + = + − +( )0 2 2 0 21 1 1 1 1
0
y t dv
v
t
( ) =
+
∫10 1 4 20
y t d v
v
t
( ) ( )
( )
=
+
∫
10
2
2
1 2 20
2 2
2
v w dv w dw
d v w d
= ⇒ =
=
senh cosh
( ) cosh
 
 ww
5 2
1 2
5
1
5 5 5 2
2 2
d v
v
w dw
w
dw w C v C( )
( )
cosh
senh
arcsenh
+
=
+
= = + = +∫ ∫ ∫
 
383
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ou seja 
 17.40 
Algumas primitivas imediatas ou quase imediatas:
y t d v
v
v t
t
t( ) ( )
( )
arcsenh arcsenh arcsenh .=
+
= = − =∫5
2
1 2
5 2 5 2 5 2 0
2
0
0
55 2arcsenh t
Um lembrete!
As funções hiperbólicas são definidas pelas expressões:
 17.41 
 17.42 
É possível verificar que 
 17.43 
e que 
 17.44 
Mais ainda, 
 17.45 
de onde, 
cosh2x = 1 + senh2x 
fato esse que foi usado na integral anterior.
senh x e e
x x
=
− −
2
cosh x e e
x x
=
+ −
2
d
dx
x e e x
x x
(senh ) cosh= + =
−
2
d
dx
x e e x
x x
(cosh ) senh= − =
−
2
cosh senh2 2
2 2 2 22
4
2
4
4
4
1x x e e e e
x x x x
− =
+ +
−
− +
= =
− −
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• ExEmplo 12:
 17.46 
É uma primitiva imediata pois 
d
dx
x xtg sec( ) = 2 , logo
 17.47 
• ExEmplo 13: 
 17.48 
Uma vez que sec2x = 1 + tg2x, temos que
 17.49 
2sec xdx∫
sec tg2 xdx x C∫ = +
2tg xdx∫
tg sec tg2 2 1xdx x dx x x C∫ ∫= −( ) = − +
• ExEmplo 14:
Neste exemplo é preciso um cuidado especial.
A função integrando está definida para todo número real não nulo.
• Se x > 0 então 1 lndx x C
x
= +∫ pois ( )
1lnd x
dx x
= 
• Se x < 0 então ( )1 1 lndx dx x C
x x
= − = − +
−∫ ∫ pois 
( )( ) 1lnd x
dx x
− = −
−
 pela Regra da Cadeia. 
 
(Lembre que só existe logaritmo de número estritamente positivo 
e que, se x < 0, então −x > 0.)
Logo, reunindo os dois casos, 
 17.50i
1 dx
x∫
 17.51i
 17.52i
 17.53i
1
x
dx x C= +∫ ln
385
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• ExEmplo 15:
 17.54 
Como 
 17.55 
(faça a divisão de polinômios para chegar a esse resultado)
temos:
 17.56 
(verifique com cuidado.)
• ExEmplo 16:
 17.57 
Como 
x
x x
2
2 21
1 1
1+
= −
+
, então
 17.58 
pois 
d
dx
x
x
arctg( ) =
+
1
1 2
.
• ExEmplo 17: 
 17.59 
 17.60 
(verifique.)
1 5
3 1
−
+∫
x
x
dx
1 5
3 1
5
3
8
3
3 1
5
3
8
3
1
3 1
−
+
= − +
+
= − + ⋅
+
x
x x x
1 5
3 1
5
3
8
3
1
3 1
5
3
8
9
3 1−
+
= − + ⋅
+





 = − + + +∫ ∫
x
x
dx
x
dx x x Cln
x
x
dx
2
2 1+∫
x
x
dx x x C
2
2 1+
= − +∫ arctg
2 3e dxx−∫
2 2 2
3
3 3 3e dx e dx e Cx x x− − −∫ ∫= = − +
386
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17.3.2 Primitivação por substituição
Lembramos, utilizando o conceito de função composta, que: f g x g x dx f u du( )( ) ′( ) = ( )∫ ∫. .
É importante observar que, para utilizar esta técnica, é importante que no integrando esteja 
presente a derivada – ou quase, a menos de constante multiplicando – de uma função u = g(x), 
sendo u a variável de uma outra função que se quer integrar.
Alguns exemplos resolvidos:
• ExEmplo 18: 
Como x2 é “quase” a derivada de x3, fazemos:
u x du x dx= + ⇒ =3 25 3 ou (1/3)du = x2dx
e daí
(Lembre que k f x dx k f x dx. .( ) = ( )∫ ∫ . Por quê?)
• ExEmplo 19: 
Basta notar que 
d
dx
x xsen cos( ) = ; logo fazemos:
e daí
x x dx2 3 5sen +( )∫
x x dx udu u C x C2 3 35 1
3
1
3
1
3
5sen sen cos cos+( ) = = − + = − +( ) +∫ ∫
sen cosx xdx∫
u x du xdx= ⇒ =sen cos
sen cos senx xdx udu u C x C∫ ∫= = + = ( ) +
3
2 3
2
3
2
2
3
387
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• ExEmplo 20: 
Tendo em vista que 
fazemos:
e daí
• ExEmplo 21:
Considerando que 
fazemos:
e daí
x x dx3 123 +∫
d
dx
x x3 1 62 +( ) =
u x du xdx= + ⇒ =3 1 62
x x dx udu u du u C x C x3 1 1
6
1
6
1
6
3
4
1
8
3 1 1
8
323 3
1
3
4
3 2
4
3 2+ = = = ⋅ + = +( ) + =∫ ∫ ∫ ++( ) +1
4
3 C
x
x
dx
2
31 9−∫
d
dx
x x1 9 273 2−( ) = −
u x du x dx= − ⇒ = −1 9 273 2
x
x
dx du
u
u du u C x C
2
3
1
2
1
2 3
1 9
1
27
1
27
1
27
2 2
27
1 9
−
= − = − = − ⋅ + = − − +
−
∫∫∫
388
17 Efetuando Integrais
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• ExEmplo 22:
Uma vez que 
d
dx
e ex x3 33( ) = , fazemos:
logo,
• ExEmplo 23:
Uma vez que 
fazemos:
logo,
∫ e3x dx
u e du e dxx x= ⇒ =3 33
e dx du u C e Cx
x
3
31
3 3 3∫ ∫= = + = +
∫ x2ex
3 dx
d
dx
e x e dxx x
3 3
3 2( ) = ⋅
u e du x e dxx x= ⇒ = ⋅
3 3
3 2
x e dx du u C e Cx
x
2 3
3
1
3 3 3∫ ∫= = + = +
389
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Mais dois exemplos, envolvendo esta técnica, no caso de integrais definidas:
• ExEmplo 24:
É preciso observar que a variável x varia no intervalo [1, 2].
Há duas maneiras de proceder:
Calculamos primeiro a integral indefinida 
ln x dx
x∫ e depois a integral definida. Assim, 
(Note a substituição u = lnx ⇒ du = (1/x)dx)
Agora, 
pois ln1 = 0.
• Outra maneira de calcular 
2
1
ln x dx
x∫ é, ao fazer a mudança de variável, mudar também os limites 
de integração, colocando agora a variação de u.
Assim, fazendo 
temos:
logo
como antes.
2
1
ln x dx
x∫
ln lnx
x
dx udu u C
x
C∫ ∫= = + =
( )
+
2 2
2 2
ln ln lnx
x
dx x
1
2 2
1
2 2
2
2
2∫ = =
u x du
x
dx= ⇒ =ln 1
x u
x u
= ⇒ =
= ⇒ =
1 0
2 2ln
ln lnln
ln
x
x
dx udu u
1
2
0
2 2
0
2 2
2
2
2∫ ∫= = =
390
17 Efetuando Integrais
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• ExEmplo 25:
Temos:
(Lembre que 2 2 2x xe e
x
= =ln ln e, portanto, d
dx
d
dx
e ex x x x2 2 2 22 2( ) = ( ) = ⋅ =ln ln ln ln )
Assim, 
2 2
2
2
2
1
2
1
20
1
0
1
x
x
dx∫ = = − =ln ln ln ln .
1
0
2xdx∫
2 2
2
x
x
dx C∫ = +ln
Agora é a sua vez...
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e realize a(s) atividade(s) proposta(s).