AULAS DE CÁLCULO I II III IV NÍVEL SUPERIOR (65)

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MA22 - Unidade 20 - Parte 2
Método das frações parciais
Luiz Manoel Figueiredo
Mário Olivero
PROFMAT - SBM
14 de junho de 2013
Método das Frações Parciais
Esta técnica permitirá lidar com integrandos que são
quocientes de polinômios.
Se o grau do numerador é maior que o grau do denominador,
podemos usar o algoritmo da divisão de Euclides para
escrevê-lo como uma soma de um polinômio e um quociente
cujo grau do numerador é menor do que o grau do
denominador.
Isto reduz o problema aos tipos de quocientes de polinômios
em que o grau do numerados é menor do que o grau do
numerador.
Nestes casos vamos usar um resultado da Álgebra que permite
reescrever o quociente como uma soma de quocientes mais
simples, as chamadas frações parciais.
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Decomposição em Frações Parciais
Seja um quociente de polinômios
p(x)
q(x)
, tal que o grau de p é
menor do que o grau de q. Considere p mônico (o coeficiente
de maior grau é um).
O polinômio q(x) se decompõem no produto
q(x) = (x−a1)j1 . . . (x−am)jm (x2+b1x+c1)k1 . . . (x2+bnx+cn)kn ,
com a1, . . . , am, b1, . . . , bn, c1, . . . , cn ∈ R, tais que
b2i − 4ci < 0, e j1, . . . , jm, k1, . . . , kn inteiros positivos.
Então existem constantes Air , Bir e Cir unicamente
determinadas tais que
p(x)
q(x)
=
m∑
i=1
ji∑
r=1
Air
(x − ai )r
+
n∑
i=1
ki∑
r=1
Birx + Cir
(x2 + bix + ci )r
.
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Exemplos de decomposições em frações parciais:
4x2 − 9x − 1
(x + 1)(x − 2)(x − 3)
=
1
x + 1
+
1
x − 2
+
2
x − 3
;
6x4 + 2x3 − 2x2 − 5x − 22
(x + 1)2(x − 2)(x2 + 4)
=
1
(x + 1)2
+
2
x + 1
+
1
x − 2
+
3x + 1
x2 + 4
;
x5 − x4 + 3x3 − 4x2 + x − 2
(x2 + 1)2x2
=
x − 1
(x2 + 1)2
+
1
x2 + 1
+
1
x
− 2
x2
.
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Integração por frações parciais
Para usar o método das frações parciais para integrar
∫
p(x)
q(x)
dx ,
precisamos:
(a) Decompor o polinômio q(x) em seus fatores primos;
(b) Determinar as constantes da decomposição em frações
parciais;
(c) Saber integrar cada uma das frações parciais.
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Exemplos
As fórmulas∫
1
x
dx = ln |x | + C e
∫
1
1 + x2
dx = arctan x + C
resolvem os seguintes casos t́ıpicos:∫ 1
x + 1
dx = ln |x + 1| + C ;∫ 3
5 + 2x + x2
dx =
3
2
arctan
(x + 1
2
)
+ C ;∫ x + 1
x2 + 2x + 2
dx =
ln(x2 + 2x + 2)
2
+ C .
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Exemplo 1
Calcular a integral
∫
x − 5
x2 − x − 2
dx .
Como x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2), o integrando se escreve
como uma soma de frações parciais. Isto é, existem
constantes A e B, tais que
x − 5
x2 − x − 2
=
A
x + 1
+
B
x − 2
.
A menos do cálculo das constantes, podemos fazer∫
x − 5
x2 − x − 2
dx =
∫
A
x + 1
dx +
∫
B
x − 2
dx
= A ln |x + 1| + B ln |x − 2| + C .
Falta calcular os valores de A e B,
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Exemplo 1 - continuação
O integrando f (x) =
A
x + 1
+
B
x − 2
está definido em
R \ {−1, 2}. Podemos determinar A e B usando limites:
lim
x→−1
(x + 1)f (x) = lim
x→−1
(
(x + 1) A
x + 1
+
(x + 1) B
x − 2
)
= lim
x→−1
(
A +
(x + 1) B
x − 2
)
= A.
lim
x→2
(x − 2)f (x) = lim
x→2
(
(x − 2) A
x + 1
+
(x − 2) B
x − 2
)
= lim
x→2
(
(x − 2) A
x + 1
+ B
)
= B.
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Exemplo 1 - continuação
Portanto
A = lim
x→−1
(x + 1)(x − 5)
x2 − x − 2
= lim
x→−1
x − 5
x − 2
=
−6
−3
= 2
B = lim
x→2
(x − 2)(x − 5)
x2 − x − 2
= lim
x→2
x − 5
x + 1
=
−3
3
= −1.
Agora podemos escrever a solução completa da integral:∫
x − 5
x2 − x − 2
dx =
∫
2
x + 1
dx −
∫
1
x − 2
dx
= 2 ln |x + 1| − ln |x − 2| + C .
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Exemplo 2
Calcular a integral
∫
x2 − 5x − 10
x3 − x2 − 5x − 3
dx .
Iniciamos com a decomposição do denominador, cujas
posśıveis ráızes inteiras são ±1 e ±3 (divisores inteiros de
3). A decomposição é
x3 − x2 − 5x − 3 = (x + 1)2(x − 3).
Levando em conta a multiplicidade da raiz −1. Assim, as
frações parciais ficam
x2 − 5x − 10
x3 − x2 − 5x − 3
=
A1
(x + 1)2
+
A2
x + 1
+
B
x − 3
.
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Exemplo 2 - continuação
Podemos usar a estratégia dos limites para calcular as
constantes A1 e B.
Seja f (x) =
x2 − 5x − 10
x3 − x2 − 5x − 3
, o integrando. Então,
A1 = lim
x→−1
(x + 1)2 f (x)
= lim
x→−1
(
A1 + A2(x + 1) +
B(x + 1)2
x − 3
)
= lim
x→−1
x2 − 5x − 10
x − 3
=
−4
−4
= 1.
B = lim
x→3
(x − 3) f (x)
= lim
x→3
(
A1(x − 3)
(x + 1)2
+
A2(x − 3)
x + 1
+ B
)
= lim
x→3
x2 − 5x − 10
(x + 1)2
=
−16
16
= −1.
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Exemplo 2 - continuação
Para calcular A2, a constante restante, basta avaliar a função
x2 − 5x − 10
x3 − x2 − 5x − 3
=
1
(x + 1)2
+
A2
x + 1
− 1
x − 3
.
em algum valor conveniente de x .Por exemplo, para x = 0:
−10
−3
= 1 + A2 −
1
−3
⇒ A2 = 2 .
Podemos agora calcular a integral:∫
x2 − 5x − 10
x3 − x2 − 5x − 3
dx
=
∫
1
(x + 1)2
dx +
∫
2
x + 1
dx −
∫
1
x − 3
dx
= − 1
x + 1
+ 2 ln |x + 1| − ln |x − 3| + C .
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