Cálculo Diferencial e Integral I_2022

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CÁLCULO 
DIFERENCIAL E 
INTEGRAL I
PROF. LUIZ GUILHERME 
REZENDE RODRIGUES
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA
Prof. Luiz Guilherme 
Rezende Rodrigues
CÁLCULO 
DIFERENCIAL 
E INTEGRAL I
Marília/SP
2022
“A Faculdade Católica Paulista tem por missão exercer uma 
ação integrada de suas atividades educacionais, visando à 
geração, sistematização e disseminação do conhecimento, 
para formar profissionais empreendedores que promovam 
a transformação e o desenvolvimento social, econômico e 
cultural da comunidade em que está inserida.
Missão da Faculdade Católica Paulista
 Av. Cristo Rei, 305 - Banzato, CEP 17515-200 Marília - São Paulo.
 www.uca.edu.br
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma 
sem autorização. Todos os gráficos, tabelas e elementos são creditados à autoria, 
salvo quando indicada a referência, sendo de inteira responsabilidade da autoria a 
emissão de conceitos.
Diretor Geral | Valdir Carrenho Junior
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SUMÁRIO
CAPÍTULO 01
CAPÍTULO 02
CAPÍTULO 03
CAPÍTULO 04
CAPÍTULO 05
CAPÍTULO 06
CAPÍTULO 07
CAPÍTULO 08
CAPÍTULO 09
CAPÍTULO 10
CAPÍTULO 11
CAPÍTULO 12
CAPÍTULO 13
CAPÍTULO 14
CAPÍTULO 15
07
19
35
47
58
69
81
92
103
115
127
137
150
161
173
INTRODUÇÃO AS FUNÇÕES
FUNÇÕES EM CÁLCULO DIFERENCIAL E 
INTEGRAL
LIMITES
LIMITES ASSINTÓTICOS
CONTINUIDADE
INTRODUÇÃO ÀS DERIVADAS
TÉCNICAS DE DIFERENCIAÇÃO
GRÁFICOS
INTRODUÇÃO ÀS INTEGRAIS
TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
O TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
APLICANDO INTEGRAIS EM CIÊNCIAS 
NATURAIS
INTRODUÇÃO A LÓGICA MATEMÁTICA
CONSTRUÇÃO DE TABELAS VERDADES
A LINGUAGEM DA LÓGICA MATEMÁTICA
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INTRODUÇÃO
Querido aluno(a) da área de ciências exatas e outras afins, futuro cientista ou 
engenheiro(a), seja muito bem-vindo ao nosso curso de Cálculo diferencial e integral 
I da Faculdade Católica Paulista. Gostaríamos de destacar que estamos muito felizes 
em caminhar junto com você no desenvolvimento desse conteúdo tão importante 
para todas as áreas e que serve como base para muitas situações profissionais que 
você encontrará ao longo da sua carreira.
O Cálculo diferencial e integral I é uma área da matemática que tem se mostrado 
muito útil ao longo dos anos. Isso porque através deles conseguimos fazer coisas 
incríveis e que nos permite descrever fenômenos e resolver problemas. Lembre-se 
que, a vida de um profissional se resume na sua capacidade de descrever e resolver 
problemas. Tudo isso vem gerando cada vez mais desenvolvimento em áreas, por 
exemplo, como a tecnológica e consequentemente da sociedade moderna. Tudo que 
estamos destacando aqui formam apenas uma pequena parcela da sua importância 
para a humanidade.
Destacamos que como aluno(a), futuro cientista ou até mesmo engenheiro você 
pratica todos os dias suas habilidades para que consiga atingir um aperfeiçoamento 
constante. Isso é o que te leva para um nível mais alto do conhecimento. Apesar 
disso, é preciso dizer que essa não é uma tarefa fácil e por isso é preciso que você se 
esforce ao máximo, realizando todas as atividades propostas, entrando em contato 
com nosso monitor/tutor e ainda consultar as referências utilizadas para que seu 
aprendizado seja por completo. 
Através de todos esses fatores, estamos trazendo a você as informações 
suficientemente necessárias que servem de apoio e como orientação para desenvolver 
um curso leve e fluido. Tudo isso para que você consiga buscar a tão esperada 
independência intelectual que irá te levar ao sucesso profissional.
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CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO AS FUNÇÕES
1.1 INTRODUÇÃO
O cálculo é a ferramenta básica para o desenvolvimento de todas as ciências naturais, 
sobretudo as ciências exatas. Para um bom entendimento de seu desenvolvimento 
é muito importante entender, discutir e trabalhar todos os seus conceitos envolvidos 
como, por exemplo, o conceito de função. Função é um dos conceitos mais importantes 
e que serve como ferramenta básica para o desenvolvimento da potente ferramenta 
denominada cálculo. Este apresenta inúmeras aplicações em áreas como a Física, 
Química, Engenharias e entre outras. Nesse contexto, iremos na presenta aula, explorar 
um pouco sobre o mundo das funções para que possamos criar uma base teórica 
que será utilizada ao longo de todas as aulas seguintes. 
1.2 A CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE FUNÇÃO
Vamos iniciar nossa aula destacando que muitas leis científicas envolvidos na 
Engenharia, como por exemplo as leis de Newton, o princípio da conservação de energia 
e muitos outros, são descritos ou descrevem quantidades e até mesmo grandezas 
físicas que apresentam dependência umas das outras. Por esses fatores, por volta 
do ano de 1673, o cientista Alemão Gottfried Wilhelm Leibniz atribuiu o conceito de 
função com a finalidade de indicar a dependência de uma determinada quantidade 
em relação a outra. Dessa forma podemos utilizar a seguinte definição:
ANOTE ISSO
DEFINIÇÃO: Quando uma variável y depende de x de forma que cada valor de x 
determina um valor de y, então, dizemos que y é função de x.
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Através do conceito definido acima, podemos destacar quatro maneiras, que 
geralmente utilizamos, para representar funções e, consequentemente, a relação entre 
duas quantidades, sendo elas: 
I. Representação através de tabelas: Nesse caso, vamos considerar a primeira 
coluna da tabela abaixo como sendo o tempo em anos e a coluna seguinte 
a velocidade em km/h que um carro de corrida da Fórmula 1 precisava para 
conquistar a primeira posição na largada no prêmio de Montreal.
Tempo (ano) Velocidade (km/h)
2000 228
2001 230
2002 218
2003 250
2004 232
2005 215
2006 200
2007 210
2008 213
2009 217
2010 232
Tabela 1 – Velocidade para largar na primeira colocação no prêmio de Montreal.
Fonte: Próprio autor (2021).
II. Representação através de fórmulas algébricas: Nesse caso temos a equação da 
trajetória de um movimento bidimensional com ação da aceleração da gravidade,
Essa é uma equação de segundo grau no tempo, o que justifica a trajetória parabólica 
de um projétil lançado obliquamente.
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Figura 1: Função de 2º grau no tempo para a função .
Fonte: Próprio autor (2021).
III. Representação através de gráficos geométricos: Esse é um gráfico de uma 
função de 1º grau do tipo:
Na função acima, a é o denominado coeficiente angular (cujo valor dá a inclinação 
da reta) e b o coeficiente linear (cujo valor é onde o gráfico corta o eixo f (x). A equação 
da reta, assim como a da parábola são muito utilizadas em ciência.
Figura 2: Função de 1º grau do tipo .
Fonte: Próprio autor (2021).
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ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
No caso da Física, podemos citar muitas relações entre grandezas físicas que 
seguem uma relação linear do tipo função do primeiro grau. Alguns exemplos são a 
primeira lei de Ohm que é dada por, 
Nesse caso representa a voltagem ou tensão entre dois pontos de um material 
condutor elétrico, é a resistência relacionada com a constituição do material 
condutor e é a corrente elétrica que percorre o condutor. 
Como segundo exemplo podemos considerar a segunda lei de Newton onde temos 
também a relação linear entre a força e a aceleração de um corpo, ou seja, 
Nesse caso a constante de proporcionalidade entre essas duas grandezas físicas é 
o que denominamos de massa.
IV. Através de verbos: Vamos aqui considerar o caso do volumede um cubo. 
Nesse caso dizemos que o volume, representado por , é dado pelo cubo do 
valor de sua aresta, dado por . Ou seja, 
Ainda no processo de construção da definição de função, o matemático suíço 
Leohnard Euler teve a ideia de denotar as funções pelas letras do alfabeto. Isso 
proporcionou uma nova maneira de trabalhar com funções sem apresentar fórmulas 
específicas, gráficos ou até mesmo tabelas. 
Para entendermos a ideia de Euler vamos fazer a analogia de que as funções 
funcionam como programas de computador que toma uma determinada entrada x, 
realiza operações com ela e produz uma saída y. Denominaremos então o programa 
de computador pela letra f e dessa forma, a função f associa uma única saída y a 
cada entrada x. Através dessas ideias podemos criar a seguinte definição:
ANOTE ISSO
DEFINIÇÃO: Uma determinada função f é uma regra que associa cada entrada a 
uma única saída. Uma vez que a entrada é denotada por x, a saída é denotada por 
f(x). 
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Destacamos o fato de que o termo “única” refere-se a exatamente uma saída. 
Em outras palavras isso quer dizer que as funções não podem produzir duas saídas 
diferentes com uma mesma entrada. 
Como exemplo vamos considerar a equação definida na forma,
Baseados nessa equação, vamos utilizar a seguinte tabela para entendermos melhor 
a definição de função.
Valores para a variável Valores de correspondentes
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
Tabela 2 – Esboço da função quadrática . 
Fonte: Próprio autor (2021).
1.2.1 Variáveis de uma função
Vimos até o momento que uma determinada entrada, representada por x, produz 
uma saída, representada por f. A saída da produzida pela função é denominada valor 
de f em x. Em termos mais técnicos esse processo recebe o nome de imagem de x 
por f. Em linguagem matemática isso quer dizer que, 
Repare que a equação expressa y em função de x. Dizemos então que x é a 
denominada variável independente, ou simplesmente argumento de f. Já a variável y 
é a denominada variável dependente de f. 
É importante destacarmos que a terminologia utilizada tem a finalidade de sugerir 
que x está livre para variar. Apesar disso, uma vez que um determinado valor de x é 
utilizado, o valor de y está determinado. 
Destacamos também que, no presente momento trabalharemos apenas com funções 
em que as variáveis dependentes e independentes são números reais e assim podemos 
dizer que a função f é uma função real de uma variável real. 
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1.2.2 Funções na representação gráfica
Gráficos são poderosas ferramentas para fornecer informações de maneira visual 
sobre uma determinada função. Vamos considerar de maneira geral, uma função 
dada por,
y=f(x)
Nesse contexto, no plano bidimensional xy, os pontos do gráfico são dados na forma 
(x,f(x)). Em palavras isso quer dizer que a coordenada y de um determinado ponto do 
gráfico de f é o valor de f na coordenada x correspondente. Dessa forma, dizemos que 
os valores da coordenada x, nos quais, f(x)=0 são as que fazem o gráfico interceptar 
o eixo do x. A esses valores damos o nome de zeros da função f, raízes de f(f(x)=0) 
ou simplesmente pontos de corte de y=f(x) com o eixo .
De maneira sintetizada, se considerarmos uma função f, de apenas uma variável 
real a valores reais, o gráfico de f no plano cartesiano bidimensional xy é definido como 
sendo o gráfico da equação y=f(x). Como exemplo vamos considerar os gráficos de 
algumas funções muito utilizadas no contexto da ciência.
i) Função de 1º grau:
Figura 3: Função de 1º com coeficientes angular e linear respectivamente dados por a=3 e b=1.
Fonte: Próprio autor (2021).
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ii) Função de 2º grau:
Figura 4: Função de 2º com coeficientes respectivamente dados por a=1, b=0 e c=0.
Fonte: Próprio autor (2021).
iii) Função 1/x:
Figura 5: Gráfico da função f(x)=1/x
Fonte: Próprio autor (2021).
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iv) Funções ex e e-x:
Figura 6: Gráficos das funções f(x)=ex e f(x)=e-x, respectivamente.
Fonte: Próprio autor (2021).
v) Funções seno e cosseno:
Figura 7: Gráficos das funções f(x)=senx e f(x)=cosx, respectivamente.
Fonte: Próprio autor (2021).
1.2.3 O teste da reta vertical
Precisamos destacar que nem toda curva no plano cartesiano bidimensional é 
gráfico de uma determinada função. Para entender a fundo essa afirmação vamos 
considerar uma curva dada pela figura abaixo, 
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Figura 8: Gráfico representativo do teste da reta vertical.
Fonte: Próprio autor (2021).
Como podemos perceber a curva representada é cortada por dois pontos diferentes 
que denominaremos como (a,b) e (a,c) através de uma reta na vertical. Nesse contexto 
podemos dizer que essa curva não pode ser o gráfico de uma função y=f(x) para 
qualquer f. Afinal, se isso fosse verdade teríamos, 
f(a) = b e f(a) = c
Como já vimos, a função f não pode atribuir dois valores diferentes para a entrada 
a. Isso quer dizer que não existe uma função f com gráfico dado pela figura acima. 
De maneira geral podemos formalizar essas informações na forma, 
ANOTE ISSO
TESTE DA RETA VERTICAL: Uma determinada curva no plano cartesiano 
bidimensional é gráfico de uma função f se, e somente se, uma reta vertical não 
intercepta a curva mais de uma vez.
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1.2.4 Conhecendo o domínio e a imagem de uma função
Vamos considerar que as variáveis e apresentam uma relação dada por y=f(x). Dessa 
forma, o conjunto formado por todos os valores de x (entradas) permitidos é denominado 
domínio da função f. Já o conjunto formado por todos valores de y (saídas) que resultam 
quando a variável x varia sobre o domínio é denominado imagem da função f.
Destacamos aqui que restrições físicas e geométricas podem surgir impondo condições 
específicas sobre as possíveis entradas de uma função. Como exemplo podemos considerar 
o caso da área de um quadrado. Denotaremos y para representar a área e x para representar 
seu lado. Dessa forma a equação que relaciona essas duas variáveis é y=x2. Apesar da 
equação produzir apenas um valor para y, cada número real representado por x deve ser 
não negativo e impõe a exigência de que x 0. Afinal, não existe medida de comprimento 
negativo. Com base nessas informações, vamos usar a seguinte definição:
ANOTE ISSO
DEFINIÇÃO: Se o domínio de uma função de variável real a valores reais, que pode 
ser definida por uma fórmula não estiver explícito, vamos considerar que o domínio 
é composto por todos os números reais em que a fórmula fornece um valor real. 
Denominaremos então como domínio natural da função. 
O domínio e a imagem de uma função pode ser identificado visualmente como 
mostrado pela figura abaixo,
Figura 9: Domínio e Imagem de uma determinada função.
Fonte: Próprio autor (2021).
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Destacamos que o universo das funções é muito grande e que existem muitas 
maneiras para sua representação e seu tratamento. Não iremos nos estender muito 
aqui, pois quando for necessário, introduziremos e discutiremos tais representações 
e tratamentos. Ao longo do nosso curso exploraremos, principalmente os recursos 
gráficos. Faremos isso através das ferramentas que iremos desenvolver ao longo do 
nosso curso. Essas ferramentas representam aplicações em todas as áreas das ciências 
exatas. Como critério de exemplo, nosso objetivo ao longo do nosso curso é introduzir, 
definir e discutir os limites,as derivadas e as integrais no contexto das funções de 
apenas uma variável. Através dessas ferramentas seremos capazes de estudar e 
entender o comportamento gráfico de qualquer tipo de função. Conseguiremos assim 
explorar ao máximo todas as informações possíveis nesse contexto. 
ISTO ESTÁ NA REDE
Baseados em todas as informações mencionadas na presente aula, podemos citar 
a pandemia do COVID19 no ano de 2020. Foi constatado, com base nos números 
de casos ocorridos que a epidemia apresentou crescimento com comportamento 
exponencial. A função exponencial é um tipo de função que apresenta alta 
recorrência em ciências e por isso é bem utilizada. Você pode ler a notícia na 
íntegra para se familiarizar um pouco mais com algumas características desse tipo 
específico de funções no link: 
https://g1.globo.com/bemestar/coronavirus/noticia/2020/03/31/crescimento-
exponencial-e-curva-epidemica-entenda-os-principais-conceitos-matematicos-que-
explicam-a-pandemia-de-coronavirus.ghtml
Destacamos que todas as informações apresentadas e discutidas aqui, na presente 
aula, formam a base do nosso curso e recorrentemente estaremos utilizando para 
definir e discutir novos conceitos. É muito importante que você entenda de maneira 
clara, por isso, além de nossos exemplos utilizados e nossos conceitos trabalhados 
você pode encontrar diversos outros exercícios de diferentes graus de dificuldades, 
envolvendo diversas outras funções muito comuns no contexto da ciência, assim 
como as definições e os conceitos trabalhados nas referências ANTON; BIVENS; DAVIS 
(2014), GUIDORIZZI (2013), HUGHES-HALLET (2011), MORETTIN; HAZZAN; BUSSAB 
(2016) e SILVA (2017).
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1.3 RESUMINDO
Na presente aula introduzimos a importância de aprendermos expressar e representar 
qualitativamente a relação entre duas variáveis que podem representar quantidades 
reais em modelos científicos para reproduzir a natureza. Dessa forma, iniciamos 
introduzindo e discutindo o conceito de funções e suas formas de representação. 
Em seguida discutimos de maneira sintética o conceito de variáveis de uma função 
e a forma gráfica de representação. Essa será muito bem explorada durante todo o 
curso. Finalmente discutimos mais alguns conceitos relacionados as funções como 
por exemplo o teste da reta vertical, domínio e imagens de uma dada função. 
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CAPÍTULO 2
FUNÇÕES EM CÁLCULO 
DIFERENCIAL E INTEGRAL
2.1 INTRODUÇÃO
Da mesma maneira com que podemos realizar várias operações com números, 
também podemos fazer com funções. Na presente aula iremos explorar algumas 
dessas operações, no contexto das funções e também discutiremos mais algumas 
informações importantes relacionados a elas.
2.2 REALIZANDO OPERAÇÕES COM FUNÇÕES
Inicialmente, vamos considerar duas funções dadas por f e g. Através delas, 
iremos realizar as seguintes operações especificamente definidas e destacadas 
abaixo.
ANOTE ISSO
i) 
ii) 
iii) 
iv) 
Uma importante observação é que nos casos em que temos a soma f+g, definimos 
como domínio a interseção dos domínios de f e g. Já no caso da razão f/g o domínio 
é definido da mesma forma, porém, devemos excluir os pontos em que g(x)=0. Assim 
evitamos a divisão por zero. 
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2.2.1 Funções compostas
Ainda considerando as funções f e g, definiremos a composição de f e g na forma, 
f(g(x)). Nesse contexto, o domínio por definição, consiste em todo x no domínio de g 
com g(x) no domínio de f.
Para exemplificar essas afirmações vamos considerar as seguintes funções dadas 
por,
f(x)=x2,
g(x)=x+1
 e calcular f(g(x)). Ou seja,
É importante destacarmos que muitas funções em matemática, física e até mesmo 
nas engenharias são formadas por uma composição de funções. Em outras palavras, 
uma função h pode ser expressa na forma, 
Considerando a afirmação acima e as funções f e g já definidas, teremos, 
sendo e .
2.2.2 Obtendo novas funções a partir de funções antigas
No presente momento iremos fazer um tratamento geométrico de operações básicas 
envolvendo funções. Em outras palavras, vamos considerar por critérios didáticos as 
funções com dependência temporal dadas por,
 
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ANOTE ISSO
O gráfico de é construído a partir de e . Isso é 
realizado somando os valores de que correspondem a cada .
Vamos considerar como exemplo as seguintes funções com dependência temporal 
dadas por,
Nesse contexto, o gráfico correspondente a soma das funções, 
com é representado abaixo.
Figura 1: Função em azul, em vermelho e a soma em preto.
Fonte: Próprio autor (2021).
2.2.3 Transladando funções
Nesse momento, iremos ainda explorar o efeito geométrico. Agora, iremos somar a 
função f ou a sua variável independente x, uma constante c e verificar o que obteremos. 
Para isso, vamos considerar que a função seja dada por y=f(x). 
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Por questões de simplicidade e para tornar nossa aula mais didática vamos considerar 
a seguinte função quadrática, 
y=x2,
dada por uma parábola na origem. Dessa forma, 
ANOTE ISSO
i) y=f(x)+c: Translada o gráfico em unidade para cima.
ii) y=f(x)-c: Translada o gráfico em unidade para baixo.
iii) y=f(x+c): Translada o gráfico em unidade para esquerda.
iv) y=f(x-c): Translada o gráfico em unidade para direita.
As afirmações acima são melhores representadas pelos seguintes gráficos abaixo:
Figura 2: Função f(x)=x2, em vermelho, sendo transladada no eixo y pela adição ou subtração da constante c. y=f(x)+c em azul e y=f(x) em verde.
Fonte: Próprio autor (2021).
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Figura 3: Função f(x)=x2 sendo transladada no eixo x pela adição ou subtração da constante c na coordenada x.y= f(x+c) em azul e y= f(x-c) em verde.
Fonte: Próprio autor (2021).
2.2.4 Refletindo funções
Vamos agora considerar a seguinte função e verificar o que obteremos ao trocar 
o sinal das variáveis independentes,
Nesse caso:
ANOTE ISSO
i) y=f(-x): Reflete o gráfico no eixo y, pois, o ponto (x,y) original se transforma em 
(-x,y). 
ii) y=-f(x): Reflete o gráfico no eixo x, pois, o ponto (x,y) original se transforma em 
(x,-y).
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As afirmações acima são melhores representadas pelos seguintes gráficos abaixo:
Figura 4: Função y= √x, em vermelho, sendo espelhada em relação ao eixo y.y= √-x em azul.
Fonte: Próprio autor (2021).
Figura 5: Função y= √x, em vermelho, sendo espelhada em relação ao eixo x.y= √x em azul.
Fonte: Próprio autor (2021).
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2.2.5 Alongando e comprimindo funções
Vamos considerar uma função y=f(x) definida na forma abaixo e explorar o efeito 
obtido ao multiplicarmos por uma constante c,
y=f(x)=cos(x)
Nesse caso:
ANOTE ISSO
i) y=c.f(x), com c>1: Alonga o gráfico verticalmente, afinal, a coordenada é 
aumentada em c. Para o caso em que c<-1 o gráfico é comprimido, pois, a 
coordenada é diminuída em c.
ii) y=f(c.x): Comprime o gráfico horizontalmente, afinal, a variável independente é 
aumentada em c, em módulo.
As afirmações acima são melhores representadas pelos seguintes gráficos abaixo:
Figura 6: Função y=cos(x) sendo alongada em relação ao eixo y. Função y=cos(x) em vermelho e y=2.cos(x) em preto.
Fonte: Próprio autor (2021).
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Figura 7: Função y=cos(x) sendo comprimida em relação ao eixo x. Função cos(x) em vermelho e y=cos(2.x) em preto.
Fonte: Próprio autor (2021).
ISTO ESTÁ NA REDE
Uma informação bem interessante envolvendo tipos de funções cíclicas 
como funções seno e cosseno é o caso de rompimento de construções civis 
denominadas pontes. Um fator que maximiza bastante os efeitos das adversidades 
relacionadas ao meio externo é o fenômeno denominado ressonância. Nesse caso, 
a ponte começa a oscilar, devido a fatores externos, com mesma frequência da 
sua oscilação natural de vibração. Isso faz com que a amplitude do movimento 
oscilatório seja aumentada cada vez mais podendo ocasionar o rompimento dessas 
estruturas. Do ponto de vista matemático isso é visto como um alongamento, 
em relação ao eixo y, da função cíclica que descreve o movimento oscilatório. O 
exemplo gráfico para essa situação pode ser ilustrado como a figura 6. 
Caso você esteja curioso para se aprofundar nesse fenômeno, você pode consultar 
a notícia na íntegra com link: 
http://www.ime.unicamp.br/~apmat/ponte-de-tacoma/
http://www.ime.unicamp.br/~apmat/ponte-de-tacoma/
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2.2.6 Funções simétricas
Vamos considerar o plano cartesiano bidimensional xy e explorar, de maneira 
geométrica os tipos de simetria existentes correspondentes as funções em relações 
aos eixos x e y. Sabemos que nesse caso existem três tipos de simetria definidas na 
forma:
ANOTE ISSO
i) Simetria em relação a y: É obtida realizando a troca da coordenada x →-x e 
obtendo uma equação equivalente. 
ii) Simetria em relação a x: É obtida realizando a troca da coordenada y → -y e 
obtendo uma equação equivalente.
iii) Simetria em relação a xy: É obtida realizando a troca da coordenada x → -x e y 
→-y obtendo uma equação equivalente.
As afirmações acima são melhores representadas pelos seguintes gráficos abaixo:
Figura 8: Função quadrática y=x2 simétrica em relação ao eixo y.
Fonte: Próprio autor (2021).
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Figura 9: Função quadrática x=y2 simétrica em relação ao eixo y.
Fonte: Próprio autor (2021).
Figura 10: Função cúbida y=x3 simétrica em relação ao eixo 
Fonte: Próprio autor (2021).
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2.2.7 Paridade em funções
Dizemos que uma função é par se ela apresenta a seguinte propriedade, em relação 
a sua coordenada, 
f(-x)=f(x)
Em contrapartida, dizemos que uma função é ímpar se ela apresenta a seguinte 
propriedade, em relação a sua coordenada, 
f(-x)=-f(x)
ANOTE ISSO
Em termos gráficos uma função par é simétrica em relação ao eixo y, afinal a 
coordenada x é substituída pela coordenada -x. Já a função ímpar é simétrica em 
relação a origem.
As afirmações acima são melhores representadas pelos seguintes gráficos abaixo:
Figura 11: Função quadrática y=-x2+1/2 A função dada é uma função par.
Fonte: Próprio autor (2021).
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Figura 12: Função trigonométrica y=sen(x) A função dada é uma função ímpar.
Fonte: Próprio autor (2021).
2.3 TRABALHANDO COM FAMÍLIAS DE FUNÇÕES
As denominadas famílias de funções é o conjunto formado pela variação dos 
parâmetros envolvidos na definição de função. 
Vamos considerar como exemplo a função constante, dada por, 
f(x)=c,
sendo c uma constante que denominaremos de parâmetro.
Ao variarmos c, encontraremos a família de funções cujas retas são paralelas ao 
eixo x. As mesmas ideias podem ser utilizadas, por exemplo, no caso da função de 
primeiro grau completa, dada por, 
f(x)=ax+b
Nesse caso, podemos gerar, por exemplo, duas famílias de funções diferentes, afinal 
temos os parâmetros a e b. 
As afirmações acima são melhores representadas pelos seguintes gráficos abaixo:
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Figura 13: Função constante y=c com variação do parâmetro c.
Fonte: Próprio autor (2021).
Figura 14: Função de 1º grau y=ax+b com variação do parâmetro a.
Fonte: Próprio autor (2021).
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Figura 15: Função de 1º grau y=ax+b com variação do parâmetro b.
Fonte: Próprio autor (2021).
2.4 INVERSÃO DE FUNÇÕES
Quando dizemos inversa de uma função, estamos nos referindo ao fato de 
resolvermos a equação y=f(x) em x, como uma função de y. Em outras palavras, o 
que queremos dizer é que buscamos resolver a equação x=g(y). Destacamos que 
esse processo é um dos mais importantes em toda matemática, assim como na 
física, na engenharia e em ciências exatas no geral. Através dessa ideia podemos 
fazer a seguinte definição: 
ANOTE ISSO
DEFINIÇÃO: Se duas funções, definidas por f e g tal que, g(f(x))=x, em cada x do 
domínio de f e f(g(x))=y, em cada y do domínio de g. Dizemos que f e g são inversas 
uma da outra, ou f é inversa de g e g é uma inversa de f. 
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ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Como exemplo vamos considerar as seguintes funções, 
Dessa forma,
Em palavras, uma função cancela o efeito da outra.
Destacamos que todas as informações apresentadas e discutidas aqui, na presente 
aula, serão utilizadas para definir e discutir novos conceitos. É muito importante que 
você entenda de maneira clara. Nesse contexto, além de nossos exemplos utilizados e 
nossos conceitos trabalhados sugerimos que busque aprimorar os seus conhecimentos 
através de novos exemplos, exercícios resolvidos e até mesmo maneiras de aplicação do 
conhecimento adquirido. Tudo isso pode ser encontrado nas referências você ANTON; 
BIVENS; DAVIS (2014), GUIDORIZZI (2013), HUGHES-HALLET (2011), MORETTIN; 
HAZZAN; BUSSAB (2016) e SILVA (2017).
2.5 RESUMINDO
Na presente aula exploramos algumas características e propriedades gerais 
relacionadas a qualquer tipo de função. Nesse contexto iniciamos destacando as 
operações aritméticas de soma, subtração, multiplicação e divisão entre duas 
funções. Em seguida, definimos a propriedade de escrever uma determinada função 
em termos de outras funções e nomeamos esse processo de funções compostas. 
Finalmente estudamos os efeitos causados pela soma de uma constante nas variáveis 
independentes e dependentes. Assim definimos as operações de translação, reflexão, 
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alongamento e compressão de funções. Além de destacar os conceitos de funções 
simétricas, paridade de funções, família de funções e como invertê-las. As informações 
trabalhadas na presente aula nos oferecem aprimoramento das nossas técnicas para 
realizarmos o tratamento analítico de funções representadas na forma gráfica e isso 
será bastante utilizado ao longo das nossas aulas. 
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CAPÍTULO 3
LIMITES
3.1 INTRODUÇÃO
De maneira resumida, o objetivo geral desse curso é explorar todas as informações 
possíveis de uma função que foi obtida através da relação entre duas quantidades 
quaisquer e dentro de um determinado contexto. É importante destacar que as técnicas 
e informações apresentadas ao longo do nosso curso se aplicam a qualquer área do 
conhecimento envolvendo ciências naturais e ciências exatas e é isso que permite a 
ciência a construir modelos e enunciar leis, teoremas e entre outros. Geralmente e na 
grande maioria dos casos a relação entre as duas quantidades são obtidas através 
de processos de medidas em que as quantidades e suas relações são reproduzidas 
na forma gráfica.Através do comportamento gráfico é que se consegue a função 
que melhor descreve tal relação. Em contrapartida, o que faremos é o contrário ou 
seja, dada uma função iremos aprender, através das técnicas discutidas, a retirar 
as informações possíveis e construir o gráfico da mesma. O mais fascinante disso 
é que essas técnicas se estendem para os casos de qualquer função, o que nos dá 
um poder fascinante para fazer ciência e criar modelos que reproduzam a realidade 
dos fenômenos naturais.
A definição de limites é a que está por trás de conceitos extremamente fundamentais 
presentes no cálculo e, portanto, na matemática, física, química, engenharia e nas 
ciências exatas em geral, como por exemplo, o conceito de derivadas, integrais e muitas 
outras. De uma forma geral, todos esses conceitos estão ligados ao conceito de taxa 
de variação, muito utilizada na modelagem de problemas e também na otimização de 
problemas que reproduzem a realidade e os fenômenos da natureza. Na presente aula, 
focaremos nosso estudo na definição e nas propriedades envolvidas com os limites. 
3.2 O LIMITE DE FORMA INTUITIVA
A presente aula será dividida em dois momentos. No primeiro, iremos explorar a 
ideia intuitiva por trás do limite. Em outras palavras iremos tratar esse conceito de 
uma maneira não rigorosa. Após toda essa discussão, iremos passar de fato o estudo 
formal e rigoroso dos limites através da sua definição matemática. 
Dentro desse contexto, vamos iniciar a presente seção destacando que, muitas 
ideias do cálculo diferencial tiveram origem em problemas envolvendo geometria. De 
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maneira mais específica podemos citar dois desses problemas sendo eles o problema 
da reta tangente e o problema de área. 
I. O problema de reta tangente: É aquele em que dada uma função, representada 
por f e um determinado ponto P(x0,y0) em seu gráfico, encontrar uma equação 
da reta que é tangente ao gráfico no ponto P. O problema é representado 
geometricamente pela figura abaixo. 
Figura 1: Reta tangente a função f(x)=x3-x, no ponto .
Fonte: Próprio autor (2021).
II. O problema de área: Dada uma função f, encontrar a área entre f e um intervalo 
[a,b] no eixo x. O problema é representado pela figura abaixo. 
Figura 2: Área de parte da função f(x)=x3-x, com x variando entre (0.3,0.7) e y variando entre (0,-3.75).
Fonte: Próprio autor (2021).
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ANOTE ISSO
DEFINIÇÃO: Em termos aplicados o conceito de limite é a forma mais básica, 
no sentido de analisar o comportamento de uma função, quando a variável 
independente tende a um valor.
Como exemplo vamos considerar uma determinada função , dada por, 
f(x)=x2-x+1
Vamos analisar o caso em que a variável independente se aproxima do valor 2. 
Nesse caso, f(x) se aproxima cada vez mais de 3. Isso ocorre na medida que vai se 
aproximando cada vez mais de 2, pela direita ou pela esquerda. Assim denotaremos 
esse resultado na forma, 
Na forma gráfica o resultado acima é representado na forma, 
Figura 3: Valor da função f(x)x2-x+1 quando se aproxima do valor 2.
Fonte: Próprio autor (2021).
Também podemos representar esse resultado na forma de tabelas, para auxiliar 
nosso entendimento sobre o conceito e a aplicabilidade dos limites. 
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x f(x)
1 1,000000
1,9 2,710000
1,99 2,970100
1,995 2,985025
1,999 2,997001
2 3,000000
2,001 3,003001
2,005 3,015025
2,01 3,030100
2,1 3,310000
3 7,000000
Tabela 1 – Valores da função f(x)=x2-x+1 quando se aproxima do valor 2.
Fonte: Próprio autor (2021).
Os resultados representados pela figura 3 e pela tabela 1 no fornecem a informação 
de que, do ponto de vista informal, se os valores de f(x) pudessem ser tornados tão 
próximos quanto queremos de um valor L, uma vez que, tomemos os valores de x 
suficientemente próximos de a, tal que x não seja exatamente a, escrevemos, 
Podemos também escrever na forma de seguinte notação, 
ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Vamos considerar como exemplo a função dada por, 
e conjecturar o valor limite dessa função. Em outras palavras, o que queremos é 
calcular o seguinte limite, 
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ANOTE ISSO
Uma observação extremamente importante a ser destacada está no fato de que a 
função f(x) não está definida para o valor x=1. Apesar disso, o valor do limite não é 
influenciado, ou seja, ele existe. 
Para auxiliar nosso entendimento, podemos considerar a seguinte tabela com valores 
a serem visualizados, 
x f(x)
0,99 1,994987
0,999 1,999500
0,99999 1,999995
0 1,000000
1,00001 2,000005
1,001 2,000500
1,01 2,004988
Tabela 2 – Valores da função quando x se aproxima do valor 1.
Fonte: Próprio autor (2021).
Reparamos que os valores que tendem a 1, tanto pela direita e quanto pela esquerda 
parecem se aproximarem cada vez mais de 2. O gráfico da função f(x) também nos 
ajuda a verificar a informação obtida através do cálculo do limite, ou seja, 
Figura 4: Valor da função quando x se aproxima do valor 1.
Fonte: Próprio autor (2021).
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3.3 LIMITES LATERAIS
Iniciamos destacando que é muito comum a utilização da nomenclatura limites 
laterais ou limites bilateriais pelo fato dos valores L serem obtidos pelos dois lados 
do valor a. Ou seja, 
ANOTE ISSO
Apesar disso, precisamos diferenciar essas notações, afinal, isso nem sempre será 
verdadeiro, dependendo das funções utilizadas. 
Nesses casos, em que a função apresenta diferentes comportamentos para valores 
de tendendo para a esquerda e pela direita, utilizaremos a seguinte notação, 
Em outras palavras, o que queremos dizer é que quando se aproxima pela direita 
de a, a função tende a ir para o valor L. No caso em que x se aproxima pela esquerda 
de a, a função tende a ir para o valor M.
De maneira geral, o limite bilateral de uma determinada função f(x), em um 
determinado ponto a existe, se e somente se, os limites laterais naquele ponto, existirem 
e apresentarem o mesmo valor, ou seja, 
Se e somente se,
3.4 LIMITES INFINITOS
Vamos destacar que, é possível que os limites laterais ou simplesmente bilaterais 
não existam, devido ao fato das funções crescerem ou decrescerem sem cotas. O 
que queremos dizer com essa afirmação é que, 
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ANOTE ISSO
Em resumo, f(x) descreve sem cota quando x tende a a pela esquerda ou pela 
direita respectivamente. 
Dessa forma, escrevemos em uma única expressão, 
Destacamos que as mesmas ideias se aplicam para o caso negativo, ou seja, 
ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Para exemplificar nossas afirmações, vamos considerar a função dada por, 
Podemos utilizar a tabela abaixo para nos auxiliar e verificar algumas informações 
importantes, quando se aproxima de zero, nessa função.
x f(x)
-1 -1
-0,1 -10
-0,01 -100
-0,0001 -10000
0
0,0001 10000
0,01 100
0,1 10
1 1
Tabela 3 – Valores da função quando x se aproxima do valor 0..
Fonte: Próprio autor (2021).
Também podemos utilizar o gráfico abaixo que corresponde a essa função. 
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Figura 5: Valor da função quando x se aproxima do valor 0.
Fonte: Próprio autor (2021).
Diante de todas essas ferramentas, podemos concluir que 
ISTO ESTÁ NA REDE
Baseados em todas as informações mencionadas na presente aula, podemos citar 
um dos assuntos mais misteriosos da ciência e que desperta uma curiosidade 
intensa de toda a população: Os buracos negros. Esse é um conceito muito antigoque foi popularizado através da Teoria da Relatividade Geral de Einstein. O conceito 
que está por trás dessa definição está intimamente ligado a uma inconsistência 
matemática que nada mais é do que uma divisão por zero. Em outras palavras os 
buracos negros apresentam uma característica que é conhecida como singularidade. 
A singularidade é matematicamente definida, geralmente, como sendo 1/r, onde r é o 
raio do horizonte de eventos do objeto celeste. Nesse contexto, a divisão por zero tem 
origem através do limite, . Você pode ler a notícia na íntegra sobre os estudos 
dos pesquisadores que ganharam o prêmio Nobel de 2020 para se familiarizar um 
pouco mais com algumas características desse tipo específico de objetos no link: 
https://veja.abril.com.br/ciencia/trio-vence-nobel-de-fisica-por-pesquisas-sobre-
buracos-negros/
https://veja.abril.com.br/ciencia/trio-vence-nobel-de-fisica-por-pesquisas-sobre-buracos-negros/
https://veja.abril.com.br/ciencia/trio-vence-nobel-de-fisica-por-pesquisas-sobre-buracos-negros/
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3.5 O LIMITE DE FORMA RIGOROSA
Destacamos mais uma vez que nas seções anteriores focamos nosso estudo em 
obter valores dos limites sem nos preocupar de fato com sua definição rigorosa. A 
partir de agora, entenderemos um pouco mais sobre o que de fato está por trás dessa 
definição tão básica para o cálculo e, consequentemente, para a ciência. 
Nesse contexto, vimos que a afirmação é interpretada, do ponto de 
vista informal, como o significado de f(x) quando os valores de x são tomados tão 
próximo de a. Isso leva o f(x) a ser tão próximo do valor L. O que faremos agora é 
simplesmente tornar essa afirmação mais precisa. 
Para isso, vamos considerar uma função, dada por f, de tal forma que f(x) → L quando 
x →a. Repare que f é uma função genérica que, por exemplo, pode ser representada 
graficamente através da figura abaixo.
Figura 6: Função genérica que, quando x se aproxima do valor a, f(x) se aproxima do valor L.
Fonte: ANTON; BIVENS; DAVIS. (2014). Pg 100.
Uma observação importante a ser feita é que, não necessariamente a função f 
tem que ser definida em x=a. Ou seja, caso ela não seja definida nesse ponto o limite 
pode existir. 
Feito isso, escolhemos um valor positivo qualquer dado por ε e fazemos a seguinte 
pergunta: Qual o valor que x deve assumir, tão próximo de a, para que possamos 
garantir que os valores de f(x) caiam a uma distância menor a ε de L? Podemos 
responder essa pergunta através de retas verticais traçadas a partir desses pontos 
da curva até o eixo x como feito na figura abaixo.
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Figura 7: Função genérica no intervalo L-ε até L+ ε.
Fonte: ANTON; BIVENS; DAVIS. (2014). Pg 100.
Nesse caso, x0 e x1 são os pontos em que as retas verticais cortam o eixo .
Nesse momento vamos imaginar que x se aproxime cada vez mais de a, em qualquer 
dos dois lados. A partir de um determinado momento, o valor de x estará dentro do 
intervalo (x0,x1), conforme destacado pela figura abaixo.
Figura 8: Representação gráfica da definição formal do limite de uma função.
Fonte: ANTON; BIVENS; DAVIS. (2014). Pg 100.
Nessas condições, o valor da função f(x) cairá entre o valor L-ε e L+ ε. Esse é o 
intervalo destacado pela figura. Assim podemos enunciar à seguinte conclusão:
Se f(x) → L quando x → a, então para qualquer número positivo ε podemos encontrar 
um determinado intervalo aberto (x0,x1) no eixo x que contém o ponto a e que apresenta 
a incrível propriedade de que, para cada x nesse intervalo (com exceção x=a), o valor 
da função f(x) está dentro do intervalo L-ε e L+ ε. 
A grande importância desse resultado está no fato da sua validade ser independente 
do quão pequeno se toma o valor de ε. Assim, tomar cada vez menos o valor de ε 
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significa forçar f(x) a ficar cada vez mais próximo do valor L. Esse é, de maneira precisa, 
o conceito que estamos tentando captar de forma matematicamente. 
Uma importante observação é que se olharmos para a figura 6 podemos perceber 
que o intervalo dado por (x0,x1) está estendido mais para o lado direito de a do que 
para o lado esquerdo. Nessas condições, é sempre preferível dispor de um intervalo que 
esteja a mesma distância em ambos os lados de a. Dessa forma, podemos escolher 
qualquer número positivo δ que seja menor do que x1-a e a-x0. Em outras palavras 
estamos considerando o seguinte intervalo,
Esse é o intervalo que se estende a mesma distância de ambos os lados de 
a, estando dentro do intervalo (x0,x1) (representado pela figura 7). Além disso, não 
podemos esquecer a condição
Que vale com qualquer x desse intervalo (podendo ser com a exceção do valor x=a), 
uma vez que essa condição tem validade no maior intervalo (x0,x1).
Podemos então representar a condição acima na forma mais genérica, 
.
Já a condição em que deve estar dentro do intervalo , mas , 
pode ser expressa na forma, 
Finalmente, conseguimos então enunciar a seguinte definição rigorosa para os limites:
ANOTE ISSO
DEFINIÇÃO: Seja uma função f(x) definida em todo o intervalo aberto de x e 
que contenha o número a e com a exceção de que a função não precisa ser 
necessariamente definida em a, escrevemos: 
se através de qualquer número , pudermos encontrar um número tal 
que,
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Para finalizar a presente aula destacaremos que o valor de não é único. Isso 
porque uma vez que encontramos um valor que preenche as exigências da definição, 
qualquer valor positivo 1 que seja menos do que também cumpre as exigências 
da definição. Ou seja, se for verdade que, 
Logo 
A justificativa para tal afirmação está ligada ao fato de que é 
um subconjunto de . Portanto se estiver satisfeita 
para todo valor de x, no intervalo maior, então satisfará automaticamente para todo 
x no subconjunto. 
Agora que você já está apto a fazer discussões rigorosas sobre limites, você pode 
consultar as referências ANTON; BIVENS; DAVIS (2014), GUIDORIZZI (2013), HUGHES-
HALLET (2011), MORETTIN; HAZZAN; BUSSAB (2016) e SILVA (2017) para aprimorar 
os seus conhecimentos sobre limites e também verificar de maneira rigorosa como 
funcionam na prática os limites envolvendo infinitos.
Destacamos que todas as informações apresentadas e discutidas aqui, na presente 
aula, servirão como a base do nosso curso de cálculo diferencial e integral. Em outras 
palavras o conceito de limite será utilizado com muita frequência e muitas dessas 
vezes estará implícito em novas definições. É muito importante que você entenda de 
maneira clara essa importante definição, por isso, indicamos que, além de nossos 
exemplos utilizados e nossos conceitos trabalhados você aplique seus conhecimentos 
adquiridos em diversos outros exercícios de diferentes graus de dificuldades, que 
podem ser encontrados nas referências ANTON; BIVENS; DAVIS (2014), GUIDORIZZI 
(2013), HUGHES-HALLET (2011), MORETTIN; HAZZAN; BUSSAB (2016) e SILVA (2017).
3.6 RESUMINDO
Na presente aula exploramos de maneira intuitiva o conceito por trás de limite. 
Nesse contexto introduzimos e discutimos algumas características e propriedades 
dessa importante ferramenta para o desenvolvimento do cálculo diferencial e integral. 
Vimos como é a aplicabilidade e a funcionalidade dos limites laterais e também dos 
limites infinitos destacando que essas ferramentas são de extrema importância 
para fazermos análise de funções no contexto das ciências e da pesquisa científica. 
Finalmente, introduzimos e discutimos formalmente o conceito dos limites do ponto 
de vista rigoroso da matemática. 
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CAPÍTULO 4
LIMITES ASSINTÓTICOS
4.1 INTRODUÇÃO
Destacamos que até o presente momento trabalhamos com limites de funções 
com x tendendo a um número real que estamos denotando como a. Na presente aula 
iremos concentrar nossa atenção em funções que apresentam comportamento para o 
infinito quando x cresce ou decresce sem cotas. Esse é um assunto muito importante 
no contexto da ciência. Através deles, várias equações necessitam de uma análise 
sob essas condições.
4.2 ASSÍNTOTAS NA HORIZONTAL
Dizemos que o comportamento final de uma determinada função f(x) é o 
comportamento da função quando x cresce ou decresce sem cota. Em outras palavras, 
vamos considerar a função f(x)= 1__x como exemplo, para concluir que, 
Para auxiliar na obtenção desses resultados, podemos considerar a seguinte tabela 
de valores, onde para cada valor atribuído a x, obtemos o valor da função f(x). 
x f(x) x f(x)
-1 -1 1 1
-10 -0,1 10 0,1
-1000 -0,001 1000 0,001
-100000 -0,00001 100000 0,00001
Tabela 1 – Valores da função f(x)= 1__x quando x cresce sem cota pela esquerda e pela direita respectivamente.
Fonte: Próprio autor (2021).
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Repare que estamos aqui considerando não apenas valores negativos para x, mas, 
também valores positivos. Uma outra maneira de também visualizar essa conclusão 
é através da seguinte representação gráfica.
Figura 1: Valores da função f(x)= 1__x quando x cresce sem cota pela esquerda e pela direita respectivamente.
Fonte: Próprio autor (2021).
O que queremos dizer é que, no ponto de vista informal, se os valores da função 
f(x) ficam tão próximos quanto queiramos de um número real L, à medida que x cresce 
sem cota, então escrevemos, 
ou, em outra notação, 
 
Se uma das duas situações acima ocorrem, dizemos que y=L é uma assíntota 
horizontal. 
Os resultados expostos também servem para o caso de limites em e . 
Além disso, também destacamos as seguintes afirmações, considerando o número 
n como sendo inteiro e positivo: 
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Desde que os limites indicados existam, também destacamos:
Para o caso em que a função é uma função constante, do tipo f(x)=k, sendo k a 
constante, teremos,
4.3 LIMITIES INFINITOS NO INFINITO
Uma importante observação a ser feita e relacionado a limites no infinito é que, 
assim como no caso de limites para um número real, podem deixar de existir por vários 
motivos. Uma das possibilidades é que os valores de f(x) cresce ou decresce sem 
cota quando , ou . Essas situações específicas serão representadas 
por nós na forma, 
para os casos que crescem e, 
para os casos que decrescem.
4.4 ASSÍNTOTAS VERTICAIS
Iniciamos destacando que, normalmente, uma função pode apresentar um gráfico 
com uma variedade muito grande de limites. Nesse contexto, vamos ilustrar graficamente 
o que acontece com uma determinada função quando, 
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Como exemplo para ilustrar as assíntotas verticais vamos considerar as 
representações gráficas das seguintes funções, 
Figura 2: Valor da função f(x)=e-x+1+0,01 quando x cresce sem cota pela esquerda e pela direita respectivamente.
Fonte: Próprio autor (2021).
Figura 3: Valor da função quando x cresce sem cota pela esquerda e pela direita respectivamente.
Fonte: Próprio autor (2021).
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Figura 4: Valor da função quando x cresce sem cota pela esquerda e pela direita respectivamente.
Fonte: Próprio autor (2021).
4.5 ALGUNS LIMITES BÁSICOS E SUAS PROPORIEDADES
Vamos iniciar a presente seção destacando o seguinte teorema:
ANOTE ISSO
TEOREMA: Vamos considerar dois número reais dados por a e k. Nesse contexto 
teremos: 
As quatro informações acima são representadas na forma gráfica respectivamente 
por, 
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Figura 5: Valor da função constante quando x se aproxima do valor .
Fonte: Próprio autor (2021).
Figura 6: Valor da função f(x)=x quando x se aproxima do valor a..
Fonte: Próprio autor (2021).
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Figura 6: Valor da função f(x)= 1__x quando x cresce sem cota pela esquerda e pela direita respectivamente.
Fonte: Próprio autor (2021).
ISTO ESTÁ NA REDE
Você pode aprimorar seus conhecimentos sobre limites, entendendo um pouco 
mais sobre sua definição e sua imensa aplicabilidade no contexto das ciências 
exatas na aula destacada sob o link: 
https://www.youtube.com/watch?v=voBexx2V7gw
Também pode entender um pouco mais sobre as assíntotas de uma função e sua 
relação com os limites na aula destacada sob o link: 
https://www.youtube.com/watch?v=u6wAIs0_lnw
Destacamos mais uma vez que existem infinitas funções com comportamentos 
mais variados possíveis e por isso é muito importante que você aluno, além de 
nossas aulas e vídeo aulas consultem todo o material de referência. Dessa forma 
seu conhecimento será cada vez mais aprimorado e você apresentará uma 
constante evolução.
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De maneira análoga, enunciamos o seguinte teorema:
ANOTE ISSO
TEOREMA: Se a é um número real e supondo que os limites existam e sejam dados 
por, 
Então,
Destacamos que as informações acima também são válidas para os casos de 
limites laterais, ou seja, quando x→a+, ou x→a-. Também destacamos que esses 
resultados valem para um número finito de funções e podem ser combinados para 
tratar expressões mais complexas que envolvem reformulações de limites.
ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Como exemplo mais simples, vamos tratar uma função do tipo polinomial e dada 
por, 
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Podemos perceber que a função pode ser decomposta como uma soma de três 
funções diferentes dadas pelos termos, x2, -4x, e a função constante 3. O limite de 
f(x) será então dado por, 
Para o caso de uma função polinomial genérica, de grau , vamos enunciar o seguinte 
teorema: 
ANOTE ISSO
TEOREMA: Seja o polinômio dado por, 
Qualquer número real a leva, 
DEMONSTRAÇÃO: 
Podemos usar ideias análogas para tratar o caso em que temos três funções dadas 
por f(x), p(x) e g(x) tal que, 
Em outras palavras, a função f(x) é uma função racional e a é um número qualquer. 
Assim, 
i) se então 
ii) se , mas então não existe.
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ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Como um novo exemplo, vamos tratar uma função dada por, 
Podemos perceber que a função pode ser decomposta como uma soma de quatro 
funções diferentes dadas pelos termos, , x3, ex e a função constante 3. O limite de 
f(x) será então dado por, 
ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Finalizando nossos exemplos, vamos tratar uma função dada por, 
Podemos perceber que a função pode ser decomposta como uma soma de quatro 
funções diferentes dadas pelos termos, , x3, ex e a função constante 3. O limite de 
f(x) será então dado por, 
Destacamos que todas as informações apresentadas e discutidas aqui, na presente 
aula, serão utilizadas a todo tempo para definirmos e discutirmos novos conceitos. Nesse 
contexto, destacamos que é muito importante que você entenda de maneira clara tudo 
que estamos discutindo. Sugerimos por esses fatores que, além de nossos exemplos 
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utilizados e nossos conceitos trabalhados que você consulte as referências ANTON;BIVENS; DAVIS (2014), GUIDORIZZI (2013), HUGHES-HALLET (2011), MORETTIN; 
HAZZAN; BUSSAB (2016) e SILVA (2017) para a absorção do conteúdo seja dada de 
maneira mais eficiente. Ainda nessas referências você encontrará o cálculo de muitos 
limites e diversas técnicas para a resolução dos limites de muitas funções.
4.6 RESUMINDO
Na presente aula exploramos algumas novas informações sobre os limites. Tais 
informações foram fornecidas para critérios mais práticos e estão relacionados 
com a análise gráfica de diversos tipos de funções. Nesse contexto introduzimos 
e discutimos importantes conceitos que envolvem limites sendo eles as assíntotas 
horizontais, os limites no infinito e também as assíntotas verticais. Além disso, em 
seguida, introduzimos e discutimos algumas propriedades mais básicas dos limites. As 
informações trabalhadas na presente aula nos oferecem aprimoramento das nossas 
técnicas para realizarmos o tratamento analítico de funções representadas na forma 
gráfica e isso será bastante utilizado ao longo das nossas aulas.
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CAPÍTULO 5
CONTINUIDADE
5.1 INTRODUÇÃO
Imagine que tenhamos uma bola de futebol chutada por um determinado jogador. Em 
dois instantes diferentes de tempo, sabe-se que a bola assumirá posições diferentes. 
Nesse contexto, é importante destacar que a bola segue uma curva sem interrupções 
que recebe o nome de trajetória, ou seja, ela não some em uma posição no primeiro 
instante e aparece na segunda posição no segundo instante. Nessa aula iremos traduzir 
essa ideia de curvas sem interrupções para o contexto das funções, dos limites e do 
cálculo diferencial e integral.
5.2 CONTINUIDADE
A definição de continuidade está intimamente relacionada na forma em que uma 
função f é definida. Mais especificamente, de maneira mais rigorosa, vamos apresentar 
a seguinte definição:
ANOTE ISSO
DEFINIÇÃO: Uma função f é dita contínua caso sua representação gráfica não 
apresente quebras ou buracos. 
Dessa forma, no nosso primeiro momento, iremos estudar um pouco das propriedades 
das funções que podem acarretar essas quebras ou buracos. Para isso, consideremos 
os seguintes gráficos: 
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Figura 1: Função genérica sem a presença de buracos ou quebras.
Fonte: ANTON; BIVENS; DAVIS. (2014). Pg 110.
Figura 2: Função genérica com a presença de quebra. De maneira mais informa isso é popularmente chamado de salo.
Fonte: ANTON; BIVENS; DAVIS. (2014). Pg 110.
Figura 3: Função genérica sem a presença de buraco.
Fonte: ANTON; BIVENS; DAVIS. (2014). Pg 110.
Figura 4: Função genérica com valor diferente do valor do limite no ponto c.
Fonte: ANTON; BIVENS; DAVIS. (2014). Pg 110.
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Diante dessas ilustrações, é importante discutirmos um pouco mais sobre todas 
as situações ocorridas. Ou seja, 
i) Na figura 1 é importante repararmos que a função não está definida no ponto c. 
ii) Na figura 2 e 3 o limite da função não existe quando x tende ao valor c. 
iii) Na figura 4, o valor da função e do limite no ponto c são diferentes.
Através da análise superficial das funções representadas, enunciaremos a seguinte 
definição:
ANOTE ISSO
DEFINIÇÃO: Uma função f é dita contínua no ponto x = c se as seguintes definições 
forem satisfeitas:
i) f(c) está definida.
ii) existe.
iii) 
Nesse contexto, destacamos que, se uma das condições acima não forem 
satisfeitas então dizemos que f apresenta descontinuidade em x = c. Logo, vemos 
que, 
i) Na figura 1 a função não é definida no ponto c. Isso viola a primeira condição 
mencionada. 
ii) Na figura 2 existem os limites laterais de f(x) quando x→c. Mas, os limites são 
diferentes. Isso quer dizer que não existe e viola a segunda condição. 
No caso da figura 2, dizemos que a função apresenta uma descontinuidade de 
salto no ponto c. 
iii) Na figura 3 os limites laterais são infinitos e isso viola a segunda condição. 
Dizemos que essa função apresenta descontinuidade infinita em c. 
iv) Na figura 4 a função é definida no ponto c e existe. Apesar disso, esses 
valores são diferentes e isso viola a terceira condição. Nesse caso específico, 
dizemos que a função apresenta descontinuidade removível em c. 
5.2.1 A continuidade em um intervalo
Dizemos que uma função é contínua dentro de um intervalo aberto, definido por, 
(a,b) se f é contínua em cada ponto desse intervalo. 
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É importante destacarmos que essas informações também são válidas para os 
casos de intervalos abertos infinitos, ou seja, (a,+∞), (-∞,b) e (+∞,-∞). 
Nesse contexto, quando f for contínua no intervalo (-∞,+∞) dizemos que f é contínua 
em toda parte.
Em caso de intervalo fechado temos a seguinte definição:
ANOTE ISSO
DEFINIÇÃO: Uma função f(x) é dita contínua em um intervalo fechado, dado por 
[a,b] se as seguintes condições são satisfeitas:
i) f é contínua em (a,b)
ii) f é contínua à direita em a
iii) f é contínua à esquerda em b.
ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Como exemplo vamos considerar a seguinte função, dada por, 
e analisar sua continuidade. 
Podemos utilizar para auxiliar nosso entendimento, a representação gráfica para 
essa função. Ou seja, 
Figura 5: Representação gráfica para a função 
Fonte: Próprio autor (2021).
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Apesar disso, estamos buscando informações apenas utilizando os limites. 
Sabemos que o domínio de f(x) é o intervalo fechado [-3,3], ou seja, 
9- x2≥0
3≥x≥-3.
Precisamos então nos atentar à continuidade de f no intervalo aberto (-3,3) e nas 
duas extremidades. Para isso, vamos considerar o ponto c como sendo um ponto 
qualquer dentro do intervalo (-3,3). Dessa forma, 
Esse resultado nos mostra que a função f é contínua em cada ponto do intervalo 
(-3,3). Vamos testar os limites laterais, ou seja
Em outras palavras, isso quer dizer que a função f também é contínua nas 
extremidades e contínua no intervalo fechado [-3,3].
5.3 CONTINUIDADE E SUAS PROPRIEDADES
Para enunciar as propriedades da continuidade das funções vamos considerar duas 
funções dadas por f e g. Dessa forma, enunciaremos o seguinte teorema:
ANOTE ISSO
TEOREMA: Se f e g são contínuas no ponto c, então: 
i) (f+g) é contínua em c.
ii) (f – g) é contínua em c.
iii) (f.g) é contínua em c.
iv) (f/g) é contínua em c, se g(c)≠0 e tem descontinuidade em c se g(c) = 0.
Nesse contexto, vamos demonstrar a quarta propriedade, ou seja, 
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Uma vez que estamos considerando e contínuas no ponto , isso quer dizer que,
Então podemos escrever, 
Destacamos que as outras três propriedades podem ser provadas de maneira análoga 
ao que fizemos aqui. Mas deixaremos essa tarefa para você como critério de exercício. 
As provas e informações adicionais sobre esse assunto podem ser encontrados nas 
referências ANTON; BIVENS; DAVIS (2014), GUIDORIZZI (2013), HUGHES-HALLET 
(2011), MORETTIN; HAZZAN; BUSSAB (2016) e SILVA (2017), caso tenha interesse 
em se aprofundar nesse assunto. 
5.4 CONTINUIDADE EM FUNÇÕES COMPOSTAS
No contexto das funções das funções que podem ser expressas em termos de 
outras funções enunciaremos o seguinte teorema:
ANOTE ISSO
TEOREMA: Se 
e se f é contínua em L então:
Em outras palavras, queremos dizer que, 
Destacamos que a igualdade acima é válida para os casos de limites laterais e de 
limites no infinito ou seja, x→c+, x→c-, x→+∞ ou x→-∞.
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Uma importante observação está no caso especialem que a função é dada por, 
f(x)= |x|.
Pelo fato de que |x| é contínuo em toda a parte, logo, 
Sempre que existir 
Com essas informações, o teorema definido acima se estende ao caso da continuidade 
em um ponto específico e também da continuidade em toda parte. 
ANOTE ISSO
Para finalizar, vamos tratar um importante resultado envolvendo funções e seus 
limites. Para isso, vamos considerar três funções dadas por f, g e h. A relação entre 
essas funções é dada por, 
g(x)≤f(x)≤h(x).
Para todo x em um intervalo aberto que contenha o ponto c. Destacamos que existe 
a possibilidade de as desigualdades acima não precisarem serem válidas em c. 
Nesse caso, se g e h tivere o mesmo limite quando x→c, ou seja, 
então, a função também apresenta, 
ISTO ESTÁ NA REDE
Você pode aprimorar seus conhecimentos sobre funções, limites, e suas aplicações 
entendendo um pouco mais sobre a definição de continuidade de uma função e sua 
imensa aplicabilidade no contexto das ciências exatas na aula destacada sob o link: 
https://www.youtube.com/watch?v=PW_Y2pvJg4s
Também pode entender um pouco mais sobre limites laterais na aula destacada 
sob o link: 
https://www.youtube.com/watch?v=HwHO_w6V_No
Destacamos mais uma vez que existem infinitas funções com comportamentos 
mais variados possíveis e por isso é muito importante que você aluno, além 
de nossas aulas e vídeo aulas consultem todo o material de referência. Dessa 
forma você conseguirá atacar um determinado problema de várias formas e isso, 
certamente irá colaborar totalmente para o seu desenvolvimento intelectual além de 
facilitar a absorção do conteúdo contribuindo assim para sua constante evolução.
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ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Vamos tratar mais um exemplo envolvendo funções polinomiais em que temos, 
Nesse contexto vamos identificar para quais valores de x a função acima apresenta 
descontinuidade.
É importante destacamos que a função que estamos tratando é uma função 
racional. Em outras palavras isso quer dizer que tal função é contínua em toda a 
parte com exceção dos pontos onde o denominador é nulo. Em outras palavras isso 
quer dizer que, 
Em palavras mostramos que a função dada não é contínua nos pontos x = 2 e x = 
3. 
ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Vamos, para finalizar nossa aula mostrar através de definições matemática formais 
que a função f(x) = |x| é contínua em toda a parte. 
Nesse caso podemos decompor a função f(x) na forma, 
Feito isso, conseguimos perceber que a função f(x) = |x| é a mesmo que a função 
polinomial g(x) = x no intervalo (0,+∞). De maneira análoga para o intervalo (-∞,0) a 
função f(x) = |x| é a mesma que a função polinomial t(x) = –x. 
Diante dessas informações, sabemos que os polinômios considerados são 
contínuos. Logo o valor x = 0 é o único ponto onde a dada função pode apresentar 
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descontinuidade. A verificação dessa afirmação vem do fato de que devemos 
mostrar que, 
Um detalhe importante aqui é que, como a função f(x) = |x| muda no valor nulo, é 
bastante útil que consideremos os limites laterais nesse ponto. Assim, obteremos, 
Como os valores dos limites laterais são os mesmos logo é valido que, 
e a função f(x) = |x| é contínua no ponto x = 0. 
Vamos agora, por questões didáticas explorar a representação gráfica dessa função 
para verificarmos a sua continuidade. 
Figura 6: Representação gráfica para a função f(x)= |x|.
Fonte: Próprio autor (2021).
Para finalizar nossa aula, vamos finalizar com mais um exemplo onde teremos que 
analisar a continuidade dentro de um intervalo e também dos pontos extremos do 
mesmo. Nesse contexto, vamos considerar a seguinte função que representa uma 
semicircunferência, 
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Sabemos que o domínio de f(z) é o intervalo fechado [-5,5]. Matematicamente 
queremos dizer que, 
Precisamos então nos atentar à continuidade de f no intervalo aberto (-5,5) e nas 
duas extremidades. Para isso, vamos considerar o ponto u como sendo um ponto 
qualquer dentro do intervalo (-5,5). Dessa forma, 
Esse resultado nos mostra que a função f é contínua em cada ponto do intervalo 
(-5,5). Vamos testar os limites laterais, ou seja, 
Em outras palavras, isso quer dizer que a função f também é contínua nas 
extremidades e contínua no intervalo fechado [-5,5].
Destacamos que todas as informações apresentadas e discutidas aqui, na presente 
aula, servirão como a base do nosso curso de cálculo diferencial e integral. Em outras 
palavras o conceito de continuidade será utilizado com muita frequência e muitas dessas 
vezes estará implícito em novas definições. É muito importante que você entenda de 
maneira clara essa importante definição, por isso, indicamos que, além de nossos 
exemplos utilizados e nossos conceitos trabalhados você aplique seus conhecimentos 
adquiridos em diversos outros exercícios de diferentes graus de dificuldades, que 
podem ser encontrados nas referências ANTON; BIVENS; DAVIS (2014), GUIDORIZZI 
(2013), HUGHES-HALLET (2011), MORETTIN; HAZZAN; BUSSAB (2016) e SILVA (2017). 
Também nessas referências você encontrará várias informações sobre continuidade de 
funções polinomiais, funções trigonométricas, funções exponenciais e muitas outras 
que aparecem com frequência no contexto das ciências exatas.
 
CÁLCULO DIFERENCIAL 
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5.5 RESUMINDO
Na presente aula exploramos os conceitos de limites e limites laterais para definir 
continuidade e assim desenvolvermos a capacidade de verificação sobre a continuidade 
de qualquer função. Em seguida, introduzimos e discutimos alguns teoremas que 
envolveram as propriedades da continuidade assim como a maneira de tratamento 
de casos mais gerais, como por exemplo a continuidade de funções compostas. Tudo 
isso são ferramentas que aumentam ainda mais nossas habilidades em tratar funções 
e retirar o máximo de informações das mesmas.
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CAPÍTULO 6
INTRODUÇÃO ÀS DERIVADAS
6.1 INTRODUÇÃO
Iniciamos a presente aula destacando que o conceito de derivada e de todo o 
cálculo diferencial foram criados a partir da necessidade de novas ferramentas para 
a descrição de fenômenos físicos, ou seja, descrever fenômenos que ocorrem na 
natureza através do estudo do movimento. Sobretudo esse conceito está relacionado 
com taxas de variações que por seguinte, se relaciona de maneira direta com o conceito 
geométrico de reta tangente a uma determinada curva. Esse é o objetivo da presente 
aula, construir o conceito de derivada a partir dos conceitos já conhecidos por nós 
até o presente momento. 
6.2 CURVAS E RETAS TANGENTES
Vamos imaginar uma curva, dada por y = f(x). Também consideraremos uma reta 
tangente a essa curva no ponto P(x0,f(x0 )) da curva. Sendo Q(x,f(x)) um outro ponto, 
a inclinação da reta secante por P e Q é dada por, 
Nesse contexto, repare que quando x tende ao valor x0, o ponto Q se aproxima de P. 
Isso quer dizer que se mPQ tender a um limite quando x tente a x0, então esse limite é 
considerado como a inclinação mtangente da reta tangente ao ponto P. A figura ilustrativa 
abaixo serve para nos auxiliar no entendimento da afirmação acima. 
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Figura 1: Inclinação da reta tangente.
Fonte: ANTON; BIVENS; DAVIS. (2014). Pg 132.
De mesma forma e com base em todos os nossos conhecimentos sobre limites 
podemos definir: 
ANOTE ISSO
DEFINIÇÃO: Suponha uma função genérica representada por f e que x0 seja um 
ponto contido no seu domínio. Nesse contexto, a equação da reta tangente a curvay = f(x), no ponto P(x0,f(x0)) é dada por, 
com,
sempre que existir o limite. 
É importante destacarmos que podemos representar mtangente em termos de uma 
nova variável da seguinte forma, 
Assim, quando x →x0, quer dizer que h →0, então:
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A figura abaixo é um esquema ilustrativo que representa a afirmação acima.
Figura 2: Reta tangente em termos da nova variável h.
Fonte: ANTON; BIVENS; DAVIS. (2014). Pg 133.
ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Como exemplo, para esclarecer as ideias discutidas até o presente momento, 
vamos considerar uma função definida na forma,
A partir dela, vamos encontrar as inclinações das retas tangentes nos pontos x0=1 e 
x0=4.
Como resposta vamos fazer os cálculos considerando um valor arbitrário e, em 
seguida, substituir os valores de interesse. Ou seja, 
Podemos racionalizar o numerador fazendo, 
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Nos pontos de interesse obteremos as seguintes inclinações, respectivamente, 
6.3 DERIVADA
Com base em todas as informações que discutimos até o presente momento e a 
definição introduzida acima, o limite tratado é tão importante que recebe uma notação 
especial dada por, 
Então, essa é a inclinação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto x0. Essa 
definição também pode ser vista como uma taxa de variação instantânea de y em 
relação a x, no ponto x = x0.
A função derivada é então definida na forma:
ANOTE ISSO
DEFINIÇÃO: A derivada de uma função f, em relação a x, é definida na forma, 
Nos atentamos em dizer que o domínio de f’ é formado por todos os valores de x 
do domínio de f com a existência do limite acima. 
ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Como exemplo, vamos considerar a seguinte situação em que temos uma função 
definida na forma, 
Nesse contexto, vamos encontrar a equação da reta tangente a curva y = x2, no 
ponto x=2, utilizando a definição de derivada.
Como solução vamos fazer, 
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Dessa forma, a inclinação da reta tangente a curva y =x^2, no ponto x = 2 é dada 
pelo valor da derivada nesse ponto, ou seja, 
A equação da reta tangente então será dada por, 
6.4 DERIVAÇÃO E DIFERENCIAÇÃO
Como nem tudo é perfeito, precisamos nos atentar a possibilidade da não existência, 
em alguns pontos do domínio de f, do limite que define a derivada. É claro que nesses 
pontos a derivada não está definida. Com a finalidade de levar em consideração essa 
questão definimos: 
ANOTE ISSO
DEFINIÇÃO: A função f é diferenciaável ou derivável no ponto x_0 se o seguinte 
limite existir, 
Nesse contexto, se f for diferenciável em cada ponto de um intervalo aberto definido 
por (a,b) então f é diferenciável em (a,b). Destacamos que essas afirmações 
também são válidas para os casos (a,+∞), (-∞,b) e (-∞,+∞).
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ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Vamos fazer mais um exemplo em que temos a função definida na forma, 
.
Assim, vamos provar que a função f(x) = |x| não é diferenciável no ponto x = 0. Além 
disso, vamos encontrar uma fórmula para a derivada dessa função. 
Como solução, vamos iniciar mostrando que o limite da função não existe no ponto 
x = 0. Em outras palavras, 
Devemos prestar atenção no denominador, ou seja, 
Isso quer dizer, de acordo com os limites laterais que, 
Ou seja, acabamos mostrando que os limites bilaterais da função não são iguais. 
Em outras palavras isso é o mesmo que dizer que a função não é diferençável. 
A segunda parte da nossa solução é mais simples, onde iremos definir a derivada 
por partes, pelo fato da função apresentar o que chamamos de bico. Em outras 
palavras, 
A figura abaixo é a forma gráfica da função f(x) = |x|. Nela vemos claramente a 
presença de um bico.
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Figura 1: Função genérica sem a presença de buracos ou quebras.
Fonte: Próprio autor (2021).
Com o exemplo acima, concluímos que, quando uma função apresenta um bico, 
ela não é diferenciável. Isso também acontece nos casos de pontos de tangência 
vertical. Dessa forma, enunciaremos o teorema:
ANOTE ISSO
TEOREMA: Se a função f form diferenciável no ponto x0, então, f será contínua 
nesse ponto x = x0.
Para mostrar esse resultado vamos iniciar supondo que f seja diferenciável no ponto 
x0. Assim a derivada f’(x0) existe e é dada pela definição,
A continuidade de f, no ponto x0, é obtida através do limite, 
Em termos da variável h = x –x0,
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Ou seja, 
Uma observação importante está ligado ao fato de que se uma função f estiver 
definida em um intervalo fechado dado por [a,b], mas, não fora desse intervalo, então 
a derivada f’ não estará definida nessas extremidades. O que está por trás disso é o 
fato das derivadas serem limites bilaterais. Dessa forma, podemos definir derivadas 
pela esquerda e pela direita, respectivamente dadas por, 
Uma nomenclatura bastante utilizada também é derivada lateral. Nesse contexto, 
geralmente dizemos que f é diferenciável em um intervalo dado por, [a,b], [a,+∞),(-
∞,b),[a,b) ou até mesmo (a,b] se f for diferenciável em cada ponto contido no intervalo 
e se a derivada lateral existe em cada uma dessas extremidades, incluído no intervalo.
ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Para finalizar a pressente seção, vamos considerar a seguinte função definida na 
forma,
A partir dela, vamos encontrar as inclinações das retas tangentes nos pontos u0=2 e 
u0=5.
Como resposta vamos fazer os cálculos considerando um valor arbitrário e, em 
seguida, substituir os valores de interesse. Ou seja, 
CÁLCULO DIFERENCIAL 
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Podemos racionalizar o numerador fazendo, 
Nos pontos de interesse obteremos as seguintes inclinações, respectivamente, 
6.4.1 Notações interessantes e alternativas para derivadas
Destacamos que o processo de encontrar uma derivada recebe o nome de derivação 
ou simplesmente diferenciação. A derivada então pode ser vista como uma operação 
realizada sobre uma determinada função associando então f’ como a função original f. 
Nesse contexto, podemos destacar as notações utilizadas em toda a ciência, física, 
química, engenharia e entre outras áreas. 
Caso a variável independente seja x, podemos utilizar uma das notações abaixo: 
Quando a variável independente representa o tempo, podemos utilizar a notação 
abaixo:
Em ambos os casos, para representar o valor da derivada em um ponto específico 
x0, escrevemos: 
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e
Finalizamos a presente subseção mencionando que é possível realizar mais de uma 
derivação sobre uma determinada função. Essa nada mais é do que realizar uma ou 
mais operações de derivadas sobre o resultado da própria derivada. Em termos de 
notação teremos:
Caso a variável independente seja x, podemos utilizar uma das notações abaixo: 
Quando a variável independente representa o tempo, podemos utilizar a notação 
abaixo:
Em ambos os casos, para representar o valor da derivada em um ponto específico 
x0, escrevemos 
e
6.4.2 Velocidades
Uma das aplicações mais utilizadas do cálculo diferencial e integral, como já 
mencionado, é através do estudo do movimento. Nessa teoria, o objetivo é descrever de 
maneira completa o movimento de um objeto e para isso é necessário a determinação 
do vetor velocidade. Então, passemos agora para uma aplicação muito útil de derivadas. 
Vamos considerar uma partícula em um determinado movimento. A função que 
descreve essa partícula