Questão 25

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Questão 25 – Página 608 AID: 88 | 25/04/2016	
Enunciado:
Mostre que para a equação geral do segundo grau em duas variáveis, o discriminante é invariante sob uma rotação de eixos.
Solução:
Se o sistema sofre uma rotação de um ângulo , então iremos substituir os valores de e por:
Na equação . Assim torna-se:
Resolvendo os quadrados e reescrevendo temos:
Colocando os termos em evidência de modo que temos uma expressão semelhante a equação dada teremos:
Fazendo 
Temos que que possui discriminante que é o mesmo que , ou seja, invariante com relação a uma rotação de eixos.
y
cossin
sincos
xxy
yxy
aa
aa
=-
=+
22
0
AxBxyCyDxEyF
+++++=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
22
cossincossinsincossincos
cossinsincos0
AxyBxyxyCxy
DxyExyF
aaaaaaaa
aaaa
-+-++++
+-+++=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2222
2222
2222
cos2cossinsin
cossincossinsinsincos
sin2cossincos
cossinsincos0
Axxyy
Bxxyxyy
Cxxyy
DxyExyF
aaaa
aaaaaaa
aaaa
aaaa
-++
+-++
+++
-+++=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
222
22
222
coscossinsin
2sincoscossin2sincos
sincossincos
cossinsincos0
xABC
xyABC
yABC
xDEyDEF
aaaa
aaaaa
aaaa
aaaa
+++
-+-++
-++
++++=
22
22
22
coscossinsin
coscossinsin
sincossincos
cossin
sincos
AABC
BABC
CABC
DDE
EDE
FF
aaaa
aaaa
aaaa
aa
aa
=++
=++
=-+
=+
=+
=
22
0
AxBxyCyDxEyF
+++++=
2
4
BAC
-
2
4
BAC
-
a
x