Matematica Financeira

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Conceitos iniciais
AMatemática Financeira estuda e avalia as alterações ocorridas nos Fluxos de Caixa (entradas e saídas de dinheiro, isto é, pagamentos e recebimentos) ao longo do tempo. Trata essencialmente, do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo, fornecendo técnicas para se compararem as quantias movimentadas em datas distintas, efetuando análises e comparações através de relações formais. Dominar os fundamentos básicos da Matemática Financeira, bem como conhecer e utilizar as ferramentas adequadas, capacita os usuários a tomarem decisões quanto a investimentos e a empréstimos, otimizando os seus recursos e avaliando as melhores alternativas disponíveis.
Alguns Conceitos Iniciais
· Aplicação (P)
Aplicação é o valor inicial empregado / colocado em um projeto, uma aplicação financeira, em um investimento e etc.
Por exemplo: João depositou R$ 500,00 em uma poupança, que rende 3% ao mês e pretende fazer o resgate, em 3 meses. Esse depósito inicial de R$ 500,00, equivale a aplicação
· Montante (M)
Montante é o valor final da aplicação financeira, considerando o tempo (n) e a taxa de juros que ficou a aplicação.
Por exemplo: João ao depositar R$ 500,00 na poupança, durante, 3 meses, a uma taxa de 3% a.m, obteve-se o valor de R$ 546,36.  Logo, R$ 500,00 é a aplicação, R$ 546,36 é o valor do montante.
· Juros (J)
Segundo Samanez (2002), juros são a remuneração do capital empregado. Se aplicarmos um capital durante um determinado período de tempo, ao fim do prazo o capital se transformará em um valor (montante) que será igual ao capital aplicado, acrescido da remuneração obtida durante o período de aplicação.
Ainda de acordo com o autor, para identificar os juros ganhos ou rendimento do período, basta efetuar a seguinte operação:    
Juros ganhos ou Rendimentos = Montante - Aplicação
Por exemplo: João depositou R$ 500,00 e obteve, depois de 3 meses, R$ 546,46. Logo os juros ganhos ou rendimentos serão de R$ 46,46 (R$ 546,46 – R$ 500,00).  
· Taxa de Juros (i)
É a taxa que remunera o valor aplicado. Geralmente é dada em valor percentual.
Por exemplo, ao citar que João depositou R$ 500,00 a uma taxa de 3% a.m, observa-se que 3% ao mês é a taxa de juros. 
Além disso, de acordo com Samanez (2002), no regime de juros simples, é possível encontrar a taxa de juros, através da seguinte fórmula:
· Valor Presente (VP)
É o valor que se tem hoje para investir, aplicar ou desembolsar.
· Valor Futuro (VF)
É o valor que irá se resgatar depois de x tempo do valor aplicado, investido ou é o valor ajustado de uma dívida ou desembolso, após x tempo.
Valor do Dinheiro no Tempo
 
          Um dos fundamentos da atividade financeira é a variação do valor do dinheiro ao longo do tempo. Por exemplo: é melhor ter hoje R$ 100,00, do que dispor desse mesmo valor numa data futura qualquer. Independentemente da existência de inflação, alguém que disponha de R$ 100,00 hoje, pode aplicá-los a uma certa taxa de juros, por menor que seja e, numa data futura, ter os mesmos R$ 100,00, mais algum valor complementar.
Como consequência disso, o dinheiro tem valor diferenciado ao longo do tempo, o que significa que somente podem ser comparados (somados e subtraídos) valores quando estes estiverem na mesma data.
 
Fluxo de Caixa
          Denomina-se Fluxo de Caixa ao conjunto de recebimentos e pagamentos, ocorridos ou a ocorrer, durante um certo intervalo de tempo, ou seja, todos os valores movimentados. Para a representação gráfica os recebimentos (denominados de entradas) são informados com a seta voltada para cima e os pagamentos (denominados de desembolsos) são representados com a seta voltada para baixo e distribuídos ao longo de uma linha horizontal (que representa o tempo).
 
Atividade extra
Nome da atividade: Revisão de porcentagem. Para não mais esquecer!
Link para assistir a atividade: https://www.youtube.com/watch?v=SXpGZmmNvK4
 
 
Referência Bibliográfica
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira: Aplicação à Análise de Investimentos. 3a. ed. São Paulo: Prentice Hall. 2002. Capítulo 1 – Juros Simples.
Juros e descontos simples
Conceitos Iniciais
 
· Aplicação (P)
       Aplicação é o valor inicial empregado / colocado em um projeto, uma aplicação financeira, em um investimento e etc. 
 
· Montante (M)
       Montante é o valor final da aplicação financeira, considerando o tempo (n) e a taxa de juros que ficou a aplicação. 
 
· Juros (J)
        Segundo Samanez (2002), juros são a remuneração do capital empregado. Se aplicarmos um capital durante um determinado período de tempo, ao fim do prazo o capital se transformará em um valor (montante) que será igual ao capital aplicado, acrescido da remuneração obtida durante o período de aplicação.
 
· Taxa de Juros (i)
É a taxa que remunera o valor aplicado. Geralmente é dada em valor percentual. 
 
· Valor Presente (VP)
             É o valor que se tem hoje para investir, aplicar ou desembolsar. 
 
· Valor Futuro (VF)
            É o valor que irá se resgatar depois de x tempo do valor aplicado, investido ou é o valor ajustado de uma dívida ou desembolso, após x tempo.
Na figura 1 abaixo é possível identificar as aplicações dos conceitos acima, do ponto de vista tanto da aplicação quanto do desembolso:
Juros Simples
No regime de capitalização a juros simples os juros de cada período são sempre calculados tendo sempre como base o valor do capital inicial.  De acordo com Samanez (2010), o capital cresce a uma taxa linear e a taxa de juros também, ou seja, em uma progressão aritmética.
 
Exemplo: Se uma pessoa quisesse investir $1.000,00 e entregasse, em 31 de dezembro de 2000, esse valor a um banco que lhe prometesse juros simples de 10% ao ano. Qual seria o seu saldo credor ao final de 3 anos?
 
O quadro a seguir resume o rendimento do investimento:
Como pode-se perceber o saldo final sempre aumenta em um valor fixo e linear de R $100,00.Por isso, os juros simples são vistos como um regime de capitalização que cresce em progressão aritmética. 
 
· Fórmulas importantes de Juros Simples
 
Além de calcular o saldo final de um rendimento conforme a figura 1, pode-se calcular de acordo com as seguintes fórmulas, que irão usar os conceitos de valor presente (VP; PV), valor futuro (VF;FV), juros (J),  taxa de juros (i) e prazo (n) :
��=��(1+�VF=VP(1+i �x �)n)
�=��J=VP �x �i �x �n
Logo, resolvendo o exemplo da tabela 1 , conforme as fórmulas acima , se obtém os seguintes resultados:
��=1000+(1+0,10VF=1000+(1+0,10 �x 3)3)
��=1000+(1+0,30)VF=1000+(1+0,30)
��=1000+(1,30)VF=1000+(1,30)
��=1300VF=1300
�=1000J=1000 �x 0,100,10 �x 33 =300=300
Taxas de Desconto Simples
Bancos e outras Instituições Financeiras realizam operações de desconto de títulos diversos. Nesse caso o credor do título recebe hoje o valor do título que tem vencimento futuro, mediante o pagamento de deságio e cessão dos direitos creditórios. Nessas operações são negociados títulos como: NP’s (Notas Promissórias), Duplicatas e outros.
Quando alguém tem algo a pagar e outro tem algo a receber, podem ocorrer situações como:
 
· O devedor tem disponibilidade de recursos e opta por pagar antes da data predeterminada.  Neste caso, o prazo de empréstimo é reduzido. Logo, é razoável que o devedor pague menos por esse empréstimo. Desse modo, ele se beneficia com um abatimento correspondente aos juros que seriam gerados por esse dinheiro durante o intervalo de tempo que falta para o vencimento.
· Pode ocorrer também que o credor, (quem emprestou o dinheiro) necessite do dinheiro antes da data marcada. Como quase sempre o devedor não pode antecipar o pagamento, pois já se programou para pagar na data pré determinada, o credor vende seu  título de crédito a um terceiro. Ora, esse agente também vai querer ser remunerado com os  juros do capital que adianta, no intervalo de tempo que falta para o devedor liquidar o pagamento.
 
Em ambos os casos há um benefício, definido pela diferença entre as duas quantidades – a que seria paga e a que efetivamente foi paga. Esse benefício, obtido de comum acordo, recebe o nome dedesconto.
 
Desconto Comercial
É a modalidade de desconto mais utilizada. É denominada de desconto comercial, bancário ou por fora, o equivalente aos juros simples, produzidos pelo valor nominal do título no período de tempo correspondente à taxa fixada.
 
Cálculo do Desconto Comercial
Pela definição acima, têm-se:
D = F * d * n
onde:
D = valor do desconto comercial (em moeda $)
F = valor nominal do título, ou valor de face, ou valor futuro.
d = taxa de desconto (na forma decimal)
n = tempo (em períodos)
Nota: Também neste caso n e d devem ser compatíveis em termos de periodicidade.
Outras fórmulas para o cálculo:
P = F – D, Como D = F * d * n, o cálculo do valor presente pode ser simplificado para a fórmula:  P = F * (1 – d * n)
 
 
 
Atividade extra
Nome da atividade: Comércio oferecendo descontos simples.
Link para assistir a atividade: https://www.youtube.com/watch?v=MGozlW_hk-Y
 
 
Referência Bibliográfica
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira: Aplicação à Análise de Investimentos. 5a. ed. São Paulo: Prentice Hall. 2010. Aula 1 – Juros simples. Aula 4 – Operações de curto prazo.
Juros compostos e séries
Juros Compostos
          Como foi visto anteriormente em juros simples, os juros produzidos por um capital são sempre os mesmos, qualquer que seja o período. O motivo é que os juros simples são sempre calculados sobre o capital inicial, não importando o montante correspondente ao período anterior.
 
Exemplo de Juros Simples:
 
Um capital de $ 100,00 aplicado a 2% ao mês, tem a seguinte evolução no regime de juros simples:
 
Capital Inicial = $ 100,00
 
Relembrando ( a fórmula): j = P * i * n
No regime de juros compostos porém, os juros a cada período são sempre calculados sobre o montante existente no período anterior. Dessa forma, os juros do período anterior são incorporados ao capital. Pode-se dizer então que no regime de juros compostos “os juros rendem juros”. Este é o regime mais utilizado no nosso dia a dia.
 
Cálculo do Valor dos Juros Compostos
Se for aplicado um certo capital Po, a determinada taxa de juros compostos por um certo período, ao fim do período esse capital terá gerado uma certa quantidade de juros (J1). Se apenas se considerar um período, pode-se usar a fórmula:
 
J1 = i * Po = Po [(1 + i)1 – 1]
 
No fim do período seguinte os juros serão:
a) Juros referentes ao capital inicial por mais um período:  i * Po
b) Juros devido a J1, referentes a um período  i * J1
Desse modo, tendo em vista os juros formados no período anterior, o total de juros obtidos no período seguinte será:
 
J2 = J1 + i * J1 + i * Po = i * Po + i * i * Po + i * Po = Po (2 * i + i2) = Po (1 + 2 * i + i2 – 1)* = Po [(1 + i)2* – 1]
 
Total esse que passará a render juros no período seguinte. Assim, para n períodos teremos:
Jn = Po [(1 + i)n – 1]
 
Taxa de Juros Equivalente 
De acordo com Samanez (2010), a equivalência de taxa de juros geralmente é utilizada para operações de juros compostos. Desta forma, segundo o autor, a conversão da taxa de um período para o outro, não pode ser feita de forma proporcional como é feita em juros simples e deve seguir as seguintes conversões: 
Tabela 1 : Conversão de Período
Não Esquecer :
1. NÃO esqueça que a TAXA DE JUROS (i) e o PERÍODO (n) devem estar na mesma mensuração, ou seja, os dois tem que estar no mesmo período de tempo (dia, mês ou ano).  
 
1. As taxas TÊM DE ESTAR NA FORMA DECIMAL para serem inseridas nas fórmulas, exemplo : 10% a.a = 0,10 (10/100)
 
 
Atividade extra
Nome da atividade: Pagamento com juros ou à vista?
Link para assistir a atividade:
https://www.youtube.com/watch?v=FdTip4SdWMw&list=PLhqfgkxuHXh7DCFzdNt3htR_0nJr8QAlj&index=1
 
 
Referência Bibliográfica
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira: Aplicação à Análise de Investimentos. 3a. ed. São Paulo: Prentice Hall. 2002. Aula 11 – Juros Compostos versus Função Exponencial. Aula 13 – Juros compostos, exercícios resolvidos e revisão. Aula 16 – Operações de fluxo de caixa. 
Juros Compostos e taxas de juros equivalentes
Taxas Proporcionais x Taxas Equivalentes
As taxas proporcionais geralmente são relacionadas a juros simples, enquanto as taxas equivalentes são relacionadas ao regime de juros compostos.
 
Taxas Equivalentes no Regime de Juros Compostos
          Denominam-se taxas equivalentes aquelas que aplicadas sobre um mesmo valor presente (principal) geram um mesmo valor futuro (montante), para um mesmo intervalo de tempo. Aplicável para o regime de Juros Compostos.
A taxa equivalente é dada pela expressão:
 
ie = [(1 + io)n/o – 1] * 100
Onde:
ie – taxa de período desejado;
io – taxa do período observado;
n – período desejado;
o – período observado.
 
Abaixo é possível perceber a conversão das taxas equivalentes :
Tabela 1 : Conversão de Período
 
Atividade extra
Nome da atividade: Cálculo de taxas - Banco Central do Brasil
Link para assistir a atividade: https://www.youtube.com/watch?v=MyUYVG04cFc
 
 
Referência Bibliográfica
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira:Aplicação à Análise de Investimentos. 5a. ed. São Paulo: Prentice Hall. 2010. Capítulo 3 – Taxas de juros
Sistemas de Amortização
Empréstimos e Financiamentos
Segundo Samanez (2010) a amortização é um processo no qual a dívida ou o empréstimo é pago através de parcelas. Essas parcelas ou prestações são a soma da amortização mais os juros. Os principais sistemas de amortização são : Sistema de Amortização Francês ( tabela Price), Sistema de Amortização Constante (SAC), Sistema de Amortização Americano e o Sistema de Amortização Misto, contudo , no Brasil, os mais utilizados são a Tabela PRICE e o Sistema SAC. Abaixo é possível conhecer mais sobre os sistemas mais utilizados no país:
 
Sistema SAC
Neste sistema, as amortizações são iguais. Desta forma, no sistema SAC o valor das prestações é decrescente, já que os juros diminuem a cada prestação. O valor da amortização é calculado, dividindo-se o valor do principal pelo número de períodos de pagamento. Por sua vez, os juros são calculados sobre o saldo devedor, multiplicando-se a taxa pelo saldo. Finalmente, a soma da amortização e dos juros resultam no valor da parcela. No gráfico abaixo é possível identificar como os juros e a amortização se comportam:
Devido os juros serem decrescentes, e as prestações serem a soma de amortização mais juros, logo, as prestações também terão um comportamento decrescente. A seguir podemos observar um exemplo numérico sobre o cálculo das prestações pelo sistema SAC : 
 
Exemplo : Elaborar uma planilha de amortização para o seguinte financiamento :
 
Valor do financiamento : R$ 200.000
Reembolso em quatro meses pelo Sistema SAC
Taxa de juros efetiva de 10% a.m
 
1. Primeiro calcula o valor das amortizações no Sistema SAC :
 
2. Cálculo das prestações pelo Sistema SAC : 
Sistema Price
Nesse tipo de amortização, à medida em que o financiamento é amortizado (pago) a composição entre valor amortizado e quantidade de juros incluída em cada prestação vai se alterando. Com o passar do tempo vai se amortizando mais e pagando-se menos juros. A situação inversa aplica-se ao credor. Uma das modalidades que adota este tipo de pagamento é o chamado crédito direto ao consumidor.  
Abaixo é possível perceber como se dá esse tipo de financiamento : 
 
Valor do financiamento : R$ 200.000
Pagamento é feito em quatro prestações mensais
Taxa de juros efetiva de 10% a.m 
 
1. Cálculo da prestação :
2. Cálculo das prestações pelo Sistema Price :  
 
Atividade extra
Nome da atividade: Mercado imobiliário usa o sistema SAC.
Link para assistir a atividade: https://www.youtube.com/watch?v=TRPe_1HJRb4
 
 
Referência Bibliográfica
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira - Aplicação à Análise de Investimentos. 5a. ed. São Paulo: Prentice Hall. 2010. Capítulo 8 - Planos de amortização de empréstimos e financiamentos.
Séries Especiais Valor presente
Séries Especiais Valor presente
 
Em muitas operações de crédito o comprador não possui os recursos suficientes para pagar à vista e o pagamento não é efetuado deuma só vez. Nesse caso, o comprador, necessitando de crédito, recorre a um empréstimo ou a um financiamento. São diversas as operações financeiras que viabilizam esses empréstimos ou financiamentos, cada uma tem características próprias. A dívida é quitada em parcelas, parcelas essas, que compõem séries de pagamentos (ou de recebimentos se forem vistas pela ótica do credor).
            Série de Pagamentos ou Série de Recebimentos, é o nome dado à seqüência finita ou infinita de “Pagamentos” ou de “Recebimentos”, em datas previamente estipuladas, onde cada ocorrência de recebimento ou de pagamento é denominada de “Termo da Série” ou ainda “Termo da Anuidade”. De um modo geral as séries têm por objetivo a quitação de empréstimo (Amortização) de forma parcelada, ou a formação de um montante (Capitalização), para utilização futura.
Para verificar o valor de uma série de pagamentos ou de recebimentos , é necessário trazer a valor presente cada fluxo. Desta forma, abaixo é possível perceber a fórmula para a realização dos cálculos :
 
Atividade extra
Nome da atividade: Mercado financeiro - Dicas de filmes.
Link para assistir a atividade:
 https://www.infomoney.com.br/minhas-financas/consumo/noticia/5637729/7-filmes-do-netflix-para-quem-quer-aprender-sobre-financas-e-negocios
 
 
Referência Bibliográfica
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira: Aplicação à Análise de Investimentos. 5a. ed. São Paulo: Prentice Hall. 2010. Capítulo 2 – Juros Compostos
Valor Presente Líquido (VPL)
Valor Presente Líquido
De acordo com Samanez (2010), VPL mede o valor presente dos fluxos de caixas gerados pelo projeto ao longo da sua vida útil.  O objetivo do VPL é encontrar alternativas de investimento que valham mais do que seu custo. Desta forma, como critério de decisão de investimento, para aceitar um projeto ou um investimento, irá se considerar aquele que tem VPL positivo, ou seja, VPL > 0. Além disso, um projeto com VPL positivo é considerado economicamente viável. Por fim,  caso aconteça de ter 2 projetos ou mais , irá ser considerado, ou seja, escolhido, aquele que tiver maior VPL.
A expressão que define o VPL pode ser observada a seguir:
Na qual I é o investimento ou aplicação inicial , i é a taxa de juros ou taxa mínima de atratividade e n é o tempo do fluxo. 
 
A primeira vantagem deste critério é que é um método muito utilizado no mercado de capitais e considera o valor do dinheiro no tempo. Além disso, permite comparar diferentes projetos , para saber a maior lucratividade. Por fim, é um dos métodos que possui mais aceitação e resolve as incertezas causadas por outros métodos.
Como desvantagem pode-se citar que considera um mercado de capitais perfeitos, ou seja, que o projeto ou o investimento possui todas as informações necessárias para a sua realização.
 
 
Atividade extra
Nome da atividade: VPL no Excel.
Link para assistir a atividade: https://www.youtube.com/watch?v=KUNKAyC-yOg
 
 
Referência Bibliográfica
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira:Aplicação à Análise de Investimentos. 5a. ed. São Paulo: Prentice Hall. 2010. Capítulo 10 – Métodos e critérios de avaliação de investimentos.
Taxa Interna de Retorno (TIR)
Taxa Interna de Retorno (TIR)
Pode-se definir a Taxa Interna de Retorno (TIR), como a taxa de desconto, que torna o Valor Presente Líquido (VPL) de um Fluxo de Caixa igual a zero.  Para o caso de estarmos analisando um Investimento a TIR é considerada a taxa de rentabilidade do investimento.
          A TIR não depende de Taxa de juros vigentes no mercado, é por isso que é chamada de Taxa Interna de Retorno, porque o número calculado é interno, ou seja, intrínseco ao projeto, e independe de qualquer outra coisa além dos Fluxos de Caixa do Projeto. Segundo Mochón (2010), a TIR é uma taxa que anula o VPL, logo, é o valor de i que está na seguinte equação:
Como regra de decisão, de acordo com Mochón (2010), espera-se que a TIR seja maior que o custo de capital do projeto (sua taxa de juros ou taxa de desconto), para assim, ser considerado economicamente viável.
 
 
Atividade extra
Nome da atividade: TIR no Excel (segunda parte do vídeo).
Link para assistir a atividade: https://www.youtube.com/watch?v=KUNKAyC-yOg
 
 
Referência Bibliográfica
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira: Aplicação à Análise de Investimentos. 5a. ed. São Paulo: Prentice Hall. 2010. Capítulo 10 – Métodos e critérios de avaliação de investimentos. 
PaybBack
PayBack simples
 
Método que mede o número de períodos necessários para o investidor recuperar o valor do investimento inicial, ou seja, para que os fluxos de caixa positivos previstos cubram os fluxos de caixa negativos. É  calculado pelo investimento inicial sobre o fluxo de caixa anual.Tem a vantagem de utilizar o Fluxo de Caixa, e sobre certos aspectos ser uma medida indireta de liquidez.
            Ele pode ser usado para decisões de projetos pouco relevantes, além de apresentar as seguintes vantagens : ser um método simples, rápido, medida bruta e indireta de risco e por fim, pode ser útil quando há outras restrições de métodos. Como desvantagens não considera o fluxo de caixa e nem o valor do dinheiro no tempo, não maximiza a riqueza, critério de aceitação é considerado arbitrário.
Ademais, para que o projeto ou o investimento seja aceito, é desejável que o payback simples calculado seja menor que o payback simples desejado ou do projeto. Abaixo é possível observar um exemplo:
Como pode-se perceber o valor do fluxo passa do negativo para o positivo em “ algum “ intervalo de tempo entre o ano 3 e o ano 4 , logo, para saber o período exato, basta fazer o seguinte cálculo:             
O payback do projeto mostra que o mesmo se paga em 3,21 anos e não em 5 anos, portanto , deveria-se aceitar por sua execução.         
 
PayBack Descontado       
 
O payback descontado calcula o número de períodos necessários para que o investidor recupere o valor investido, com base no fluxo de caixa descontado. Este método respeita o princípio financeiro de levar em consideração a modificação do valor do dinheiro no tempo, por isso seu uso é mais aconselhável para verificar a viabilidade de um projeto ou de um investimento.
Da mesma forma que no payback simples, no payback descontado  para que o projeto ou o investimento seja aceito, é desejável que o payback descontado calculado seja menor que o payback descontado desejado ou do projeto. Abaixo é possível observar um exemplo:
Como pode-se perceber o valor do fluxo passa do negativo para o positivo em “ algum “ intervalo de tempo entre o ano 4 e o ano 5 , logo, para saber o período exato, basta fazer o seguinte cálculo:
O payback do projeto mostra que o mesmo se paga em 4,04 anos e não em 5 anos, portanto, deveria-se aceitar por sua execução.
 
 
Atividade extra
Nome da atividade: PayBack no Excel.
Link para assistir a atividade: https://www.youtube.com/watch?v=ZXIorPmAEgw
 
 
Referência Bibliográfica
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira: Aplicação à Análise de Investimentos. 5a. ed. São Paulo: Prentice Hall. 2010. Capítulo 10 – Métodos e critérios de avaliação de investimentos.