aula5 Teoria Das Filas Parte I

Prévia do material em texto

5ºAula
Teoria Das Filas Parte I
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de:
• conhecer o processo de Teoria das Filas;
• analisar os elementos que compõem essa teoria;
• conhecer como se dá aplicação em exercícios com exemplos práticos e de fácil compressão.
Prezados(as) alunos(as), após a Aula 4, na qual estudamos 
o Método Monte Carlo, aprendemos algumas noções básicas 
de estatística e como seria uma simulação no Excel, vamos dar 
início da nossa aula 5.
Na Aula 5, aprenderemos a Teoria das Filas, quais os 
elementos que estão inclusos nessa teoria, exercícios para 
fixação do conteúdo e aplicações rotineiras. 
Boa Aula!
Bons estudos!
32Simulação da Produção
Seções de estudo
1- Teoria das fi las
2- Elementos de uma fi la
3- Variáveis Fundamentais e Resumo de Fórmulas 
4- Exercícios e aplicações da teoria das fi las
1- Teoria das fi las
Pensar em fi las nos remete a uma experiência que temos 
dia após dia. Nós entramos em qualquer tipo de fi la, seja em 
uma fi la no supermercado para pagar a nossa compra, em 
uma fi la na farmácia, em uma fi la no banco para descontar 
um cheque , em fi la para comprar ingressos no cinema etc., A 
fi la está presente de todas as formas em nossas rotinas. 
É um tipo de técnica disponível para modelagem 
e sistemas. A teoria das fi las está muito empregada e é a 
mais utilizada na simulação da produção. Como o próprio 
nome sugere, é um tipo de técnica que permite imitar o 
funcionamento de um sistema real. 
Os mais modernos programas de computadores 
disponíveis permitem construir modelos, nos quais é possível 
visualizar na tela o funcionamento de um banco, uma fábrica, 
um pedágio, um supermercado, como se estivéssemos em tal 
cenário. É um tipo de simulação virtual e nos permite avançar 
e estipular diversos modelos e elementos diferentes em cada 
situação (ANDRADE,2011).
Como dissemos anteriormente, as fi las estão empregadas 
no nosso dia a dia, mas também aparecem nas produções, 
nos chãos de fábrica, aparecem em ambientes gerais de 
produção. Algumas vezes aparecem também em situações 
abstratas, como uma pilha de papéis, referentes a pedidos 
de manufaturas ou lista de pedidos de compras em espera, 
processos judiciais, enfi m, temos os mais variados tipos de 
fi las (FOGLIATTI,20017). 
Algumas vezes temos o exemplo de fi las para cortar 
cabelo, no salão de beleza, porém essas fi las não são vistas 
como “enfi leiradas”, são vistas como fi las normais. Temos 
diversos tipos considerados fi las.
Atualmente surgiu o conceito de fi las em computadores, 
fi las de programas esperando por espaço na memória, ou para 
serem atendidos e processados, muitas vezes procurando um 
registro e dados em um disco magnético ou para terem acesso 
através de um servidor (FOGLIATTI,20017).
Obviamente não é agradável fi car muito tempo 
esperando em uma fi la. Temos as mais diversas experiências 
em relação a isso e quando esperamos pelo serviço tempo 
demais, acabamos saindo aborrecidos, mudando o nosso 
estado de espírito. 
Automaticamente se existem fi las, passamos a comparar 
o desempenho da fi la que estamos com as outras fi las, e 
geralmente somos levados a pensar como uma das leis de 
Murphy. Mas o que diz essa lei? Bom, resumidamente diz que 
a fi la que anda é a outra, e não adianta trocar de fi la, pois a que 
vai andar vai continuar sendo a outra.
Mas, como consequência de nossas experiências temos 
algumas atitudes. Uma delas é tentar agilizar o processo, 
trocando o supermercado, o gerente da conta, o horário de 
saída com menos movimento, tudo para evitar as fi las. Porém, 
vendo com os olhos das empresas isso é chamado de perda de 
negócio (ANDRADE,2011).
A situação ilustrada acima se espelha em muitas outras 
da vida real. Apesar de não serem simpáticas e causarem 
prejuízos, temos que conviver com as fi las na vida real e 
pensando em um sistema onde nunca mais existam fi las para 
que possamos otimizar nosso tempo e nosso lucros.
A modelagem de sistemas em contrapartida pode ser feita 
por duas abordagens inteiramente diferentes entre si, porém 
com muitas semelhanças em se tratando de sistemas, as duas 
são: teoria das fi las e simulação. O que temos de comum 
entre essas duas abordagens e porque ao mesmo tempo são 
diferentes?
As semelhanças, nesse caso, são complementares, vamos 
explicar o porquê. A teoria das fi las é obtida como um método 
analítico que aborda o assunto através de formular matemáticas 
e a simulação é uma técnica que utiliza o computador, usamos 
e testamos vários modelos e acabamos escolhendo o que 
melhor representa o sistema de nossos dados, do nosso 
estudo. E são complementares, pois conseguimos utilizar a 
teoria das fi las na simulação (ANDRADE,2011).
Vamos conhecer um pouco mais das duas, a teoria 
das fi las, tem uma abordagem mais matemática, iniciou no 
século 1908 na Dinamarca, através de Kendall Erlang, que 
é considerado o pai da teoria das fi las. A ideia se deu origem 
quando ele trabalhava em uma companhia telefônica, e o 
estudo se deu pelo comportamento de um problema que 
ocorria no redimensionamento de centrais telefônicas. Já a 
simulação surgiu na década de 50 e a modelagem de fi las pode 
ser analisada pelo ângulo da simulação, onde não se usam mais 
fórmulas matemáticas, mas tentam imitar o funcionamento 
do sistema real. As linguagens de simulação aparecem na 
década de 60, e por apresentar menor complexidade o seu 
uso cresceu também, pois teve uma aceitação positiva no 
mercado, algumas linguagens são mundialmente conhecidas 
como: Arena, ProModel, Automod, Gdss, Gasp, Simscrip, 
Siman, dentre outros (ANDRADE,2011).
 Agora vamos aprender aplicação de modelagem 
em sistemas. São 6 procedimentos: linhas de produção, 
transporte, comunicação, bancos/supermercados/escritórios, 
confi abilidade e procedimentos de dados. Acompanhem na 
fi gura 1 a seguir.
 
Figura 01: Aplicação de modelagem de sistemas.
33
De acordo com a fi gura 01, sobre aplicação de 
modelagens, vamos explicar como funciona cada tópico 
citado na fi gura. Vamos começar com Linhas de Produção?
Bom, vamos lá, as linhas de produção apresentam a 
maior quantidade de aplicações de modelagem e são inúmeros 
cenários que se encaixam neste item, mas podemos começar 
listando 3 deles: modifi cações em sistemas existentes, setor 
de produção totalmente novo e a melhor política de estoques 
(FOGLIATTI,20017).
As modifi cações em sistemas existentes consistem em 
serem produzidas da atual produção, trocando equipamentos 
ou adicionando novos tipos de produtos, afetam a dinâmica do 
processo, antecipando os gargalos oriundos de modifi cações 
como por exemplo: modifi cação de fl uxo, alterações nas 
programações das atividades, ou adicionar novos tipos de 
facilidades, procurando um melhor modelo que incorpore as 
modifi cações requeridas (FOGLIATTI,20017).
No setor de produção totalmente novo, pode e deve ser 
planejado com o objetivo de obter o melhor fl uxo dentro dele.
E na melhor política de estoques vemos como uma 
obtenção por meio da simulação. Nesse tipo, a necessidade 
seria de solicitar o material e a função de atender os 
fornecedores seriam prioridade. E os resultados seriam o 
ponto de pedido e a quantidade de pedido.
O transporte molda as fi las, essas fi las podem ser 
aplicadas a transporte ferroviário, rodoviário, marítimo, 
elevadores, todos os tipos de transportes podem se aplicadas 
e moldadas no complexo fi la.
No transporte ferroviário existem alguns problemas, por 
exemplo, no número e na localização dos desvios e alocação 
de máquinas de serviço, tudo isso baseado em tabela de trens, 
tabela de horários de trens, que passam pelo local, das fi las 
ocasionadas pelo tráfego de pessoas, dentre outros.
No transporte marítimo e também aéreo as aplicações se 
referem a confecção da tabela de horários e dimensionamento 
de portos e aeroportos.
No transporte rodoviário, podemos dimensionar os 
fl uxos de veículos, ônibus, que transitam pela cidade, tentando 
assim,encontrar um modelo que nos traga a movimentação 
relacionada com pedágios, paradas, automaticamente 
agilizando os sistemas como um todo, evitando um tráfego 
alto nos pedágios, nas lojas, nas paradas de carro, no semáforo, 
com o objetivo de redução de custos e otimização de tráfego.
Os elevadores que citamos anteriormente, podemos 
minimizar o tempo de espera e o custo de movimentação, 
quantas paradas, quanto tempo trafegando, quais os andares 
envolvidos, chegada e saída de pessoas, quais os destinos, 
o funcionamento geral para atender o serviço padrão 
(FOGLIATTI,20017). 
Através da comunicação, vamos entender o 
funcionamento das fi las, o funcionamento das fi las possui 
uma variedade de problemas que podemos analisar através 
da modelagem de fi las. Mas como assim? Vamos obter os 
dados referentes a nossa modelagem, na modelagem vamos 
defi nir nossos parâmetros, como por exemplo, o tempo, a 
direção, vamos levantar todos os dados informacionais para 
estipularmos nosso modelo. 
Nas comunicações outro ponto que levantamos para 
entender os funcionamentos das fi las, possui uma variedade 
de problemas que podem ser analisadas pela modelagem 
de fi las, nas comunicações procuramos entender os tipos 
de respostas sobre chamadas perdidas que podem ser 
obtidas através dos dados informacionais. Essas chamadas 
perdidas, seriam desencontro de informações, e esse tipo de 
comunicação preza as regras para análise de rotas alternadas, 
e são comparadas a um estudo econômico para poder avaliar 
o poder de concentração dos canais, linhas disponíveis etc. 
(FOGLIATTI,20017).
No tópico de supermercados, bancos, escritórios é o 
mais comum quando falamos em fi las, certo?
Um estudo realizado pelos donos dos empreendimentos 
diz que a prioridade é do cliente em qualquer ponto de foco 
é o estudo das fi las que pela simulação pode dimensionar o 
número de caixas, por exemplo, de modo que surjam os tais 
“caixas rápidos” dos supermercados, minimizando a espera. 
No caso dos bancos, a “fi la única” pode trazer um melhor 
atendimento aos clientes, apesar da gente se assustar as vezes 
com os tamanhos das fi las. Outros tipos de empreendimentos 
também estão visando a facilidade de atendimento, como 
terminais eletrônicos espelhados por toda a cidade, tentando 
otimizar a facilidade e priorizando o cliente.
Depois de citado tudo isso precisamos entender também 
que existe uma confi abilidade envolvida em todos os estudos 
relacionados a fi la. A simulação é uma excelente ferramenta 
para obtermos a medição quantitativa da confi abilidade 
dos sistemas. Felizmente, essas características são comuns 
e conseguimos resolvê-las, através da captação de alguns 
dados como, tempo médio de falha, tempo médio de reparo, 
componentes etc. 
Através de diversos tipos de modelos podemos planejar 
a simulação e ser efi ciente, um planejamento de manutenção 
preventiva também pode ser realizado evitando possíveis 
falhas
Enfi m, o último tópico da fi gura nos remete a base de 
qualquer simulação, o processamento de dados. A modelagem 
de fi las tem sido amplamente usada pelas empresas 
que desenvolvem computadores de modo a se medir a 
produtividade ou o tempo de resposta de um certo sistema 
de computadores e terminais. A área de teleprocessamento 
possui inúmeras opções de uso. Uma outra área que está se 
tornando popular dentro da comunidade de informática é 
o estudo de performance e de capacidade, pois através dele 
pode-se identifi car gargalos e indicar opções de crescimento. 
2- Elementos de uma fi la
Vamos dar início a esse tópico conhecendo um pouco 
mais dos elementos pertencentes a uma fi la. Vamos observar 
a fi gura a seguir:
Figura 02: Elementos de uma fi la.
34Simulação da Produção
Na fi gura 02 vemos os elementos que compõem uma 
fi la. Nela, tem-se que, de uma certa população, surgem 
clientes que formam uma fi la e que aguardam por algum 
tipo de serviço. Podemos pensar em uma fi la de banco, 
supermercado, farmácia. O termo cliente é usado de uma 
forma genérica e pode designar tanto uma pessoa, quanto 
um grupo de pessoas, um material, um equipamento. Como 
sinônimo de cliente usamos também o termo “transação” 
ou “entidade”. O atendimento é constituído de um ou mais 
servidores (que podem ser chamados de atendentes ou canais 
de serviço) e tanto pode designar um barbeiro, um cais de 
atracação ou uma máquina (FOGLIATTI,20017).
Seguimos algumas características fundamentais de uma 
fi la, como por exemplo: clientes e tamanho da população, 
processo de chegada, processo de atendimento, número de 
servidores, disciplina da fi la, tamanho médio da fi la, tamanho 
máximo da fi la, tempo de médio de espera na fi la, como 
exemplifi cado na fi gura a seguir.
 Figura 03: Características de uma fi la.
Antes de começarmos a entender como funciona tais 
características, devemos conceituar melhor cada ponto citado 
na fi gura acima.
Vamos concordar que um cliente faz parte de uma 
população e entendemos como população, um conjunto de 
pessoas, pessoas essas que são denominadas independentes 
em cada fi la aplicada. Mas como assim?
A chegada de um novo cliente a uma fi la não afeta a taxa 
de vários clientes na fi la, e sim o que afeta são as chegadas 
de vários clientes. Vamos citar um exemplo: pense em 
um funcionamento de trem, se chegar um cliente não vai 
acontecer um tumulto ocasional, mas se chegarem 50 clientes, 
pode ser um fator determinante e prejudicial a todos. Ou 
seja, quando a população é pequena não afeta o efeito e pode 
ser considerável, com a população grande pode acontecer 
transtornos. 
O processo de chegada será exemplifi cado com o 
exemplo de um pedágio. No pedágio temos 5 atendentes, por 
exemplo, e vamos supor que o pico das chegadas seja entre as 
7 e 8 horas da manhã, ou seja 20 carros chegam por minuto ou 
1 carro chega a cada 3 segundos. Dado esse exemplo, vamos 
achar um valor médio, pois não signifi ca que constantemente 
irão chegar os 20 carros. Em intervalos de 1 minuto podem 
chegar de 10, 15, 25 ou até 30 automóveis, dependendo do 
trânsito, consequentemente os valores entre os carros de 
chegada são muito variáveis e não temos como controlar, 
mas fazendo uma média dos movimentos anteriores, teremos 
uma previsão, entre o intervalo de tempo dado das 7 as 8 da 
manhã. 
No caso citado anteriormente, poderemos simular uma 
situação utilizando outro tipo de distribuição que não seja 
a normal, a de Poisson ou a exponencial por exemplo, pois 
neste caso não se trata da frequência e sim das condições que 
ocorre.
Quanto estudamos teoria das fi las, o ritmo da chegada 
é uma variável importante, chamamos de randômica. E 
para quantifi car essa variável, utilizamos a letra grega l que 
signifi ca ritmo de chegada e IC sempre (no nosso material), 
vai representar intervalo de chegadas.
No tópico processo de atendimento também como 
parte de teoria das fi las, analisamos todas as variáveis que 
fazem parte do modelo. Vamos continuar com o exemplo do 
pedágio. Vamos supor que um atendente atende 6 veículos 
por minuto e que gasta 10 segundos para atender um veículo. 
Os exemplos citados são apenas para ilustração, pois não 
temos como calcular esse tempo de atendimento entre o 
cliente, por isso podem acontecer muitos imprevistos, como 
chuva, falta de moeda, fi la, dentre outros. 
Continuando, o processo de atendimento é quantifi cado 
por uma variável randômica, a letra m é utilizada nesse caso 
para signifi car o ritmo/tempo de atendimento e se usa TA para 
tempo de duração de serviço ou atendimento. Por exemplo, 
o nosso m=6 clientes por minuto e TA= 10 segundos por 
cliente. 
Os números de servidores fazem parte de outro tópico 
incluso na teoria das fi las, e é o único servidor que pode 
atender 1 cliente por vez. Para normalizar o atendimento das 
fi las, o número de atendentes pode ir aumentando conforme 
a demanda dos clientes, conforme o ritmo de chegada. 
O outro tópico é disciplina na fi la que retrata de uma 
regra que defi ne qual o próximoa ser atendido e o comum é 
que o primeiro da fi la ser atendido, ou o primeiro a chegar, é 
o primeiro a ser atendido. Existe um termo bem comum em 
inglês que tem a sigla FIFO, ou seja, “Firts in Firts Out”, que 
signifi ca serviço por ordem de chegada, prioridade. 
O outro tópico é o tamanho médio da fi la. Esse tópico 
tem uma característica da fi la mais considerada ao se defrontar 
com a opção de escolher uma fi la, o ideal seria chegar e se 
atendido, fi la zero. Mas, sabemos que às vezes não é assim. O 
tamanho da fi la não é constante, e então analisamos o tempo 
do ritmo médio de chegada e de atendimentos, mantendo 
uma constante, o tamanho da fi la oscila em torno de um valor 
médio.
O tamanho máximo da fi la já induz que o cliente deve 
esperar. Um exemplo é o salão de beleza: signifi ca que 
alguma área de espera deve existir, por exemplo, as cadeiras 
para aguardar sua vez no salão, o foco é observar uma certa 
quantidade máxima de clientes em espera, geralmente feitos 
com base em experiência real, de acordo com a demanda 
prevista e os horários marcados. Essas considerações são 
diretamente ligadas e chamamos de tamanho máximo da fi la e 
se dá tanto para salões de beleza, tanto para carros esperando 
para abastecer, é um campo bastante amplo e comum. 
O último tópico é o tempo medo de espera na fi la. Esse 
tópico traz a característica de causa de irritação. Pelo longo 
tempo na fi la aguardando, o ideal em um sistema perfeito 
35
é não existir espera nas fi las, mas como vivemos em uma 
sociedade acostumada e que não faz nada para mudar (em 
alguns casos), a única alternativa é esperar. Se entrarmos 
numa fi la com 10 pessoas a nossa frente, o tempo de espera 
será igual ao somatório dos tempos de atendimento de cada 
um dos clientes da nossa frente ou, possivelmente, será a 
10 a duração média de atendimento, igual como o tamanho 
médio da fi la, o tempo médio de espera na fi la depende dos 
processos de chegada e de atendimento (ANDRADE,2011). 
Vamos aprender agora sobre variáveis randômicas, mas 
o que seria esse tipo de variável?
As variáveis randômicas são variáveis que fazem 
referência a existência de um valor médio e uma distribuição 
de probabilidades, que nos mostra a chance de ocorrência dos 
valores. Por exemplo, vamos afi rmar que o tamanho médio 
de uma fi la é 5 clientes, não estamos dizendo que o tamanho 
da fi la é sempre de 5 clientes, em diferentes momentos de 
observação acontece uma variação de tamanho as vezes 10, 7, 
3 clientes, ou simplesmente não existe fi la. O valor médio de 
5 signifi ca uma média aritmética ponderada dos tamanhos da 
fi la durante alguns intervalos de tempo.
Quando se deseja dimensionar qualquer tipo de sistema 
dentro da teoria das fi las, devemos prestar atenção para as 
opções de atendimento que temos como: uma única fi la e um 
único servidor, uma única fi la e diversos servidores, diversas 
fi las e diversos servidores, fi las especiais, alteração dinâmica 
no sistema de atendimento. A escolha dentre essas opções 
que citamos, vai depender das características dos sistemas que 
estamos analisando, pode ser ótimo ou péssimo depende da 
situação. 
3- Variáveis Fundamentais e Resumo 
de Fórmulas 
 Considera-se o sistema de fi las da Figura 4, onde alguns 
clientes entram e saem de uma fi la de cachorro-quente, existe 
N servidores para atende-los. Suponhamos que λ seja o 
ritmo médio da chegada e µ o ritmo médio de atendimento 
de cada atendente. Vejamos a fi gura a seguir para entender 
mais das variáveis. Em algumas delas vocês vão reparar que 
vamos encontrar frequentemente chamaremos de variáveis 
randômicas (ANDRADE, 2011). 
 
Figura 4: Localização das Variáveis.
Na fi gura anterior, podemos perceber algumas variáveis 
e o comportamento delas e no quadro abaixo vamos aprender 
o signifi cado de cada uma.
A seguir, no quadro 1, vou destacar as variáveis que mais 
vamos utilizar e as que mais vocês vão encontrar relacionadas 
a teoria das fi las.
Variáveis 
Referentes ao 
Sistema 
Variáveis 
Referentes 
ao Processo 
de Chegada
Variáveis 
Referentes 
à fi la 
Variáveis 
Referentes ao 
Processo de 
Atendimento
TS= tempo médio 
de permanência no 
sistema;
l= Ritmo Médio 
de Chegada; 
TF= Tempo 
Médio de 
Permanência 
na Fila; 
TA= Tempo 
Médio de 
Atendimento ou 
de Serviço;
NS= número médio 
de clientes no 
sistema;
IC= Intervalo 
Médio entre 
Chegadas; 
OBS: 1/l 
(defi nição)
NF= Número 
Médio de 
Clientes na 
Fila; 
M= Qualidade de 
atendentes;
NA= Número 
Médio de Clientes 
que estão sendo 
atendidos;
m= Ritmo Médio 
de Atendimento 
de cada 
Atendente; 
TA= 1/m 
(Defi nição);
Quadro 01: Variáveis Fundamentais e seus signifi cados.
 
Para continuamos a aprender sobre teoria das fi las, 
precisamos entender a relação básica que existe entre as 
variáveis, existem basicamente duas fórmulas básicas que 
são, NS= NF+ NA e TS=TF+TA. Demonstrando que 
NA = l/m=TA/IC. Então, temos que NS=NF+NA =NF 
+l/m = NF + TA/IC. Essa é a relação existente. Vamos 
aprender mais a frente nos exemplos como usar cada fórmula 
individualmente, porém, acabamos de aprender qual a relação 
entre elas.
A taxa de utilização é outro fator importante que vamos 
nos deparar no dia a dia nos campos da teoria da fi la, mas o 
que precisamos saber?
Bom, para o caso de “uma fi la / um atendente”, chama-
se de taxa de utilização do atendente a expressão: ρ = λ / 
µ onde, λ = ritmo médio de chegada e µ = ritmo médio de 
atendimento.
No caso de uma fi la / vários atendentes, a expressão se 
torna: ρ = λ / (M. µ) em que M é o número de atendentes, 
ρ representa a fração média do tempo em que cada servidor 
está ocupado. Vamos a um exemplo para fi car mais fácil
? Pensem em um atendente de supermercado, se chegarem 
4 clientes por hora e se o atendente tiver capacidade para 
atender 10 clientes por hora. Logo, a taxa de utilização é 0,40 e 
pode-se também afi rmar que o atendente fi ca 40% do tempo 
ocupado e 60% do tempo livre (ANDRADE,2011).
O último tópico antes de entrar nas fórmulas e Little que 
precisamos saber, é sobre a intensidade de trafego ou número 
mínimo de atendentes. Chamamos de tráfego a expressão: i = 
| λ / µ | = | TA / IC |, onde i signifi ca que é o próximo valor 
inteiro que se obtém, no caso um valor absoluto e é medido 
em “erlangs”, em homenagem a A.K. Erlang. Mas na prática 
i representa o número mínimo de atendentes necessários para 
36Simulação da Produção
atender um determinado fl uxo de tráfego. Vamos demonstrar 
com um exemplo: em um mercado supostamente vai chegar 
10 clientes por hora e a minha TA é de 3 minutos, então 
temos que nosso λ é de igual a 10 e nossa TA é 3. Fazendo a 
distribuição dos valores nas fórmulas vamos ter que o λ=0,5 
ou i =1. Ou seja, um atendente neste caso é sufi ciente. Mas 
vamos entender melhor essas fórmulas no tópico a seguir.
4- Exercícios e aplicações da teoria 
das fi las 
Com a descoberta de J.D.C. Little, mudou a teoria das fi las 
para uma forma mais útil de ser utilizada, e ele demonstrou, 
então, que, para um sistema estável de fi las, temos:
NF = λ. TF
NS = λ. TS
Essas fórmulas são muito importantes, pois fazem 
referências a quatro das mais importantes variáveis randômicas 
de um sistema de fi las: NS (número médio de clientes no 
sistema), NF (tamanho médio da fi la), TS (permanência no 
sistema) e TF.
Por exemplo, se além de λ e µ é conhecido TS, pode-se 
obter as outras variáveis:
NS = λ. TS
Se TA = 1 / µ
Portanto, TF = TS – TA = TA – 1 / µ
Finalmente, NF = λ. TF
É importante salientar que todas as fórmulas anteriores 
independem da quantidade de servidores e do modelo de fi la, 
pois se trata de fórmulas fundamentais básicas. 
 Mas vamos praticar mais para fi xar nosso conhecimento.
Este quadro de fórmulas a seguir é de suma importância 
que tenham ele sempre a vista, pois está resumido as fórmulas 
que mais se encontram na teoria das fi las.
Quadro 02: Resumo das fórmulas.
Exercício 1
Exemplo 1: Em uma fábrica de sorvetes observou-se 
ofuncionamento de um dado setor, em que Ritmo médio 
de chegadas (λ) é de 20 clientes / hora, o Ritmo médio de 
atendimento (µ) é de 25 clientes / hora e o Tempo médio 
de permanência no sistema (TS) é de 0,3 hora. Pede-se o 
tamanho médio da fi la (NF).
Resolução
Como resolver? Primeiro vamos utilizar a seguinte 
fórmula: TA = 1 / µ = 1 / 25 = 0,04
Após, vamos utilizar a de permanência do sistema: TF = 
TS – TA = 0,3 – 0,04 = 0,26
 E por fi m, vamos utilizar a para medir o tamanho da fi la: 
NF = λ x TF = 20 x 0,26 = 5,2 clientes
Exercício 2
Para um mesmo sistema acima (Exemplo 1), calcular 
o Número médio de clientes no sistema (NS) e o Número 
médio de clientes sendo atendidos (NA).
Resolução
Primeiro achamos a NS = λ x TS = 20 x 0,3 = 6 clientes
Após, a NA = NS – NF = 6 – 5,2 = 0,8 clientes
Exercício 3
Em um supermercado verifi cou-se que o tempo médio 
de permanência no sistema (TS) dos caminhões junto a 
descarga de mercadoria é de 3 minutos e que, em média, 
existem 6 caminhões (NS) no setor. Qual a taxa de chegada 
de caminhões?
Veja Figura abaixo 5. 
Figura 5: TS e NS.
Na fi gura x vemos de um lado 24 caminhões em processo 
de descarregamento de produtos de um supermercado e 6 
caminhões em processo de carregamento
Podemos estruturar a solução da seguinte maneira: 
Resolução
NS = λ x TS ou λ = NS / TS
Pela lei de Little:
λ = 6 / 3 = 2 chegadas por minuto
Exercício 4
No mesmo sistema acima, existindo um total de 30 
caminhões em serviço, qual a duração de um ciclo?
Chamamos de ciclo ao tempo gasto para que todos os 
caminhões “passem” pela carregadeira uma vez. Ao fi nal de 
um ciclo o sistema terá atendido uma vez a cada um dos 30 
caminhões.
Resolução
Duração do ciclo = (quantidade de caminhões) / λ
Duração do ciclo = 30 / λ = 30 / 2 = 15 minutos
Exercício 5
No mesmo sistema acima, qual o tempo médio para o 
processo completo de descarregamento (ou TFS: Tempo 
Fora do Sistema)?
Solução:
37
Um ciclo corresponde à soma do tempo dentro do 
sistema (TS = 3) com o tempo de descarregamento (TFS). 
Logo:
TFS + TS = 15 caminhões
TFS = 15 – 3 = 12 caminhões
Chegamos ao fi nal de mais uma aula. Tudo certo até 
aqui? Vamos recordar!
Retomando a aula
1- Teoria das fi las
Nesta seção, aprendemos as aplicações de modelagens 
de sistemas. Vimos onde a teoria das fi las é normalmente 
aplicada, vimos as áreas que mais são usadas, aprendemos 
a real fi nalidade da teoria das fi las e o quanto podem ser 
benéfi cas quando aliadas a simulação da produção. 
2- Elementos de uma fi la
Quando se deseja dimensionar qualquer tipo de sistema 
dentro da teoria das fi las, devemos prestar atenção para as 
opções de atendimento que temos como: uma única fi la e um 
único servidor, uma única fi la e diversos servidores, diversas 
fi las e diversos servidores, fi las especiais, alteração dinâmica 
no sistema de atendimento. A escolha dentre essas opções 
que citamos, vai depender das características dos sistemas que 
estamos analisando, pode ser ótimo ou péssimo depende da 
situação. 
3- Variáveis Fundamentais e Resumo de Fórmulas 
Nesta seção, aprendemos sobre as variáveis mais 
utilizadas dentro da teoria das fi las, aprendemos a localização 
das variáveis, aprendemos as fórmulas mais utilizadas, as 
relações que as variáveis possuem. Aprendemos também a 
fórmula de Little e aprendemos qual o signifi cado de cada 
termo. 
4- Exercícios e aplicações da teoria das fi las
Nesta seção, aprendemos como funciona cada fórmula 
dentro de alguns exemplos. Vimos como disponibilizar as 
variáveis envolvidas em cada contexto exemplifi cado.
Até a próxima aula!
Disponível em: https://www.youtube.com/
watch?v=ybZe4spMFfk.
Vale a pena acessar
 https://www.youtube.com/watch?v=eFyAyz6Xy6g 
(Revisão de probabilidade e estatística).
Vale a pena assistir
h t t p s : / / w w w . r e s e a r c h g a t e . n e t /
publication/336266032_Teoria_das_filas_Fundamentos_
basicos_aplicacoes.
Vale a pena ler
Vale a pena
Minhas anotações