Séries de Potências e Teoremas

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• Pergunta 1 
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A série de Taylor corresponde à representação de funções como séries de potências. Uma 
das aplicações em tal conversão é a resolução de equações diferenciais por meio de série 
de potencias. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre séries de potências, dada a 
função f(x) = sen x, pode-se afirmar que a série de Taylor correspondente a: 
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∑ (−1)n x / (2n+1)! 
∑ (−1)n x2n+1 / (2n)! 
∑ (−1) x2n+1 / (2n+1)! 
∑ (−n)n x2n+1 / (2n+1)! 
∑ (−1)n x2n+1 / (2n+1)! 
• Pergunta 2 
1/1 
Leia o excerto e analise a figura a seguir: 
“Dados os pontos F1 e F2, com a distância 2c entre eles, a elipse é o conjunto dos pontos P 
em que é válida a seguinte igualdade: dPF1 + dPF2 = 2a. Em outras palavras, a elipse é o 
conjunto de pontos no qual a soma das distâncias até cada um dos focos é igual à 
constante 2a. 
”Fonte: SILVA, L. P. M. O que é elipse? Uma figura geométrica? Brasil Escola. Disponível em: 
<https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-elipse.htm>. Acesso em: 5 set. 
2019. 
 
 
São comuns forças que variam ao longo de uma trajetória. A força representada na figura é 
proporcional ao afastamento em relação à origem das coordenadas, descrevendo no 
sentido anti-horário a parte da elipse x2/4 + y2/16 = 1 no primeiro quadrante, sendo F(x,y) = 
−k(x,y). Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Green, 
pode-se afirmar que o trabalho realizado equivale a: 
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−6 k. 
5 k. 
16 k. 
−12 k. 
10 k. 
• Pergunta 3 
1/1 
No campo matemático, um campo vetorial (campo de vetores) corresponde a um conceito 
do cálculo vetorial que relaciona um vetor a cada ponto de uma variedade diferenciável, ou 
seja, é uma função vetorial que associa um vetor a cada ponto do espaço xyz.ç 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Green, 
calcule a integral do campo vetorial F=(y−ex^2, 2x − ey^2) e a curva C: x2 + y2 = 1, orientada 
positivamente. Considerando esses dados, pode-se afirmar que a integral do campo vetorial 
corresponde a: 
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2π. 
3π. 
 π/2. 
π 
6π. 
• Pergunta 4 
1/1 
Analise a figura a seguir: 
 
 
Figuras geométricas podem ser geradas a partir do modelamento baseado em equações 
matemáticas. Na figura apresentada, é possível observar um vaso de manjerico. Tal sólido 
limita o volume da forma, V= (x2 + y2 < z, 1 < z < 4), considerando o campo vetorial F(x, y, z) = 
(xz2, yz2, z3). 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Stokes, 
calcule o fluxo do rotacional F por meio da parede lateral do vaso, referente à superfície S = 
(x2 + y2 = z, 1 < z < 4). Considerando esses dados, pode-se afirmar que o fluxo do rotacional 
corresponde a: 
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0. 
2. 
1 
π/2. 
π. 
• Pergunta 5 
1/1 
Analise a figura a seguir: 
 
 
O teorema de Green é extremamente útil na aplicação de cálculo de área de figuras planas. 
O teorema tem esse nome, pois foi desenvolvido por George Green, em 1828, e seu 
princípio é utilizado em outros teoremas como, por exemplo, os teoremas de Gauss e de 
Stokes. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o tópico, dada a região D, 
D=(1≤ x2 + y2≤4, x>0, y>0), calcule a área da região D, sendo a curva C correspondente à 
fronteira da região D. Considerando esses dados, pode-se afirmar que a área da região D 
corresponde a: 
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14/3. 
7/3. 
5/3. 
10/3. 
19/3 
• Pergunta 6 
1/1 
Analise a figura a seguir: 
 
 
O teorema de Stokes trata de campos vetoriais em três dimensões, sendo o teorema de 
Green uma particularidade bidimensional do teorema de Stokes. No campo da geometria 
diferencial, é uma teoria sobre a integração de formas diferenciais. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Stokes, 
calcule a circulação do campo F: yi + xzj + x2k, dado que a curva C corresponde à fronteira do 
triângulo cortado a partir do plano x + y + z = 1, no sentido anti-horário no primeiro octante. 
Considerando esses dados, pode-se afirmar que a circulação do campo equivale a: 
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−5/6. 
5/7. 
9/2. 
4/3. 
10/7. 
• Pergunta 7 
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O desenvolvimento de funções em séries de potências tem diversas aplicações, tal como a 
resolução de equações diferenciais. Pode-se também aplicar tal recurso para realizar 
aproximações de funções com a utilização de séries de Taylor e Maclaurin. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre séries de potências, dada a 
expansão da função f(x) = (1+x)−1/2 em uma série de Taylor, pode-se afirmar que o 4º termo 
da série, em torno de a = 0, corresponde a: 
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15x3 / 48. 
15x2 / 12. 
5x3 / 48. 
15x2 / 48. 
10x3 / 24. 
• Pergunta 8 
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Leia o excerto e analise a figura a seguir: 
“Rotacional é um operador que, a partir de uma função que representa um campo vetorial 
tridimensional, gera uma nova função que representa um campo vetorial tridimensional 
diferente. Se um fluido escoa pelo espaço tridimensional ao longo de um campo vetorial, a 
rotação do fluido em cada ponto, representada por um vetor, é dada pelo rotacional do 
campo vetorial original calculado naquele ponto.” 
Fonte: KHAN ACADEMY. Rotacional, rotação do fluido em três dimensões. Disponível em: 
<https://pt.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-
derivatives/divergence-and-curl-articles/a/curl>. Acesso em: 6 set. 2019. 
 
 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Stokes, dada 
a superfície S: x2 + y2 + z2 = 1, pode-se afirmar, fazendo o cálculo do rotacional, que a área de 
S é: 
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π. 
2π. 
5π. 
3π/2. 
3π. 
• Pergunta 9 
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Leia o excerto e analise a figura a seguir: 
“Vamos pensar em uma roda de carro que apresenta um ponto fixo para observação. 
Agora, pensando nessa roda em movimento, sobre uma rua lisa, vamos observar a 
trajetória desse ponto fixo. A curva descrita por esse ponto é a curva cicloide.”Fonte: 
CORDEIRO, A. C. F. O que é a curva cicloide: ideias centrais no ensino da matemática. 
Trabalho de conclusão de curso (Licenciatura em matemática) – Instituto Federal de 
Educação, Ciência e Tecnologia, IFSP. São Paulo, p. 88. 2013. 
 
 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Green, 
calcule a área da figura, descrita pelas curvas C1 e C2, dada a cicloide abaixo x= t − sen(t), y 
= 1 − cos(t). Considerando esses dados, pode-se afirmar que a área da cicloide corresponde 
a: 
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6π. 
3π. 
12 π. 
9π. 
−3π. 
• Pergunta 10 
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Quando se trata de intervalo de convergência, o teste da razão é o teorema mais indicado 
para sua especificação. No entanto, o teste da razão não pode determinar a convergência 
nas extremidades do intervalo de convergência. De acordo com essas informações e o 
conteúdo estudado sobre séries de potências, analise as afirmativas a seguir e assinale V 
para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s): 
I. ( ) Se uma série de potências é absolutamente convergente em um dos extremos de seu 
intervalo de convergência, então ela também converge absolutamente no outro extremo. 
II. ( ) Se uma série de potências converge em um extremo de seu intervalo de convergência 
e diverge no outro, então a convergência naquele extremo é condicional. 
III. ( ) O conjunto de valores de x para os quais a série de potências é convergente é 
chamado de intervalo de potências da série. 
IV. ( ) Uma série de potências define uma função que tem como domínio o intervalo de 
convergência. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
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V, F, F, V. 
V, V, F, F. 
V, V, F, V. 
F, V, F, F. 
V, F, V, F.