Área e Perímetro do Círculo

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ATIVIDADE 13: ÁREA E PERÍMETRO DO 
 CÍRCULO. 
OBJETIVOS: Sistematizar o estudo de áreas de polígonos. 
 Desenvolver a noção de área do círculo. 
 Resolver situações-problema envolvendo a noção de 
 área , perímetro e suas relações. 
 
PARTE 1: A ÁREA DO CÍRCULO. 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: Um pedaço de cartolina, tesoura e cola. 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 
 Peça a cada aluno para desenhar um círculo em um pedaço de 
cartolina e, utilizando um dos processos que conhece, dividi-lo em várias 
partes: 16, 18 ou 32. 
 
 A seguir, recortarão a figura, decompondo o círculo em 
setores circulares de 1 , 1 , ou 1 do círculo, montando uma figura que se 
 16 18 32 
se aproxima de um paralelogramo. 
 
 
 Proponha que os alunos discutam: 
 * O que se pode afirmar sobre as dimensões desse 
“paralelogramo” se aumentarmos mais ainda o número de divisões do círculo? 
 * Qual é a altura e a base desse paralelogramo? 
 Verifique se eles aceitam o fato de que a base do 
“paralelogramo” é aproximadamente a metade do comprimento da 
circunferência ( π r ) e tanto mais próximo de π . r será quanto maior for o 
número de setores circulares ( divisões do círculo ) e que a altura do 
“paralelogramo” se aproxima do raio r do círculo. 
 Assim, a área desse paralelogramo pode ser: 
 A = π . r 
tendo em vista que ele contém todas as partes do círculo. 
 Uma vez admitida essa maneira de calcular a área do círculo 
por aproximações, proponha que determinem: 
 1.- A área de um círculo de raio igual a 4 cm. 
 
 
 
 
 2.- O diâmetro de um círculo de área igual a 314,16 cm
2
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMENTÁRIOS: 
 
 O cálculo da área do círculo, assim como a medida do 
perímetro da circunferência não escapam dos processos de aproximações 
sucessivas, da idéia de limite. 
 Na atividade 5 a determinação da área de um polígono regular 
permitiu, com a introdução da noção de apótema, estender esse cálculo para a 
párea do círculo. Se aumentarmos infinitamente a quantidade de lados do 
polígono regular, o apótema se aproximará cada vez mais do raio e a área do 
polígono se confundirá com a área do círculo. 
 Tal processo foi desenvolvido por Johann Kepler ( 1571 – 
 
1630 ). “Ele imaginava a área de um círculo como a área de um polígono 
 
inscrito formado de infinitos triângulos isósceles com vértices no centro do 
 
círculo, alturas ( apótemas ) iguais aos raios e tendo como base cordas 
 
infinitesimais do círculo. Mediante essa técnica achou que a área do círculo é 
1 do produto do raio pela circunferência” ( * ). Escrito de uma forma atual 
2 
ficaria assim: 
 
 
 
PARTE 2: ÁREA DE UM SETOR CIRCULAR. 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: Nenhum. 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 
 Peça aos alunos para desenharem um círculo de raio igual a 4 
cm numa folha de papel ou caderno e proponha para eles discutirem o que é 
necessário para acharmos a área de uma parte desse círculo, como a indicada 
na figura, o setor circular. 
 Após um tempo, levante junto aos grupos os tipos de 
 
soluções que apresentam. Considere junto a eles, que uma vez sabendo 
 
calcular a área do círculo a área de parte como 1 , 1 , 1 , etc, são 
 2 4 6 
relativamente simples, bastando para isso, dividir sua área em 2, 4, 6, etc 
partes. 
 
 
 Ressalte também os ângulos centrais observados em cada uma 
das partes que eles trabalharam e as razões entre as partes mencionadas acima: 
 360º π . r
2 
 180º π . r
2
 
 2 
 90º π . r
2
 
 4 
 60º π . r
2
 
 6 
 
 Peça então que calculem neste caso a área de um setor cujo 
ângulo central seja de 30º e de 1º. 
 
 
 
 
 
 
 Proponha que discutam um modo para se determinar o cálculo 
da área de um setor circular de um círculo qualquer de raio r e relativo a um 
ângulo central α. Solicite que escrevam uma expressão para este cálculo. 
 
 Após um tempo para a discussão verifique qual o processo 
utilizado e se conseguiram chegar à expressão: 
 A = α . π . r
2
 
 360 
 
encontrada pelo cálculo da área do setor de 1 do círculo, relativo ao ângulo 
 360 
central de 1º, e multiplicando por α. 
 Discutidos esses casos que se referem a um mesmo círculo, 
caberá uma discussão sobre o que ocorre com a área de setores relativos a um 
mesmo ângulo central, quando variamos a medida do raio. Proponha um 
exemplo: 
 
 Três circunferências concêntricas tem raios iguais a 2, 4 e 12 
cm. Verifique a relação que se pode estabelecer entre as áreas de setores 
circulares relativos a um mesmo ângulo central. 
 
 
PARTE 3: RELAÇÕES ENTRE ÁREAS E PERÍMETROS. 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: Papel quadriculado, cartolina. 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 
 Proponha para serem feitas em aula ou em casa algumas 
situações: 
 Situação 1: 
 Resolver os problemas: 
 Um retângulo em que a medida do seu comprimento é o 
dobro da medida da largura tem área igual a 50 cm
2
. 
qual é a largura e o comprimento desse retângulo? 
 Para cercar um terreno de área igual a 100 m é 
necessário uma certa quantidade de arame para dar uma 
volta no terreno. 
- Se ele for quadrado quanto de arame será necessário 
para 4 voltas? 
- Se o terreno for retangular e tiver 5 m de largura qual é 
a quantidade de arame necessária para dar 4 voltas? 
 Uma praça tem a forma de um trapézio isósceles, 
conforme a figura seguinte: 
 
 
 Para fazer o calçamento da praça é necessário conhecer sua 
área. Calcule-a de acordo com as medidas indicadas na figura. 
 
 
 
 
 
 
 Situação 2: 
 Calcular a área total da superfície de uma caixa de sapatos, 
remédios ou eletrodoméstico. 
 Confeccionar, em cartolina, uma caixa, em forma de prisma 
retangular, com 148 unidades de área. Após a confecção da caixa, verificar os 
tipos de caixa e analisar o que aconteceu. 
 
 Situação 3: 
 1.- Calcule a área de uma folha de papel sulfite. Feche-a 
colando as pontas de modo a formar um cilindro. Qual é o raio desse cilindro? 
 
 2.- Desenhe um retângulo num pedaço de cartolina, com as 
dimensões que você escolher. Antes de colar as laterais, formando o cilindro, 
e descontada a parte que achar necessária para colar, recorte os círculos que 
serão as bases do cilindro. 
 
 3.- Calcule a área total de uma lata de forma cilíndrica, que 
você escolher em casa. 
 
 
 
 
 
 Situação 4: 
 1.- Confeccione um setor circular de raio igual a 12 cm e 
ângulo central igual a 120º. Qual é o seu perímetro? Qual é a sua área? 
 Cole as laterais, formando um cone. Qual é o raio da base 
desse cone? Use régua para medir e verifique em seguida, fazendo o cálculo, 
usando o perímetro do setor circular acima mencionado. 
 
3.- Calcule a área total de um cone, após planificá-lo. 
 
 
COMENTÁRIOS: 
 
 
 Essas situações problema podem ser apresentadas em aula 
para um estudo em grupo, ou para trabalhos individuais a serem realizados em 
classe ou em casa. Muitas situações podem ser propostas retomando todo o 
estudo das medidas de perímetro e áreas. 
 
 Nas situações 3 e 4, o conhecimento de perímetro e área do 
círculo e do setor circular permitem fazer alguns cálculos relativos às áreas do 
cilindro e do cone. No entanto, há grandezas como por exemplo a altura do 
cone que pode ser medida, mas, provavelmente os alunos ainda não têm os 
elementos necessários para o seu cálculo, que exigiram o conhecimento da 
relação de Pitágoras.