Operações com Matrizes

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• Observe que dois elementos colocados simetricamente em 
relação à diagonal principal são opostos. Além disso, os elementos 
dessa diagonal são todos nulos.
Propriedades da adição de matrizes:
P1. Comutativa: A+B=B+A
P2. Associativa: (A+B)+C=A+(B+C)
P3. Elemento neutro: A+0=A
P4. Elemento oposto: A+(-A)=0
Obs: neste caso, 0 representa a matriz nula. 
• Multiplicação de um número real por matriz 
Para multiplicar um número real por uma matriz, multiplicamos o 
número por todos os elementos da matriz, e o resultado é uma matriz 
do mesmo tipo. 
Dada uma matriz A=(aij) e um número real K, chama-se produto de k 
por A a matriz B=(bij), onde bij=k.aij. 
Exemplo:
• Multiplicação de matrizes
O produto de uma matriz por outra não pode ser determinado através 
do produto dos seus respectivos elementos. Especificamente nessa 
operação, não podemos proceder do mesmo modo como fizemos até 
agora, já que a multiplicação de matrizes não é análoga à multiplicação 
de números reais. 
Assim, o produto das matrizes A=(aij)mxp e B=(bij)pxn é a matriz 
C=(cij )mxn, onde cada elemento cij é obtido através da soma dos 
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produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos 
elementos da j-ésima coluna de B. 
Exemplo: 
A matriz produto A.B existe apenas se o número de colunas da 1ª 
matriz (A) é igual ao número de linhas da 2ª matriz (B). Assim,
Note que a matriz produto terá o número de linhas (m) do 1º fator e o 
número de colunas (n) do 2º fator.
Propriedades da multiplicação de matrizes.
Dadas as matrizes A,B e C de modo que as somas e os produtos 
estejam definidos, valem as propriedades:
P1. Associativa 
A.(B.C)= (A. B).C
P2. Distributiva 
 À esquerda: (B+C).A=B.A+C.A
 À direita: A.(B+C)=A.B+A.C
P3. De forma geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, isto 
é, existem matrizes A e B tais que AB≠BA.
P4. Na multiplicação de matrizes não vale a lei do anulamento do 
produto, isto é, podemos ter AB=0, mesmo com A≠0 e B≠0.
P5. Não vale também a lei do cancelamento, isto é, mesmo com A≠0 
podemos ter AB=AC e B≠C.
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