Exercício de Fixação 02 - Pesquisa Operacional

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Exercício de Fixação 02 - Pesquisa Operacional 
 
1. Pergunta 1 
0/0 
Leia o trecho a seguir: 
“Esse procedimento para obter a solução simultânea de um sistema de equações 
lineares é chamado método da eliminação de Gauss-Jordan ou, simplesmente, 
eliminação gaussiana.6 O conceito-chave para esse método é o uso de operações 
algébricas elementares para reduzir o sistema de equações original à forma 
apropriada da eliminação gaussiana em que cada variável básica foi eliminada de 
todas, exceto uma equação (a sua própria equação) e tem um coeficiente +1 nessa 
equação.” 
Fonte: HILLIER, F. S; LIEBERMAN, G. J. Introdução a pesquisa operacional. 9 ed. São 
Paulo: McGraw Hill, 2013, p.113. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre escalonamento, analise 
as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) Em uma matriz retangular, na sua forma escalonada por linhas, todas as linhas 
não-nulas estão acima de qualquer linha composta só de zeros. 
II. ( ) Uma matriz escalonada por linhas apresenta o primeiro elemento não nulo (pivô) 
de cada linha em uma coluna à direita do pivô da linha acima. 
III. ( ) Todos os elementos de uma coluna abaixo de um pivô são zero em uma matriz 
retangular escalonada por linhas. 
IV. A matriz 
 
é uma matriz na forma escada. 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
V, F, V, F. 
Incorreta: 
F, F, F, V. 
V, V, F, F. 
V, V, V, F. 
Resposta correta 
F, V, V, F. 
Comentários 
Justificativa: A afirmativa I é verdadeira, porque, se a linha de uma matriz escalonada 
for toda de zeros, ela tem que estar abaixo das linhas que possuem elementos 
diferentes de zero, caso contrário, não teremos a forma escada. A afirmativa II é 
verdadeira, pois, para que se obtenha a forma escada, os degraus são os pivôs 
(primeiros elementos não nulos de cada linha) que devem estar de uma coluna mais à 
esquerda, na primeira linha, para colunas mais à direita a cada linha. A afirmativa III é 
verdadeira, pois, se algum elemento abaixo de um pivô (na mesma coluna) não for 
igual a zero, a matriz não estará na forma escada. A afirmativa IV é falsa, porque o 
elemento que está na segunda coluna da última linha quebra a forma escada, pois 
todos os elementos de uma coluna abaixo de um pivô, que seria o a12=1 devem ser 
iguais a zero. 
2. Pergunta 2 
0/0 
A discussão de sistemas lineares permite que se identifique quantas soluções um 
sistema de equações lineares possui, mesmo antes de resolver o sistema, a partir de 
informações sobre o determinante da matriz dos coeficientes do sistema. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre os discussão de 
sistemas lineares, analise as afirmativas a seguir: 
I. Se o determinante da matriz dos coeficientes de um sistema linear for igual a zero, o 
sistema possui uma única solução. 
II. Se o determinante da matriz que representa os coeficientes de um sistema linear for 
diferente de zero, esse sistema pode ter uma única solução. 
III. Quando o determinante da matriz que representa os coeficientes de um sistema 
linear for igual a zero, esse sistema não tem solução. 
IV. Se um sistema linear possui infinitas soluções, podemos afirmar que o 
determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
III e IV. 
I e III. 
Incorreta: 
I e II. 
I, III e IV. 
II, III e IV. 
Resposta correta 
Comentários 
Justificativa: A proposição I está incorreta, porque, quando o determinante da matriz 
dos coeficientes de um sistema linear é igual a zero, o sistema não tem solução. A 
proposição II está correta, pois, quando o determinante da matriz dos coeficientes de 
um sistema linear é diferente de zero ele pode ter uma única solução, ou infinitas 
soluções. A proposição III está correta, pois quando o determinante da matriz dos 
coeficientes de um sistema linear é igual de zero ele não tem solução. A proposição IV 
está correta, porque, se um sistema linear possui infinitas soluções, ou uma única 
solução, o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero. 
3. Pergunta 3 
0/0 
A modelagem matemática de problemas faz parte da vida de inúmeros profissionais. 
Um analista financeiro, ao modelar um problema, deparou-se com um sistema de 
equações lineares com mequações e n incógnitas, e ele chamou a matriz dos 
coeficientes de M. Ao analisar o sistema, o analista verificou que o posto da matriz 
ampliada do sistema p(Au) era igual ao posto da matriz dos coeficientes p(M) e que os 
dois possuem valor equivalente ao número de incógnitas do sistema. Considere que o 
modelo construído pelo analista esteja correto. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre escalonamento de 
sistemas lineares e posto de matrizes, analise as afirmativas a seguir e assinale V para 
a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) O sistema é possível. 
II. ( ) O sistema de equações lineares modelado admite uma única solução. 
III. ( ) O sistema possui variáveis livres. 
IV. ( ) O sistema é impossível, porque os postos das matrizes ampliada e dos 
coeficientes são iguais. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
I, II e III. 
II, III e IV. 
Incorreta: 
III e IV. 
I e III. 
I e II. 
Resposta correta 
Comentários 
Justificativa: A afirmativa I está correta, porque se os postos da matriz dos coeficientes 
e da matriz ampliada do sistema são iguais, o sistema tem solução, ou seja, é possível. A 
afirmativa II está correta, porque p(matrizdoscoeficientes)=p(Aumentada)=n. A 
afirmativa III é incorreta, porque como p(A)=p(Au)=n, não há variável livre. A 
afirmativa IV está incorreta, porque o sistema é possível, já que os postos da matriz 
dos coeficientes e da matriz ampliada do sistema são iguais. 
4. Pergunta 4 
0/0 
O determinante de uma matriz, associada aos coeficientes de um sistema de equações 
lineares, traz informações sobre a solução do sistema. Considere que A seja a matriz 
dos coeficientes do sistema de equações lineares S, conforme descrito a seguir: 
 
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre determinantes e 
sistemas lineares, analise as afirmativas a seguir: 
I. O sistema linear S é possível e indeterminado, porque det(A)=0 
.II. O sistema linear S é possível e determinado, porque det(A)≠0. 
 
III. O sistema linear S tem uma única solução. 
IV. O sistema S possui infinitas soluções. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
I, III e IV. 
I e III. 
III e IV. 
Incorreta: 
I e II. 
II e III. 
Resposta correta 
Comentários 
Justificativa: Calculando o det(A), temos: 
 
Como o det(A)≠0 o sistema é possível e determinado. Assim, a afirmativa I está 
incorreta, porque o sistema é determinado, pois o det(A)≠0. 
A afirmativa II está correta, porque o sistema é determinado, já que o cálculo do 
determinante da matriz A mostra que ele é diferente de zero. A afirmativa III está 
correta, pois quando o determinante é diferente de zero, o sistema linear possui uma 
única solução. A afirmativa IV está incorreta, porque no caso de o determinante ser 
igual a zero é que teríamos infinitas soluções, porém nesse sistema a matriz dos 
coeficientes apresenta det(A)≠0, e, portanto, uma única solução. 
5. Pergunta 5 
0/0 
A solução de um sistema de equações lineares consiste em um conjunto de valores que 
satisfazem, simultaneamente, todas as equações do sistema. Se a solução de um 
sistema 
S1 for igual a (x1,y1,z1) a solução de um sistema S2 terá a mesma solução se S1 e S2 forem 
equivalentes. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre sistemas lineares, 
analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas: 
I. A solução de um sistema possível e determinado S1 formado por quatro equações e 
quatro variáveis deve ser uma sequência ordenada (x1,y1,z1,w1). 
Porque: 
II. Quando um sistema deequações lineares tem uma solução única, o determinante da 
matriz que representa os coeficientes do sistema é igual a zero. 
A seguir, assinale a alternativa correta: 
Ocultar opções de resposta 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
Incorreta: 
As asserções I e II são proposições falsas. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
Resposta correta 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta 
da I. 
Comentários 
Justificativa: A proposição I está correta, pois se o sistema é possível e determinado ele 
terá uma solução única que podemos representar pela sequência ordenada, ou n−upla, 
(x1,y1,z1,w1).A proposição II está incorreta, porque, quando um sistema é possível e 
determinado, o determinantes da matriz dos coeficientes deve ser, obrigatoriamente, 
diferente de zero, e não igual a zero, como coloca a proposição. 
6. Pergunta 6 
0/0 
A forma geral do sistema homogêneo é: 
 
 
 
Em que os amn são coeficientes reais e os xnrepresentam as variáveis do sistema de 
equações lineares. Esse tipo de sistema possui a solução trivial. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre discussão de sistemas 
lineares, analise as afirmativas a seguir: 
I. Sistema homogêneo é aquele cujos termos independentes de algumas das equações 
que o compõem são nulos. 
II. Qualquer sistema homogêneo de 𝒏 variáveis é possível e determinado e com solução 
igual a (0, 0, ..., 0). 
III. A sequência ordenada (0, 0, ..., 0) satisfaz a todas as equações de um sistema 
homogêneo, e pode ser chamada de solução nula ou imprópria. 
IV. Quando um sistema homogêneo é possível e indeterminado, ele apresenta outras 
soluções além da trivial. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
II e III. 
II e IV. 
Incorreta: 
I e IV. 
III e IV. 
Resposta correta 
I e II. 
Comentários 
Justificativa: A afirmativa I está incorreta, porque, para que o sistema seja homogêneo, 
todas as equações devem ter como termo independente o zero. A afirmativa II está 
incorreta, porque todo sistema homogêneo é possível, mas nem sempre determinado. 
Ele pode ser indeterminado, ou seja, ter outras soluções além da trivial. A afirmativa III 
está correta, porque a solução trivial (0, 0, ..., 0) é uma solução de qualquer sistema 
homogêneo. Se substituirmos as variáveis das equações por zeros, todas as equações 
serão satisfeitas simultaneamente, e essa solução pode ser chamada de solução nula ou 
imprópria. A afirmativa IV está correta, porque todo sistema homogêneo é possível e, 
sendo indeterminado, significa que não possui somente a solução trivial, mas também 
outras soluções, ou seja, há outras n−uplas (diferentes de (0, 0, 0...0)) que satisfazem as 
equações do sistema homogêneo. 
7. Pergunta 7 
0/0 
Leia o trecho a seguir: 
“Esse procedimento para obter a solução simultânea de um sistema de equações 
lineares é chamado método da eliminação de Gauss-Jordan [...]. O conceito-chave para 
esse método é o uso de operações algébricas elementares para reduzir o sistema de 
equações original à forma apropriada da eliminação gaussiana em que cada variável 
básica foi eliminada de todas, exceto uma equação (a sua própria equação) e tem um 
coeficiente +1 nessa equação.” 
Fonte: HILLIER, F.S; LIEBERMAN, G. J. Introdução a pesquisa operacional. 9 ed. São 
Paulo: McGraw Hill, 2006, p. 113. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre escalonamento, analise 
as afirmativas a seguir: 
I. Os métodos de Gauss e de Gauss-Jordan são iguais. 
II. Pelo Método de Gauss-Jordan se obtém a matriz reduzida equivalente à matriz 
ampliada do sistema linear. 
III. A partir da matriz escalonada obtida com a aplicação da eliminação de Gauss, 
podemos obter a matriz escalonada reduzida. 
IV. Uma matriz está na forma escalonada reduzida quando foi escalonada, e todos os 
elementos líder (pivôs) são iguais a 1 e são os únicos elementos não nulos das suas 
colunas. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
I e IV. 
Incorreta: 
I, II e III. 
I, II e IV. 
II, III e IV. 
Resposta correta 
I e II. 
Comentários 
Justificativa: A afirmativa I está incorreta, porque o método de Gauss não exige que o 
resultado seja uma matriz escalonada reduzida, somente escalonada; já o método de 
Gauss-Jordan leva a uma matriz escalonada reduzida (os pivôs são iguais a 1 e todos os 
outros elementos são iguais a zero). A afirmativa II está correta, porque o Método de 
Gauss-Jordan leva a matriz aumentada do sistema a uma matriz que é equivalente a 
ela, e ainda na forma escada reduzida (se fosse aplicado o Método de Gauss, não 
necessariamente seria uma matriz escalonada reduzida). A afirmativa III está correta, 
porque se tivermos uma matriz na forma escada (obtida pelo Método de Gauss – não 
necessariamente com pivôs iguais a 1 e os outros elementos iguais a zero) e 
continuarmos a operar sobre as linhas da matriz com objetivo de obter todos os pivôs 
iguais a 1 e os outros elementos iguais a zero, chegaremos a uma matriz escalonada 
reduzida. A afirmativa IV está correta, porque a definição de matriz escalonada 
reduzida é a de uma matriz em que todos os elementos os pivôs são iguais a 1 e são os 
únicos elementos não nulos das suas colunas. 
8. Pergunta 8 
0/0 
Os sistemas de equações lineares, quando representados na forma escada, podem ser 
mais facilmente resolvidos. Além disso, nessa forma, fica mais fácil perceber se o 
sistema possui solução, ou não, permitindo a discussão do sistema linear. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre escalonamento de 
Sistemas Lineares, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e 
F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) O sistema linear 
 
está representado na forma escada. 
II. ( ) A matriz ampliada 
 
representa um sistema linear e está escalonada. 
III. ( ) O sistema linear 
 
 está representado na forma escada. 
IV. ( ) A matriz 
 
 está representada na forma escada. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
Incorreta: 
F, F, V, V. 
F, V, F, V. 
a) V, F, F, V. 
Resposta correta 
V, F, V, F. 
V, V, F, F. 
Comentários 
Justificativa: A afirmativa I é verdadeira, porque na primeira equação temos 
coeficientes para as variáveis ; na segunda equação temos coeficientes para as 
variáveis ; e na terceira equação temos coeficientes para a variável ; o que forma uma 
“escada” no sistema. A afirmativa II é falsa, porque a matriz sequer apresenta zeros, 
não poderia estar na forma escada. A afirmativa III é falsa, porque os coeficientes das 
variáveis não estão na forma escada, pois temos nas duas primeiras equações. A 
afirmativa IV é verdadeira, porque abaixo do elemento da matriz há somente zeros, 
abaixo do elemento há somente zero, e a próxima linha (3) é a última linha; formando 
uma escada com elementos da diagonal dessa matriz. 
9. Pergunta 9 
0/0 
Existem alguns tipos de matrizes, que, por suas características, recebem nomes 
especiais como matriz linha (formada por uma única linha), matriz coluna (formada 
por uma única coluna), matriz quadrada, matriz inversa, matriz aumentada, entre 
outras. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre sistemas lineares, 
analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas: 
I. A matriz 
 
não está na forma escada e é uma matriz quadrada de ordem 3. 
Porque: 
II. Matrizes quadradas aumentadas possuem o mesmo número de linhas e colunas. 
A seguir, assinale a alternativa correta: 
Ocultar opções de resposta 
a asserção I é uma proposição falsa, e II é proposição verdadeira. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta 
da I. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
Correta: 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II éuma proposição falsa. 
Resposta correta 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e II é uma justificativa correta da I. 
Comentários 
Justificativa: A proposição I está correta, pois a matriz A possui o mesmo número de 
linhas e colunas, três, ou seja, é uma matriz quadrada de ordem 3; e não está na forma 
escada, pois podemos observar que abaixo o elemento a11=1 há elementos diferentes 
de zero, o que já impede a matriz de ter a forma escada. A proposição II está incorreta, 
pois não existe o conceito de matriz quadrada aumentada. Matriz quadrada é toda 
aquela que apresenta o mesmo número de linhas e colunas, e matriz aumentada é 
aquela associada a um sistema linear, justapondo à direita da matriz dos coeficientes 
das equações o vetor que representa os termos independentes das equações. 
10. Pergunta 10 
0/0 
Quando temos um problema real, o qual já identificamos que pode ser representado 
por um sistema de equações lineares, seguimos alguns passos para chegar à solução 
desse problema. Não há uma definição desses passos, que são práticos, mas ocorrem 
em uma certa sequência. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre sistemas de equações 
lineares, ordene os procedimentos a seguir de acordo com a sequência em que 
ocorrem durante a resolução de um sistema linear: 
( ) Aplicação de um método de resolução de sistema linear. 
( ) Representação do sistema linear em forma matricial. 
( ) Representação do problema real em linguagem matemática (sistema linear). 
( ) Obtenção da solução do sistema linear. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
3, 2, 1, 4. 
Resposta correta 
Incorreta: 
1, 2, 4, 3. 
1, 2, 4, 3. 
3, 1, 2, 4. 
2, 3, 1, 4. 
Comentários 
Justificativa: Se já foi identificado que o problema real pode ser representado por um 
sistema linear, para resolver esse sistema temos que, sequencialmente: representar o 
problema real em linguagem matemática (por um sistema de equações lineares) (1), 
em seguida, representamos esse sistema por meio de matriz (2), aplicamos um método 
de resolução (3), e, finalmente, obtemos a solução do sistema linear (4). 
 
1. Pergunta 1 
0/0 
Existem alguns tipos de matrizes, que, por suas características, recebem nomes 
especiais como matriz linha (formada por uma única linha), matriz coluna (formada 
por uma única coluna), matriz quadrada, matriz inversa, matriz aumentada, entre 
outras. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre sistemas lineares, 
analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas: 
I. A matriz 
 
não está na forma escada e é uma matriz quadrada de ordem 3. 
Porque: 
II. Matrizes quadradas aumentadas possuem o mesmo número de linhas e colunas. 
A seguir, assinale a alternativa correta: 
Ocultar opções de resposta 
As asserções I e II são proposições falsas. 
Incorreta: 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e II é uma justificativa correta da I. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta 
da I. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
Resposta correta 
a asserção I é uma proposição falsa, e II é proposição verdadeira. 
Comentários 
Justificativa: A proposição I está correta, pois a matriz A possui o mesmo número de 
linhas e colunas, três, ou seja, é uma matriz quadrada de ordem 3; e não está na forma 
escada, pois podemos observar que abaixo o elemento a11=1 há elementos diferentes 
de zero, o que já impede a matriz de ter a forma escada. A proposição II está incorreta, 
pois não existe o conceito de matriz quadrada aumentada. Matriz quadrada é toda 
aquela que apresenta o mesmo número de linhas e colunas, e matriz aumentada é 
aquela associada a um sistema linear, justapondo à direita da matriz dos coeficientes 
das equações o vetor que representa os termos independentes das equações. 
2. Pergunta 2 
0/0 
O determinante de uma matriz, associada aos coeficientes de um sistema de equações 
lineares, traz informações sobre a solução do sistema. Considere que A seja a matriz 
dos coeficientes do sistema de equações lineares S, conforme descrito a seguir: 
 
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre determinantes e 
sistemas lineares, analise as afirmativas a seguir: 
I. O sistema linear S é possível e indeterminado, porque det(A)=0 
.II. O sistema linear S é possível e determinado, porque det(A)≠0. 
 
III. O sistema linear S tem uma única solução. 
IV. O sistema S possui infinitas soluções. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
I e III. 
I, III e IV. 
II e III. 
Resposta correta 
Incorreta: 
I e II. 
III e IV. 
Comentários 
Justificativa: Calculando o det(A), temos: 
 
Como o det(A)≠0 o sistema é possível e determinado. Assim, a afirmativa I está 
incorreta, porque o sistema é determinado, pois o det(A)≠0. 
A afirmativa II está correta, porque o sistema é determinado, já que o cálculo do 
determinante da matriz A mostra que ele é diferente de zero. A afirmativa III está 
correta, pois quando o determinante é diferente de zero, o sistema linear possui uma 
única solução. A afirmativa IV está incorreta, porque no caso de o determinante ser 
igual a zero é que teríamos infinitas soluções, porém nesse sistema a matriz dos 
coeficientes apresenta det(A)≠0, e, portanto, uma única solução. 
3. Pergunta 3 
0/0 
Leia o trecho a seguir: 
“Esse procedimento para obter a solução simultânea de um sistema de equações 
lineares é chamado método da eliminação de Gauss-Jordan ou, simplesmente, 
eliminação gaussiana.6 O conceito-chave para esse método é o uso de operações 
algébricas elementares para reduzir o sistema de equações original à forma 
apropriada da eliminação gaussiana em que cada variável básica foi eliminada de 
todas, exceto uma equação (a sua própria equação) e tem um coeficiente +1 nessa 
equação.” 
Fonte: HILLIER, F. S; LIEBERMAN, G. J. Introdução a pesquisa operacional. 9 ed. São 
Paulo: McGraw Hill, 2013, p.113. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre escalonamento, analise 
as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) Em uma matriz retangular, na sua forma escalonada por linhas, todas as linhas 
não-nulas estão acima de qualquer linha composta só de zeros. 
II. ( ) Uma matriz escalonada por linhas apresenta o primeiro elemento não nulo (pivô) 
de cada linha em uma coluna à direita do pivô da linha acima. 
III. ( ) Todos os elementos de uma coluna abaixo de um pivô são zero em uma matriz 
retangular escalonada por linhas. 
IV. A matriz 
 
é uma matriz na forma escada. 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
V, F, V, F. 
V, V, F, F. 
F, F, F, V. 
Correta: 
V, V, V, F. 
Resposta correta 
F, V, V, F. 
Comentários 
Justificativa: A afirmativa I é verdadeira, porque, se a linha de uma matriz escalonada 
for toda de zeros, ela tem que estar abaixo das linhas que possuem elementos 
diferentes de zero, caso contrário, não teremos a forma escada. A afirmativa II é 
verdadeira, pois, para que se obtenha a forma escada, os degraus são os pivôs 
(primeiros elementos não nulos de cada linha) que devem estar de uma coluna mais à 
esquerda, na primeira linha, para colunas mais à direita a cada linha. A afirmativa III é 
verdadeira, pois, se algum elemento abaixo de um pivô (na mesma coluna) não for 
igual a zero, a matriz não estará na forma escada. A afirmativa IV é falsa, porque o 
elemento que está na segunda coluna da última linha quebra a forma escada, pois 
todos os elementos de uma coluna abaixo de um pivô, que seria o a12=1 devem ser 
iguais a zero. 
4. Pergunta 4 
0/0 
Leia o trecho a seguir: 
“Esse procedimento para obter a solução simultânea de um sistema de equações 
lineares é chamado método da eliminação de Gauss-Jordan [...]. O conceito-chave para 
esse método é o uso de operações algébricaselementares para reduzir o sistema de 
equações original à forma apropriada da eliminação gaussiana em que cada variável 
básica foi eliminada de todas, exceto uma equação (a sua própria equação) e tem um 
coeficiente +1 nessa equação.” 
Fonte: HILLIER, F.S; LIEBERMAN, G. J. Introdução a pesquisa operacional. 9 ed. São 
Paulo: McGraw Hill, 2006, p. 113. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre escalonamento, analise 
as afirmativas a seguir: 
I. Os métodos de Gauss e de Gauss-Jordan são iguais. 
II. Pelo Método de Gauss-Jordan se obtém a matriz reduzida equivalente à matriz 
ampliada do sistema linear. 
III. A partir da matriz escalonada obtida com a aplicação da eliminação de Gauss, 
podemos obter a matriz escalonada reduzida. 
IV. Uma matriz está na forma escalonada reduzida quando foi escalonada, e todos os 
elementos líder (pivôs) são iguais a 1 e são os únicos elementos não nulos das suas 
colunas. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
II, III e IV. 
Resposta correta 
Incorreta: 
I e IV. 
I, II e III. 
I e II. 
I, II e IV. 
Comentários 
Justificativa: A afirmativa I está incorreta, porque o método de Gauss não exige que o 
resultado seja uma matriz escalonada reduzida, somente escalonada; já o método de 
Gauss-Jordan leva a uma matriz escalonada reduzida (os pivôs são iguais a 1 e todos os 
outros elementos são iguais a zero). A afirmativa II está correta, porque o Método de 
Gauss-Jordan leva a matriz aumentada do sistema a uma matriz que é equivalente a 
ela, e ainda na forma escada reduzida (se fosse aplicado o Método de Gauss, não 
necessariamente seria uma matriz escalonada reduzida). A afirmativa III está correta, 
porque se tivermos uma matriz na forma escada (obtida pelo Método de Gauss – não 
necessariamente com pivôs iguais a 1 e os outros elementos iguais a zero) e 
continuarmos a operar sobre as linhas da matriz com objetivo de obter todos os pivôs 
iguais a 1 e os outros elementos iguais a zero, chegaremos a uma matriz escalonada 
reduzida. A afirmativa IV está correta, porque a definição de matriz escalonada 
reduzida é a de uma matriz em que todos os elementos os pivôs são iguais a 1 e são os 
únicos elementos não nulos das suas colunas. 
5. Pergunta 5 
0/0 
A forma geral do sistema homogêneo é: 
 
 
 
Em que os amn são coeficientes reais e os xnrepresentam as variáveis do sistema de 
equações lineares. Esse tipo de sistema possui a solução trivial. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre discussão de sistemas 
lineares, analise as afirmativas a seguir: 
I. Sistema homogêneo é aquele cujos termos independentes de algumas das equações 
que o compõem são nulos. 
II. Qualquer sistema homogêneo de 𝒏 variáveis é possível e determinado e com solução 
igual a (0, 0, ..., 0). 
III. A sequência ordenada (0, 0, ..., 0) satisfaz a todas as equações de um sistema 
homogêneo, e pode ser chamada de solução nula ou imprópria. 
IV. Quando um sistema homogêneo é possível e indeterminado, ele apresenta outras 
soluções além da trivial. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
II e IV. 
I e IV. 
I e II. 
Correta: 
III e IV. 
Resposta correta 
II e III. 
Comentários 
Justificativa: A afirmativa I está incorreta, porque, para que o sistema seja homogêneo, 
todas as equações devem ter como termo independente o zero. A afirmativa II está 
incorreta, porque todo sistema homogêneo é possível, mas nem sempre determinado. 
Ele pode ser indeterminado, ou seja, ter outras soluções além da trivial. A afirmativa III 
está correta, porque a solução trivial (0, 0, ..., 0) é uma solução de qualquer sistema 
homogêneo. Se substituirmos as variáveis das equações por zeros, todas as equações 
serão satisfeitas simultaneamente, e essa solução pode ser chamada de solução nula ou 
imprópria. A afirmativa IV está correta, porque todo sistema homogêneo é possível e, 
sendo indeterminado, significa que não possui somente a solução trivial, mas também 
outras soluções, ou seja, há outras n−uplas (diferentes de (0, 0, 0...0)) que satisfazem as 
equações do sistema homogêneo. 
6. Pergunta 6 
0/0 
A solução de um sistema de equações lineares consiste em um conjunto de valores que 
satisfazem, simultaneamente, todas as equações do sistema. Se a solução de um 
sistema 
S1 for igual a (x1,y1,z1) a solução de um sistema S2 terá a mesma solução se S1 e S2 forem 
equivalentes. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre sistemas lineares, 
analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas: 
I. A solução de um sistema possível e determinado S1 formado por quatro equações e 
quatro variáveis deve ser uma sequência ordenada (x1,y1,z1,w1). 
Porque: 
II. Quando um sistema de equações lineares tem uma solução única, o determinante da 
matriz que representa os coeficientes do sistema é igual a zero. 
A seguir, assinale a alternativa correta: 
Ocultar opções de resposta 
As asserções I e II são proposições falsas. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
Resposta correta 
Incorreta: 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta 
da I. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
Comentários 
Justificativa: A proposição I está correta, pois se o sistema é possível e determinado ele 
terá uma solução única que podemos representar pela sequência ordenada, ou n−upla, 
(x1,y1,z1,w1).A proposição II está incorreta, porque, quando um sistema é possível e 
determinado, o determinantes da matriz dos coeficientes deve ser, obrigatoriamente, 
diferente de zero, e não igual a zero, como coloca a proposição. 
7. Pergunta 7 
0/0 
Os sistemas de equações lineares, quando representados na forma escada, podem ser 
mais facilmente resolvidos. Além disso, nessa forma, fica mais fácil perceber se o 
sistema possui solução, ou não, permitindo a discussão do sistema linear. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre escalonamento de 
Sistemas Lineares, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e 
F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) O sistema linear 
 
está representado na forma escada. 
II. ( ) A matriz ampliada 
 
representa um sistema linear e está escalonada. 
III. ( ) O sistema linear 
 
 está representado na forma escada. 
IV. ( ) A matriz 
 
 está representada na forma escada. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
a) V, F, F, V. 
Resposta correta 
Incorreta: 
V, V, F, F. 
F, V, F, V. 
F, F, V, V. 
V, F, V, F. 
Comentários 
Justificativa: A afirmativa I é verdadeira, porque na primeira equação temos 
coeficientes para as variáveis ; na segunda equação temos coeficientes para as 
variáveis ; e na terceira equação temos coeficientes para a variável ; o que forma uma 
“escada” no sistema. A afirmativa II é falsa, porque a matriz sequer apresenta zeros, 
não poderia estar na forma escada. A afirmativa III é falsa, porque os coeficientes das 
variáveis não estão na forma escada, pois temos nas duas primeiras equações. A 
afirmativa IV é verdadeira, porque abaixo do elemento da matriz há somente zeros, 
abaixo do elemento há somente zero, e a próxima linha (3) é a última linha; formando 
uma escada com elementos da diagonal dessa matriz. 
8. Pergunta 8 
0/0 
Equações polinomiais podem apresentar diferentes graus. Se o maior expoente das 
variáveis for igual a dois, teremos uma equação de grau dois, ou do segundo grau, ou 
seja, o grau da equação é definido pelo maior dos expoentes das variáveis da equação. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre equações, analise as 
asserções a seguir e a relação proposta entre elas: 
I. Uma equação linear pode ter a forma da equação 
x1−x2−x3=20 
. 
Porque: 
II. Uma equação do primeiro grau não pode ter expoente de variável maior doque 1, e 
assim a equação x1x2+x3=2 também é uma equação linear. 
A seguir, assinale a alternativa correta: 
. 
Ocultar opções de resposta 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
Correta: 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
Resposta correta 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta 
da I. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
Comentários 
Justificativa: A proposição I está correta, porque os expoentes das duas variáveis são 
iguais a 1 e, portanto, são lineares. A proposição II está incorreta, porque equações 
lineares não podem ter variáveis mistas como x1x2 
9. Pergunta 9 
0/0 
A modelagem matemática de problemas faz parte da vida de inúmeros profissionais. 
Um analista financeiro, ao modelar um problema, deparou-se com um sistema de 
equações lineares com mequações e n incógnitas, e ele chamou a matriz dos 
coeficientes de M. Ao analisar o sistema, o analista verificou que o posto da matriz 
ampliada do sistema p(Au) era igual ao posto da matriz dos coeficientes p(M) e que os 
dois possuem valor equivalente ao número de incógnitas do sistema. Considere que o 
modelo construído pelo analista esteja correto. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre escalonamento de 
sistemas lineares e posto de matrizes, analise as afirmativas a seguir e assinale V para 
a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) O sistema é possível. 
II. ( ) O sistema de equações lineares modelado admite uma única solução. 
III. ( ) O sistema possui variáveis livres. 
IV. ( ) O sistema é impossível, porque os postos das matrizes ampliada e dos 
coeficientes são iguais. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
I e III. 
Incorreta: 
III e IV. 
I, II e III. 
I e II. 
Resposta correta 
II, III e IV. 
Comentários 
Justificativa: A afirmativa I está correta, porque se os postos da matriz dos coeficientes 
e da matriz ampliada do sistema são iguais, o sistema tem solução, ou seja, é possível. A 
afirmativa II está correta, porque p(matrizdoscoeficientes)=p(Aumentada)=n. A 
afirmativa III é incorreta, porque como p(A)=p(Au)=n, não há variável livre. A 
afirmativa IV está incorreta, porque o sistema é possível, já que os postos da matriz 
dos coeficientes e da matriz ampliada do sistema são iguais. 
10. Pergunta 10 
0/0 
Quando temos um problema real, o qual já identificamos que pode ser representado 
por um sistema de equações lineares, seguimos alguns passos para chegar à solução 
desse problema. Não há uma definição desses passos, que são práticos, mas ocorrem 
em uma certa sequência. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre sistemas de equações 
lineares, ordene os procedimentos a seguir de acordo com a sequência em que 
ocorrem durante a resolução de um sistema linear: 
( ) Aplicação de um método de resolução de sistema linear. 
( ) Representação do sistema linear em forma matricial. 
( ) Representação do problema real em linguagem matemática (sistema linear). 
( ) Obtenção da solução do sistema linear. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
2, 3, 1, 4. 
1, 2, 4, 3. 
Incorreta: 
1, 2, 4, 3. 
3, 2, 1, 4. 
Resposta correta 
3, 1, 2, 4. 
Comentários 
Justificativa: Se já foi identificado que o problema real pode ser representado por um 
sistema linear, para resolver esse sistema temos que, sequencialmente: representar o 
problema real em linguagem matemática (por um sistema de equações lineares) (1), 
em seguida, representamos esse sistema por meio de matriz (2), aplicamos um método 
de resolução (3), e, finalmente, obtemos a solução do sistema linear (4). 
 
1. Pergunta 1 
0/0 
Equações polinomiais podem apresentar diferentes graus. Se o maior expoente das 
variáveis for igual a dois, teremos uma equação de grau dois, ou do segundo grau, ou 
seja, o grau da equação é definido pelo maior dos expoentes das variáveis da equação. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre equações, analise as 
asserções a seguir e a relação proposta entre elas: 
I. Uma equação linear pode ter a forma da equação 
x1−x2−x3=20 
. 
Porque: 
II. Uma equação do primeiro grau não pode ter expoente de variável maior do que 1, e 
assim a equação x1x2+x3=2 também é uma equação linear. 
A seguir, assinale a alternativa correta: 
. 
Ocultar opções de resposta 
As asserções I e II são proposições falsas. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta 
da I. 
Incorreta: 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
Resposta correta 
Comentários 
Justificativa: A proposição I está correta, porque os expoentes das duas variáveis são 
iguais a 1 e, portanto, são lineares. A proposição II está incorreta, porque equações 
lineares não podem ter variáveis mistas como x1x2 
2. Pergunta 2 
0/0 
Quando temos um problema real, o qual já identificamos que pode ser representado 
por um sistema de equações lineares, seguimos alguns passos para chegar à solução 
desse problema. Não há uma definição desses passos, que são práticos, mas ocorrem 
em uma certa sequência. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre sistemas de equações 
lineares, ordene os procedimentos a seguir de acordo com a sequência em que 
ocorrem durante a resolução de um sistema linear: 
( ) Aplicação de um método de resolução de sistema linear. 
( ) Representação do sistema linear em forma matricial. 
( ) Representação do problema real em linguagem matemática (sistema linear). 
( ) Obtenção da solução do sistema linear. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
3, 1, 2, 4. 
1, 2, 4, 3. 
3, 2, 1, 4. 
Resposta correta 
1, 2, 4, 3. 
Incorreta: 
2, 3, 1, 4. 
Comentários 
Justificativa: Se já foi identificado que o problema real pode ser representado por um 
sistema linear, para resolver esse sistema temos que, sequencialmente: representar o 
problema real em linguagem matemática (por um sistema de equações lineares) (1), 
em seguida, representamos esse sistema por meio de matriz (2), aplicamos um método 
de resolução (3), e, finalmente, obtemos a solução do sistema linear (4). 
3. Pergunta 3 
0/0 
Leia o trecho a seguir: 
“Esse procedimento para obter a solução simultânea de um sistema de equações 
lineares é chamado método da eliminação de Gauss-Jordan ou, simplesmente, 
eliminação gaussiana.6 O conceito-chave para esse método é o uso de operações 
algébricas elementares para reduzir o sistema de equações original à forma 
apropriada da eliminação gaussiana em que cada variável básica foi eliminada de 
todas, exceto uma equação (a sua própria equação) e tem um coeficiente +1 nessa 
equação.” 
Fonte: HILLIER, F. S; LIEBERMAN, G. J. Introdução a pesquisa operacional. 9 ed. São 
Paulo: McGraw Hill, 2013, p.113. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre escalonamento, analise 
as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) Em uma matriz retangular, na sua forma escalonada por linhas, todas as linhas 
não-nulas estão acima de qualquer linha composta só de zeros. 
II. ( ) Uma matriz escalonada por linhas apresenta o primeiro elemento não nulo (pivô) 
de cada linha em uma coluna à direita do pivô da linha acima. 
III. ( ) Todos os elementos de uma coluna abaixo de um pivô são zero em uma matriz 
retangular escalonada por linhas. 
IV. A matriz 
 
é uma matriz na forma escada. 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
Incorreta:F, V, V, F. 
F, F, F, V. 
V, V, V, F. 
Resposta correta 
V, F, V, F. 
V, V, F, F. 
Comentários 
Justificativa: A afirmativa I é verdadeira, porque, se a linha de uma matriz escalonada 
for toda de zeros, ela tem que estar abaixo das linhas que possuem elementos 
diferentes de zero, caso contrário, não teremos a forma escada. A afirmativa II é 
verdadeira, pois, para que se obtenha a forma escada, os degraus são os pivôs 
(primeiros elementos não nulos de cada linha) que devem estar de uma coluna mais à 
esquerda, na primeira linha, para colunas mais à direita a cada linha. A afirmativa III é 
verdadeira, pois, se algum elemento abaixo de um pivô (na mesma coluna) não for 
igual a zero, a matriz não estará na forma escada. A afirmativa IV é falsa, porque o 
elemento que está na segunda coluna da última linha quebra a forma escada, pois 
todos os elementos de uma coluna abaixo de um pivô, que seria o a12=1 devem ser 
iguais a zero. 
4. Pergunta 4 
0/0 
A solução de um sistema de equações lineares consiste em um conjunto de valores que 
satisfazem, simultaneamente, todas as equações do sistema. Se a solução de um 
sistema 
S1 for igual a (x1,y1,z1) a solução de um sistema S2 terá a mesma solução se S1 e S2 forem 
equivalentes. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre sistemas lineares, 
analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas: 
I. A solução de um sistema possível e determinado S1 formado por quatro equações e 
quatro variáveis deve ser uma sequência ordenada (x1,y1,z1,w1). 
Porque: 
II. Quando um sistema de equações lineares tem uma solução única, o determinante da 
matriz que representa os coeficientes do sistema é igual a zero. 
A seguir, assinale a alternativa correta: 
Ocultar opções de resposta 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
Resposta correta 
Incorreta: 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta 
da I. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
Comentários 
Justificativa: A proposição I está correta, pois se o sistema é possível e determinado ele 
terá uma solução única que podemos representar pela sequência ordenada, ou n−upla, 
(x1,y1,z1,w1).A proposição II está incorreta, porque, quando um sistema é possível e 
determinado, o determinantes da matriz dos coeficientes deve ser, obrigatoriamente, 
diferente de zero, e não igual a zero, como coloca a proposição. 
5. Pergunta 5 
0/0 
A forma geral do sistema homogêneo é: 
 
 
 
Em que os amn são coeficientes reais e os xnrepresentam as variáveis do sistema de 
equações lineares. Esse tipo de sistema possui a solução trivial. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre discussão de sistemas 
lineares, analise as afirmativas a seguir: 
I. Sistema homogêneo é aquele cujos termos independentes de algumas das equações 
que o compõem são nulos. 
II. Qualquer sistema homogêneo de 𝒏 variáveis é possível e determinado e com solução 
igual a (0, 0, ..., 0). 
III. A sequência ordenada (0, 0, ..., 0) satisfaz a todas as equações de um sistema 
homogêneo, e pode ser chamada de solução nula ou imprópria. 
IV. Quando um sistema homogêneo é possível e indeterminado, ele apresenta outras 
soluções além da trivial. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
III e IV. 
Resposta correta 
II e IV. 
Incorreta: 
II e III. 
I e IV. 
I e II. 
Comentários 
Justificativa: A afirmativa I está incorreta, porque, para que o sistema seja homogêneo, 
todas as equações devem ter como termo independente o zero. A afirmativa II está 
incorreta, porque todo sistema homogêneo é possível, mas nem sempre determinado. 
Ele pode ser indeterminado, ou seja, ter outras soluções além da trivial. A afirmativa III 
está correta, porque a solução trivial (0, 0, ..., 0) é uma solução de qualquer sistema 
homogêneo. Se substituirmos as variáveis das equações por zeros, todas as equações 
serão satisfeitas simultaneamente, e essa solução pode ser chamada de solução nula ou 
imprópria. A afirmativa IV está correta, porque todo sistema homogêneo é possível e, 
sendo indeterminado, significa que não possui somente a solução trivial, mas também 
outras soluções, ou seja, há outras n−uplas (diferentes de (0, 0, 0...0)) que satisfazem as 
equações do sistema homogêneo. 
6. Pergunta 6 
0/0 
A discussão de sistemas lineares permite que se identifique quantas soluções um 
sistema de equações lineares possui, mesmo antes de resolver o sistema, a partir de 
informações sobre o determinante da matriz dos coeficientes do sistema. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre os discussão de 
sistemas lineares, analise as afirmativas a seguir: 
I. Se o determinante da matriz dos coeficientes de um sistema linear for igual a zero, o 
sistema possui uma única solução. 
II. Se o determinante da matriz que representa os coeficientes de um sistema linear for 
diferente de zero, esse sistema pode ter uma única solução. 
III. Quando o determinante da matriz que representa os coeficientes de um sistema 
linear for igual a zero, esse sistema não tem solução. 
IV. Se um sistema linear possui infinitas soluções, podemos afirmar que o 
determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
I e III. 
II, III e IV. 
Resposta correta 
Incorreta: 
I e II. 
I, III e IV. 
III e IV. 
Comentários 
Justificativa: A proposição I está incorreta, porque, quando o determinante da matriz 
dos coeficientes de um sistema linear é igual a zero, o sistema não tem solução. A 
proposição II está correta, pois, quando o determinante da matriz dos coeficientes de 
um sistema linear é diferente de zero ele pode ter uma única solução, ou infinitas 
soluções. A proposição III está correta, pois quando o determinante da matriz dos 
coeficientes de um sistema linear é igual de zero ele não tem solução. A proposição IV 
está correta, porque, se um sistema linear possui infinitas soluções, ou uma única 
solução, o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero. 
7. Pergunta 7 
0/0 
Os sistemas de equações lineares, quando representados na forma escada, podem ser 
mais facilmente resolvidos. Além disso, nessa forma, fica mais fácil perceber se o 
sistema possui solução, ou não, permitindo a discussão do sistema linear. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre escalonamento de 
Sistemas Lineares, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e 
F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) O sistema linear 
 
está representado na forma escada. 
II. ( ) A matriz ampliada 
 
representa um sistema linear e está escalonada. 
III. ( ) O sistema linear 
 
 está representado na forma escada. 
IV. ( ) A matriz 
 
 está representada na forma escada. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
V, V, F, F. 
F, V, F, V. 
a) V, F, F, V. 
Resposta correta 
Incorreta: 
F, F, V, V. 
V, F, V, F. 
Comentários 
Justificativa: A afirmativa I é verdadeira, porque na primeira equação temos 
coeficientes para as variáveis ; na segunda equação temos coeficientes para as 
variáveis ; e na terceira equação temos coeficientes para a variável ; o que forma uma 
“escada” no sistema. A afirmativa II é falsa, porque a matriz sequer apresenta zeros, 
não poderia estar na forma escada. A afirmativa III é falsa, porque os coeficientes das 
variáveis não estão na forma escada, pois temos nas duas primeiras equações. A 
afirmativa IV é verdadeira, porque abaixo do elemento da matriz há somente zeros, 
abaixo do elemento há somente zero, e a próxima linha (3) é a última linha; formando 
uma escada com elementos da diagonal dessa matriz. 
8. Pergunta 8 
0/0 
O determinante de uma matriz, associada aos coeficientesde um sistema de equações 
lineares, traz informações sobre a solução do sistema. Considere que A seja a matriz 
dos coeficientes do sistema de equações lineares S, conforme descrito a seguir: 
 
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre determinantes e 
sistemas lineares, analise as afirmativas a seguir: 
I. O sistema linear S é possível e indeterminado, porque det(A)=0 
.II. O sistema linear S é possível e determinado, porque det(A)≠0. 
 
III. O sistema linear S tem uma única solução. 
IV. O sistema S possui infinitas soluções. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
II e III. 
Resposta correta 
I, III e IV. 
Incorreta: 
I e III. 
III e IV. 
I e II. 
Comentários 
Justificativa: Calculando o det(A), temos: 
 
Como o det(A)≠0 o sistema é possível e determinado. Assim, a afirmativa I está 
incorreta, porque o sistema é determinado, pois o det(A)≠0. 
A afirmativa II está correta, porque o sistema é determinado, já que o cálculo do 
determinante da matriz A mostra que ele é diferente de zero. A afirmativa III está 
correta, pois quando o determinante é diferente de zero, o sistema linear possui uma 
única solução. A afirmativa IV está incorreta, porque no caso de o determinante ser 
igual a zero é que teríamos infinitas soluções, porém nesse sistema a matriz dos 
coeficientes apresenta det(A)≠0, e, portanto, uma única solução. 
9. Pergunta 9 
0/0 
Para entender o que são sistemas de equações lineares equivalentes, antes precisamos 
conhecer o que são matrizes equivalentes e aplicar esse conceito à matriz aumentada 
que podemos associar a cada sistema de equações lineares. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre sistemas lineares, 
analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas: 
I. Quando temos um sistema linear, podemos associar a ele uma matriz aumentada, e 
por meio de operações elementares sobre suas linhas pode-se obter uma matriz na 
forma escada, que resolve o sistema. 
Porque: 
II. Dois sistemas de equações lineares são equivalentes, quando as suas matrizes 
aumentadas Au=[A⋮B]e Ãu=[Ã⋮B˜] são equivalentes. 
A seguir, assinale a alternativa correta: 
Ocultar opções de resposta 
Incorreta: 
a asserção I é uma proposição falsa, e II é proposição verdadeira. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e II é uma justificativa correta da I. 
Resposta correta 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta 
da I. 
Comentários 
Justificativa: A proposição I está correta, porque, ao aplicarmos operações elementares 
sobre as linhas de uma matriz aumentada que representa um sistema linear, obtemos 
uma matriz equivalente a ela (Método de Gauss), e essa matriz, por estar na forma 
escalonada, retorna uma solução para o sistema. A proposição II está correta e justifica 
a primeira, pois o fato de matrizes equivalentes representarem sistemas equivalentes 
permite que a matriz na forma escada – equivalente a matriz aumentada do sistema 
original – entregue a mesma solução para o sistema (pois são equivalentes os sistemas 
associados a essas duas matrizes). 
10. Pergunta 10 
0/0 
Existem alguns tipos de matrizes, que, por suas características, recebem nomes 
especiais como matriz linha (formada por uma única linha), matriz coluna (formada 
por uma única coluna), matriz quadrada, matriz inversa, matriz aumentada, entre 
outras. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre sistemas lineares, 
analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas: 
I. A matriz 
 
não está na forma escada e é uma matriz quadrada de ordem 3. 
Porque: 
II. Matrizes quadradas aumentadas possuem o mesmo número de linhas e colunas. 
A seguir, assinale a alternativa correta: 
Ocultar opções de resposta 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta 
da I. 
Incorreta: 
As asserções I e II são proposições falsas. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e II é uma justificativa correta da I. 
a asserção I é uma proposição falsa, e II é proposição verdadeira. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
Resposta correta 
Comentários 
Justificativa: A proposição I está correta, pois a matriz A possui o mesmo número de 
linhas e colunas, três, ou seja, é uma matriz quadrada de ordem 3; e não está na forma 
escada, pois podemos observar que abaixo o elemento a11=1 há elementos diferentes 
de zero, o que já impede a matriz de ter a forma escada. A proposição II está incorreta, 
pois não existe o conceito de matriz quadrada aumentada. Matriz quadrada é toda 
aquela que apresenta o mesmo número de linhas e colunas, e matriz aumentada é 
aquela associada a um sistema linear, justapondo à direita da matriz dos coeficientes 
das equações o vetor que representa os termos independentes das equações.