99_126matematica

Prévia do material em texto

99
Matemática
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
A
Submúltiplos
Decímetro quadrado — 1 dm2 = 10–2 m2
Centímetro quadrado — 1 cm2 = 10–4 m2
Milímetro quadrado — 1 mm 2 = 10–6 m2
Área do círculo
Ac = π . r2, onde r é o raio e π é um número irracional que vale
aproximadamente
3,14159...
Lembremos, ainda, que o comprimento da circunferência é
dado pela fórmula:
Adição e subtração de arcos trigonométricos
Sendo os arcos a e b de uma circuferência, temos:
• sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
• sen (a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a
• cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b
• cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b
Sendo os arcos a, b e a + b ≠ π + R π; R e Z, temos:
2
• tg (a + b) = (tg a + tg b) • tg ( a – b) = (tg a – tg b)
1 – tg a . tg b 1 + tg a . tg b
Aplicação à taxa variável
Quando um capital tiver aumentos sucessivos com taxas não-
constantes, o montante é dado pelo produto deste capital pelos
fatores de aumento. Esse valor é obtido a partir da expressão:
M = C (1 + i1) . (1 + i2) . ... . (1 + in)
Exemplo: Um capital de R$ 5.000,00 foi aplicado às seguintes
taxas de juros compostos: 8% no primeiro mês, 10% no segundo
e 15% no terceiro. Determinar o montante após esses três meses.
M = 5.000 . 1,08 . 1,10 . 1,15 ⇒ M = R$ 6.831,00
Arco metade
Sendo a um arco trigonométrico, temos que:
• cos a = ± (1 + cos a)
• sen a = ± (1 – cos a)
• tg a = ± (1– cos a)
Arcos múltiplos
Sendo a um arco trigonométrico, temos que:
• sen 2a = 2 . sen a . cos a
• cos 2 a = cos2a - sen2a = 2 . cos2 a – 1 = 1 – 2 . sen2a
• tg 2a = 2 . tg a
1 – tg2 a
• sen 3 a = 3 sen a – 4 sen2a = sen a (4 cos2 a – 1)
• cos 3 a = 4 cos3a – 3 cos a = cos a (1 – 4 sen2a)
• tg 3a = (3 tg a – tg2 a)/(1 – 3 tg2 a)
• sen ma = sen a cos (m – 1) a + sen (n – 1) a cos a
• cos ma = cos a cos (m – 1) a – sen a sen (m – 1) a
• tg ma = (tg a + tg (m – 1)a)/(1 – tg a tg (m – 1) a)
Área
Medir uma superfície é compará-la com a medida de outra
superfície considerada como um padrão. A medida de uma
superfície é denominada área. A unidade legal de área é o metro
quadrado (m2), que corresponde à área de um quadrado com
um metro de lado.
Múltiplos
Quilômetro quadrado — km2 = 106 m2
Hectômetro quadrado — hm2 = 104 m2
Decâmetro quadrado — dam2 = 102 m2
Metro quadrado — m2
Área da coroa circular
A área da coroa circular é igual a diferença entre as áreas dos
círculos maior e menor. Assim:
Acc = π . R2 – π . r2 = π . (R2 – r2), onde R é o raio da
circunferência maior e r é o raio da circunferência menor.
Área do hexágono inscrito
l = r
h = l 3 , onde l é o lado do
2 hexágono
Área do losango
A =
(área do losango de diagonal menor d e diagonal maior D)
C = 2 . π . r r
o
R
r
o
Î
E
F
D
C
BA
l
h
r
O
l
d . D
2
A = 3 l2 3
2
(área de 6 triângulos
eqüiláteros)
Î
Î
Î
Î
(1 + cos a)
2 2
2 2
2
100
Suplemento de Pesquisa e Informação
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Área do paralelogramo Área do setor circular
Asetor =
A = b . h
(área do paralelogramo de base b e altura h)
Área do polígono regular
A área do polígono regular é dada pela soma das áreas dos
triângulos:
Ap = A1 + A2 + A3 + ... + A n
Mas: A1 = A2 = ... An =
sendo que n é o número de lados (igual ao número
de triângulos no polígono); p é o perímetro; Ap é a
área do polígono regular; l é a medida do lado e a é a
medida do apótema.
Então: Ap = n . A n
Ap = n . , mas n . l = p. Logo Ap =
Área do quadrado
A = l . l = l2
(área do quadrado de lado)
Área do quadrado inscrito
l = r 2
a = r 2 , onde l é o lado do
2 quadrado ABCD
Área do retângulo
A = b . h
(área do retângulo de base b e
altura h)
Área do trapézio
A =
(área do trapézio de base menor b, base maior B e altura h)
Área do triângulo
A =
(área do triângulo de base b e altura h)
Área do triângulo retângulo
 A =
(área do triângulo retângulo, onde
b e c são os catetos do nABC)
Área do triângulo eqüilátero
A altura h do triângulo eqüilátero é h = , e a área,
A = ,
onde l é o lado do triângulo.
A = 2r2
Î
Î
D
C
B
A
r
r r
r
o
a l
l . 3
 4
Î
l . 3
 3
Î
(b + B) . h
2
b . h
2
b . c
2
π . r2 . α
360o
l . a
2
p . a
2
l . a
2
3 2
1
8
76
5 a
4 o
B
A
C
D
E
F
G
H
6
5
4
3
2
o 1
DC
EB
A F
al
a
l
101
Matemática
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Área do triângulo eqüilátero inscrito
l = r 3
a = , onde l é o lado do
triângulo ABC
Área total
É a soma das áreas das faces e das bases de um sólido.
Área total de um prisma
A área total de um prisma é dada pela soma das áreas das figuras
geométricas que o compõem. Uma expressão geral para a área
do prisma é a seguinte:
At = Al + 2 Ab
Onde At é a área total do prisma;
Al é a área lateral do prisma;
Ab é a área da base do prisma.
Área lateral
É a soma das áreas das faces de um sólido.
B
Baricentro
O baricentro (G) de um triângulo é o ponto de intersecção das
medianas do triângulo. Tendo os vértices do triângulo coorde-
nadas A(x1, y1), B(x2, y 2) e C(x3, y3), o baricentro é calcu-
lado da seguinte maneira:
G x1 + x2 + x3 , # y1 + y2 + y3
3 3
Bhaskara
Nasceu em 1114 e morreu em 1185, na Índia. Astrônomo,
dedicou-se ao desenvolvimento da matemática e foi responsável
por vários avanços nas área da aritmética, geometria plana e
combinatória.
Binômio de Newton
Trata-se da expressão geral do desenvolvimento da potência de
um binômio:
(x + a)n = Cn,0 a0 xn + Cn,1 a xn –1 + ... + Cn,n an x0
Exemplo:
(x + 2)2 = C2,0 x2 + C2,1 2 x2 –1 + C2,2 22 x2 –2 =
1x2 + 2 . 2 x + 1 22 = x2 + 4 x + 4
C
Cálculo da geratriz
Toda dízima periódica pode ser representada pela fração
geratriz. Veja a seguir exemplos de como se determinar fração
geratriz de uma dízima:
1) Seja x = 1,333333...
Multiplicando 1,3333... por 10, temos 13,33333333...
Se efetuarmos a subtração
10x – x = 13,3333333... – 1,33333... = 12 = 9x
Logo x = 12/9 ou x = 4/3.
2) Seja x = 0,353535...
Multiplicando 0,353535... por 100 temos 35,353535...
Se efetuarmos a subtração 100x – x = 35,353535... –
0,353535... = 35 = 99x
Logo x = 35/99
Capacidade, medidas de
Para as medidas de capacidade é utilizada a unidade litro, seus
múltiplos e submúltiplos. O litro pode ser considerado como
equivalente a 1dm3 = 1kg.
Múltiplos
Hectolitro – hL = 102 L
Decalitro – daL = 10 L
Litro – L
Submúltiplos:
Decilitro – dL = 10-1 L
Centilitro – cL = 10-2 L
Mililitro – mL = 10-3 L
Classificação de uma progressão aritmética
Uma progressão aritmética pode ser classificada em:
Crescente: caso a razão seja um número positivo. Exemplo:
(2, 4, 6, 8...) seqüência na qual a razão é igual a 2.
Decrescente: caso a razão seja um número negativo. Exemplo:
(9, 6, 3, 0, –3...) seqüência com a razão igual
a –3.
Constante: caso a razão seja igual a zero. Exemplo: (1, 1, 1,
1...) onde a razão é igual a zero.
Classificação de uma progressão geométrica
Uma progressão geométrica pode ser classificada em:
Crescente: caso a razão seja um número positivo. Exemplo:
(2, 4, 8, 16 ...) seqüência na qual a razão é igual a 2.
Decrescente: caso a razão seja um número entre zero e um.
Exemplo: (9, 3, 1, 1/3 ...) seqüência na qual a
razão é igual a 1/3.
Alternante: caso a razão seja um número negativo. Exemplo:
(1, –1, 1, –1 ...) onde a razão é igual a –1.
r
2
Î
A = l 3
4
Îa
l
l
l
A
B C
1 2 1 23 4
A
G
M CB
102
Suplemento de Pesquisa e Informação
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Classificação de trapézios
Ostrapézios podem ser:
• isósceles: os lados não-paralelos são iguais.
• escaleno: os lados não-paralelos são desiguais.
• retângulo: as bases são perpendiculares a um dos lados.
• obliquângulo: as bases não são perpendiculares aos lados.
Classificação de triângulos
Triângulo é o polígono que possui três lados.
O triângulo pode ser:
• eqüilátero: três lados e três ângulos iguais.
• isósceles: dois lados iguais.
• escaleno: três lados desiguais.
• retângulo: um ângulo reto.
• acutângulo: três ângulos agudos.
• obtusângulo: um ângulo obtuso.
Ciclo trigonométrico
O ciclo trigonométrico é uma circunferência orientada de
raio 1. A orientação é positiva no sentido anti-horário e nega-
tiva no sentido horário. O ciclo trigonométrico é dividido em
quadrantes determinados pelos eixos cartesianos.
Área da base:
Ab = π r2
Área lateral:
Al = 2 π r h
Assim a área total fica definida como:
At = Al + 2 Ab
Onde: At é a área total do cilindro;
Al é a área lateral do cilindro;
Ab é a área da base do cilindro.
Ou ainda, At = 2 π r (h + r)
O volume do cilindro é dado pela seguinte expressão:
V = π r2 h
Circunferência
É o conjunto dos pontos do plano equidistantes de um ponto
fixo O, denominado centro da circunferência.
O primeiro quadrante contém a extremidade dos arcos
entre 0 e 90° ou 0 e rad.
O segundo quadrante contém a extremidade dos arcos
entre 90° e 180° ou e π rad.
O terceiro quadrante contém a extremidade dos arcos
entre 180° e 270° ou π e rad.
O quarto quadrante contém a extremidade dos arcos
entre 270° e 360° ou e 2π rad.
Cilindro
Cilindro é o sólido geométrico que tem como bases duas cir-
cunferências. Vejamos a figura a seguir:
Para determinarmos as áreas no cilindro utilizamos as seguin-
tes expressões:
A medida da distância de qualquer ponto da circunferência ao
centro O é sempre a mesma e é chamada de raio.
Coeficiente
Trata-se de um número que multiplica um monômio ou um
termo. O coeficiente de um monômio pode ser definido em
relação a uma, a várias ou a todas as letras.
Coeficiente angular
Chama-se coeficiente angular de uma reta r o ângulo formado
pela reta com o eixo dos x. Se a reta r passa pelos pontos
A (x1, y1) e B (x2,y2), então o coeficiente é dado pela expressão:
m = . y2 – y1
 x2 – x1
Coeficiente linear
Dada a equação da reta sob a forma reduzida y = ax + b, é
chamado coeficiente linear da reta o coeficiente b, que indica o
ponto em que a reta intercepta o eixo dos y.
Complexo aritmético
Denominação genérica para os sistemas de medida não-decimais.
Exemplos:
• medida de tempo: 5 anos, 2 meses e 9 dias.
• medida de ângulo: 59º 26’ 9”.
Comprimento da circunferência
Seja a circunferência de raio r, representada pela figura a
seguir:
d = 2r é chamado diâmetro da circunferência. O comprimento
da circunferência é dado pela expressão:
C = 2 π r
π
2
π
2
3π
2
3π
2
o
r
103
Matemática
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Condição de alinhamento de três pontos
Para verificar se três pontos A(x1,y1), B(x2,y 2) e C(x3, y3)
estão alinhados, conforme ilustra a figura a seguir, basta cal-
cular o determinante:
x1 y1 1
D = x2 y2 1
x3 y 3 1
Se D = 0, temos que os três pon-
tos estarão alinhados.
Cone
Se imaginarmos um triângulo retângulo em movimento circu-
lar em torno de um de seus catetos teremos uma idéia bastante
aproximada de um cone. Entretanto, vejamos a figura a seguir
e seus elementos:
Conjuntos, diferença
A diferença de dois conjuntos A e B é o conjunto dos elementos
que pertencem a A mais que não pertencem a B. Representa-se
por A – B.
Podemos definir algumas relação entre esses elementos:
g2 = h2 + r2
onde g é a geratriz, h é a altura e r é o raio da base.
A expressão que dá a área do cone é a seguinte:
At = Al + Ab
Onde At é a área total do cone;
Al é a área lateral do cone;
Ab é a área da base do cone.
Como Al = πrg e a Ab = πr2, temos:
At = πr (g + r)
E o volume é dado por:
V = 1 π r2 h
3
Conjunto
Conjunto é uma coleção ou classe de objetos bem definidos. Esses
objetos são chamados elementos ou membros do conjunto.
Conjunto, complemento de um
O complemento de um conjunto A é o conjunto de elementos
pertencentes ao universo U que não pertencem a A, isto é, é o
conjunto diferença U – A e é representado por A’.
Representando em um diagrama temos:
U
A’
A
A B
A – B está sombreado
Conjuntos, igualdade
Dois conjuntos A e B são iguais se possuem os mesmos ele-
mentos. A igualdade é representada pela expressão A = B.
Exemplo: Sejam A = {3, 5, 7, 9} e B = {7, 3, 5, 9}, portanto
A = B pois possuem os mesmos elementos.
Conjuntos, notação
Os conjuntos são em geral representados por letras maiúsculas
A, B, C, ... X, Y, Z. Os elementos do conjunto, por letras
minúsculas a, b, c, ... x, y, z. Assim, o conjunto V das vogais
será representado por:
V = {a, e, i, o, u}
Para representar um elemento qualquer de um conjunto, uti-
lizamos a letra minúscula x.
Dessa forma, o conjunto infinito A = {1, 3, 5 ...} terá a seguinte
representação:
A = { x | x é ímpar}
Conjuntos, propriedade da álgebra
1) Leis idempotentes
A ∪ A = A
A ∩ A = A
2) Leis associativas
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
3) Leis comutativas
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
4) Leis distributivas
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Conjunto imagem
Dada uma relação R do conjunto A no conjunto B, chama-se
conjunto imagem ao conjunto dos elementos de B que são
imagem de algum elemento de A. O conjunto imagem é repre-
sentado pela notação I(R).
Conjunto produto
Dados dois conjuntos A e B, cujo produto consiste em todos
os pares ordenados (a, b), onde a e A e b e B.
O produto desses conjunto é representado por A x B.
A x B = {(a, b) | a e A e b e B}.
Exemplo: Seja A = {1, 2, 3} e B = {5,7} então A x B =
{(1, 5); (2, 5); (2, 7); (3, 5); (3, 7)}
y3
y2
y1
Y
0
C
x1 x2 x3 x
B
A
104
Suplemento de Pesquisa e Informação
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Conjunto Universo
Todos os conjuntos são subconjunto de uma conjunto defini-
do. Este conjunto é denominado Universo de estudo ou
conjunto universo, o qual é representado pela letra U.
Conjunto vazio
Também chamado de nulo, é aquele que não contém elementos
e é representado por ∅ ou { }.
Exemplo: O conjunto de habitantes da Terra que tenham mais
de 5 m de altura. Como não há pessoas com essa característica,
este conjunto é vazio.
Conjuntos disjuntos
Se dois conjuntos A e B não possuem elementos comuns, eles
são chamados disjuntos.
Exemplo: A = {1, 3, 5, 7, 9} e B = {2, 4, 6, 8}
A e B são disjuntos pois não possuem elementos em comum.
Conjuntos equivalentes
Dois conjuntos são equivalentes se pudermos estabelecer uma
correspondência biunívoca entre seus elementos.
Exemplo: Se {a, b, c, d, e} = {1, 2, 3, 4, 5},
então a = 1, b = 2, c = 3, d = 4 e e = 5.
Conjuntos finitos e infinitos
Os conjuntos podem ser finitos ou infinitos se tiverem ou não
um número limitado de elementos diferentes.
Contradomínio
Dada uma relação do conjunto A no conjunto B, chama-se
contradomínio o conjunto imagem, nessa caso, B. O
contradomínio é representado por C(R).
Conversão de um complexo aritmético
Para converter um complexo aritmético, multiplicam-se as
unidades superiores pelo número de unidades subseqüente-
mente inferiores, e ao resultado somam-se as unidades
inferiores imediatas que já existem. Realiza-se esse procedi-
mento até que todo o número passe para a mesma unidade.
Exemplo: Converter 3h 40 min e 12 s em segundos
3 . 60 . 60 + 40 . 60 + 12 = 10 800 + 2 400 + 12 = 13 212 s
Assim, 3h 40min 12s equivalem a 13 212 s
Coordenadas
Conjunto de grandezas que determina a posição de um ente
geométrico no plano ou no espaço.
Coordenadas bipolares
Sejam dois pontos P e P’ fixos de um plano,chamado de pólos.
Chamamos raios vetores de um ponto A, pertencente ao mes-
mo plano de P e P’, as distâncias d e d’ de A aos pólos. Este
sistema também é chamado de bivetorial ou bilinear.
Coordenadas cartesianas
Consideremos dois eixos, que se interceptam num ponto cha-
mado origem. As coordenadas de um ponto são determinadas
pela utilização de linhas paralelas a esses eixos. O valor algébri-
co do vetor que une um ponto ao eixo dos y é chamado abscissa
ou coordenada x. O valor algébrico do vetor que une um ponto
ao eixo x é chamado ordenada ou coordenada y.
Coordenadas cartesianas retangulares
Diz-se do sistema de coordenadas cartesianas em que os eixos
x’ 0 x e y’0 y são perpendiculares. Denominam-se, também,
coordenadas cartesianas ortogonais.
Coordenadas do vértice de uma parábola
O vértice da função de 2o grau, f(x) = ax2 + bx + c, cuja repre-
sentação gráfica é uma parábola, é dada por
V = –b; –∆
2a 4a
Coordenadas polares
Seja uma semi-reta Px (denominada eixo polar), tendo por ori-
gem P (pólo). Chamamos coordenadas polares de um ponto A
do plano dessa semi-reta a distância r = PA (coordenada linear
ou raio vetor ou ângulo polar) que o eixo polar forma com PA.
Correspondência biunívoca
Também chamada de correspondência um para um, ocorre
quando se associa cada elemento de um conjunto a um só ele-
mento de um outro conjunto.
Cossecante de um arco
Define-se cossecante como o inverso do seno de um arco.
cossec a = 1 , sendo sen a ≠ 0 e, portanto, a ≠ k π, k ∈ Z.
sen a
Ao arco AB está associado ao ângulo a, e sendo o triângulo
OMB retângulo, podemos determinar o cosseno de:
cos = cateto adjacente/hipotenusa
cos = OM
Cosseno de um arco
Observemos a figura a seguir:
5 6
x
B
AO M
y1
y1 xo
p
A
d
P’
d’
P2
P1
P
)
105
Matemática
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
A
B
Assim, sempre que quisermos saber o cosseno de um arco,
basta projetá-lo no eixo dos x, o eixos dos cossenos.
Como o ciclo trigonométrico tem raio 1, –1 ≤ cos α ≤ 1.
Quanto ao sinal que o cosseno assume, os arcos que têm extre-
midades no primeiro e quarto quadrantes possuem cossenos
positivos, já aqueles com extremidades no segundo e terceiro
quadrantes, possuem cossenos negativos.
Cotangente de um arco
Define-se cotangente como a razão entre o cosseno e o seno de
um arco.
cotg = cos a , sendo sen a ≠ 0, e portanto a ≠ k π, k ∈ Z.
sen a
Cramer, Gabriel
Nasceu em 1704 em Geneva (agora Suíca), e morreu em 1752
em Bagnols-sur-Cèze, na França. Cramer trabalhou em aná-
lise combinatória e determinantes. Cramer tornou-se profes-
sor em Geneva. Suas maiores contribuições estão na resolução
de determinantes e suas aplicações em geometria análitica.
Cubo
O cubo é um caso particular de paralelepípedo retângulo, pois
suas bases e faces laterais são quadrados e dessa maneira suas
dimensões são iguais a = b = c.
Assim, as expressões que fornecem a área e o volume do cubo
ficam reduzidas à:
Área total:
At = 6 a2
Volume:
V = a3
D
Definição de poliedro
Define-se poliedro como o sólido limitado por polígonos
planos que têm, dois a dois, um lado comum.
Desconto comercial
É o desconto sobre o valor nominal do título e é dado por:
D = N . i . n
onde D é o desconto comercial, N é o valor nominal do título,
i é a taxa de desconto e n o número de períodos entre a data da
operação de desconto e a data do vencimento.
Exemplo: Vide Valor atual ou líquido.
Diagrama de Venn-Euler
Para representar graficamente as diversas relações entre os
conjuntos, utilizamos os chamados diagramas de Venn-Euler.
Em geral são representados por uma superfície plana, em par-
ticular por um círculo.
Exemplos:
a) A,B (lê-se: A está contido em B)
B
A
b) A e B conjuntos disjuntos
c) Seja A = {a, b, c, d, e} e B = {d, e, f, g, h}
A ∩ B = {d, e}
A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g, h}
Diferença
É o resultado da operação subtração. Também é denominada
resto ou excesso.
Diferença entre quadrados
A diferença entre os quadrados de dois números inteiros e
consecutivos é igual ao dobro do menor mais uma unidade.
a2 – (a – 1)2 = 2 a + 1
Exemplo: 52 – 42 = 2 . 4 + 1 = 9
A diferença entre os quadrados de dois números é igual
Essa sentença é lida como: a está para b assim como c está para d.
Assim pode-se dizer que os números a, b, c e d formam uma
proporção e os termos da mesma são denominados segundo sua
posição. Veja a seguir:
vértice
aresta
face
c = a
b = a
a= x1 e c = x2
b d
Se x1 = x2, então
a = c
b d
a
c
b
d
e
f
g
h
A B
106
Suplemento de Pesquisa e Informação
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
a : b = c : d ou a/b = c/d
assim, b e c são chamados meios e a e d, extremos.
Daí podemos concluir a propriedade fundamental das
proporções:
Em toda proporção o produto dos extremos é igual ao
produto dos meios e vice-versa.
Distância entre dois pontos de um plano
Dados dois pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) a distância entre eles
é calculada pela seguinte expressão:
d(A,B) = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
Distância entre um ponto e uma reta
(expressão analítica)
É a distância da perpendicular que une o ponto e a reta.
Consideremos uma reta r, cuja equação é a x + by + c = 0 e um
ponto P(x1, y1), fora de r. A expressão da distância d(P, r) do
ponto à reta é dada por:
d(P, r) = | a x1 + b y1 + c|
a2 + b2
Divisor
Denomina-se o número que divide outro, de modo que a dessa
divisão não sobre resto.
Exemplo: 6 divide 24 quatro vezes. Nessa divisão, não há resto.
Divisões diretamente proporcionais
Podemos definir uma divisão proporcional pelo seguinte exemplo:
Consideremos o número 340. Queremos dividi-lo de forma
proporcional aos números 4, 6 e 7.
Chamemos então de x, y e z os números obtidos desta divisão.
Assim teremos, duas sucessões (x, y e z) e (4, 6 e 7).
Então x = y = z.
4 6 7
Como x + y + z = 340 então
x = y = z ⇒ x + y + z = 340 = 20, portanto:
4 6 7 4 + 6 + 7 17 1
20 = x ⇒ x = 80
1 4
Do mesmo modo, y = 120 e z = 140
Divisões inversamente proporcionais
Podemos definir uma divisão inversamente proporcional pelo
seguinte exemplo:
Consideremos o número 380. Queremos dividi-lo de forma
inversamente proporcional aos números 2, 5 e 4.
Chamemos então de x, y e z os números obtidos desta divisão.
Assim teremos, duas sucessões (x, y e z) e (2, 5 e 4).
Então x = y = z
1/2 1/5 1/4
Como x + y + z = 380 então
 x = y = z ⇒ x+y+z = 380 = 400, portanto:
1/2 1/5 1/4 1/2 + 1/5 + 1/4 19/20
400 = x ⇒ x = 400 . 1 ⇒ x = 200
1 1/2 2
Do mesmo modo, y = 80 e z = 100
Dízima periódica
Dízima periódica é uma fração escrita sob a forma decimal,
cujos números repetem-se indefinidamente. Denomina-se pe-
ríodo o grupo de algarismos que se repete.
Exemplos: 0,2222222 ... (período = 2)
= 0,35353535 ... (período = 35)
E
Elementos de um poliedro
Em um poliedro podemos definir três elementos distintos:
a) Faces: são as regiões poligonais que limitam o sólido.
b) Arestas: representam a intersecção de duas faces.
c) Vértices: representam a intersecção de três ou mais arestas.
Equação exponencial
Equação exponencial é toda equação que possui uma ou mais
incógnitas como expoente. Uma equação exponencial é de
2a ordem quando a incógnita for de segundo grau e de ordem
n quando a incógnita for um expoente de n-ésimo grau.
Exemplo: 2x = 32
2x = 25
x = 5
Equação geral da circunferência
A equação geral da circunferência é de ordem 2 e possui duas
incógnitas:
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Equação modular
Para resolver equações modulares, utilizamos a definição de
módulo. Exemplo: Resolva a equação |2x| = 14
Se o módulo de 2x é 14 então a função y = 2x pode tanto
assumir o valor 14 como –14.
Assim 2x = 14 ⇒ x = 7 ou 2x = –14 ⇒ x = –7. S= {–7, 7}.
Esfera
Se imaginarmos uma circunferência em movimentocircular
em torno de seu diâmetro, teremos uma idéia bastante aproxi-
aresta
vértice
face
Î
Î
107
Matemática
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
mada de uma esfera. Entretanto, vejamos a figura a seguir e
seus elementos:
A área da esfera é dada pela expressão: A = 4 π r2
E o volume é dado por: V = 4 π r3
3
Estatística
Estatística é a ciência que utiliza números para descrever fatos.
Nessa ciência, chamamos dados estatísticos os dados numé-
ricos que nos permitem descrever e avaliar os fatos para fazer-
mos previsões, estimativas ou tomadas de decisões. Os dados
estatísticos podem ser representados por meio de tabelas ou
gráficos.
a) Tabelas: As tabelas dispõem os dados estatísticos de modo
comparativo. Por exemplo: para determinar a preferência
pelos jornais A, B ou C, foram entrevistadas 2.000 pessoas.
A pesquisa revelou o seguinte:
Com base nesta pesquisa, os jornais B e C podem concluir
que seus produtos devem sofrer algum tipo de alteração
para ganhar público.
b) Gráfico: As representações gráficas dos dados estatísticos
facilitam a “leitura” dos resultados, que tornam-se bem mais
visíveis do que em tabelas. Os gráficos mais utilizados são:
• Gráfico de segmentos de reta:
• Gráfico de barras ou histograma:
• Gráfico de setores
A representa 70%
B representa 12%
C representa 18%
F
Fatorial
Denomina-se fatorial do número natural n, o produto dos
primeiros números naturais até n (excetuando o 0). A forma
simbólica do fatorial é n!.
Exemplo: 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
Convencionou-se: 1! = 1e 0! = 1.
Fibonacci, Leonardo
Leonardo Fibonnaci (1170 – 1250), italiano nascido em Pisa,
popularizou o atual sistema decimal de numerais e em sua maior
obra, o Liber Quadratorum (1225, O livro dos números qua-
drados), deixou uma grande contribuição para a teoria dos
números. Seu nome é hoje conhecido também pela seqüência
de números 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13..., obtida pela seguinte regra:
o próximo número na seqüência é o resultado da soma dos dois
últimos números. Essa é a chamada seqüência de Fibonacci.
Essa seqüência aparece como o padrão de formação de muitos
esquemas naturais, como a disposição de pétalas de algumas
flores e as espirais de algumas conchas.
O padrão da espiral da concha do nautilus relaciona-se com a
seqüência de Fibonacci.
Fórmula do termo geral de uma progressão
aritmética
A fórmula para determinação geral de uma progressão aritmé-
tica é dada por:
an = a1 + (n + 1) r
onde an é termo que se quer determinar, r é a razão, a1 é o
primeiro termo e n é o número de termos da progressão aritmética.
No de pessoas
A C B Jornal
1400
360
240
B
C
A No de pessoas
240 360 1400
Jornal
Jornais No de pessoas % das pessoas
A 1.400 70%
B 240 12%
C 360 18%
Total 2.000 100%
108
Suplemento de Pesquisa e Informação
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Fórmula do termo geral de uma progressão
geométrica
A fórmula para determinação geral de uma progressão geomé-
trica é dada por:
an = a1 . qn–1
onde an é termo que se quer determinar, q é a razão, a1 é o primeiro
termo e n é o número de termos da progressão geométrica.
Fourier, Jean Baptiste Joseph
Nasceu em 1768 e morreu em 1830. Foi um matemático francês
conhecido por suas contribuições para a matemática e a física. Foi
conselheiro científico de Napoleão Bonaparte e professor.
Função
Função é a relação de A em B, tal que para todo elemento de A
corresponde um único elemento de B, obedecendo a uma lei de
formação.
Exemplos:
1)
Função do 2o grau
Chama-se função de 2o grau ou função quadrática, de domínio
R e contradomínio R, a função f(x) = ax2 + bx + c onde a, b,
c são números reais e a Þ 0.
Função exponencial
A função exponencial f, de domínio R e contra-domínio R,
é definida por y = ax, onde a > 0 e a Þ1. São exemplos de
funções exponenciais: y = 5x, y = ex.
Função identidade
Considerando a forma geral da função de 1o grau y = ax + b,
temos a função identidade quando a = 1 e b = 0, então x = y.
Exemplo: para x = y temos a chamada bissetriz dos quadrantes
ímpares:
É função pois a cada elemento de A corresponde um único
elemento de B.
2)
A
B
C
1
2
3
D
A B
Não é função, pois D, elemento de A, não tem correspondente em B.
Função bijetora
Um função é bijetora quando é ao mesmo tempo sobrejetora e
injetora. Ver função sobrejetora e função injetora.
Função constante
Considerando a forma geral da função de 1o grau y = ax + b temos
a função constante quando a = 0, dessa forma y = b, sendo b e R.
Exemplo: na função ax + 4 = 0, para a = 0, temos y = 4. Logo
teremos o seguinte gráfico:
Para x = –y obtemos a chamada bissetriz dos quadrantes pares:
Função injetora
Uma função é injetora se para dois elementos distintos do
domínio temos duas imagens diferentes no contradomínio.
Vejamos o diagrama a seguir:
0
1
2
1
2
5
3
10
6
9
15
A B
Como podemos verificar todos os elementos de A tem um
correpondente distinto em B.
Função linear
Considerando a forma geral da função de 1o grau y = ax + b,
temos a função linear quando b = 0, a Þ 0 e a Þ1, a e b e R.
São exemplos: y = 2x, y = 3x + 2.
Função modular
Função modular é toda função f, de domínio em R e contra-
domínio em R, tal que f(x) = |x| ou y = |x|.
y
1o quadrante
3o quadrante
1
0
y = x
1 x
2o quadrante
y
1
– 1 O
y = – x
4o quadrante
A
B
C
1
2
3
A B
Função do 1º grau
Chama-se função do 1o grau a função f: R → R definida por
y = ax + b, com a e b números reais e a ≠ 0, sendo a o coeficiente
angular da reta e b o coeficiente linear da reta.
109
Matemática
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Função polinomial
Chama-se função polinomial ou polinômio a toda função P: R -> R,
definida por uma equação do tipo:
P(x) = anx
n + an–1 x
n–1 + ... + a2x
2 + a1x + a0, onde P(x) é o polinômio
em x e (an, an
–1 ... a0) e N
Exemplos: P(x) = 2x4 – 5x3 + x2 +1 é função polinomial
P(x) = x–2 + 5x – 4 não é função polinomial pois –2 e N.
Função sobrejetora
Uma função é sobrejetora quando seu conjunto imagem é o
próprio contradomínio. Vejamos um exemplo:
Seja f(x) = x2 +1 onde A = {0, 1, 2, 3} e B = {1, 2, 5, 10}.
Calculando os valores da função f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = 5 e
f(3) = 10 temos o seguinte diagrama:
Como podemos verificar todos os elementos de B possuem um
correspondente em A. Dessa maneira, o conjunto imagem é o
próprio contradomínio da função.
G
Geratriz da dízima periódica
É a fração que dá origem à dízima periódica.
Exemplo: 4/3 = 1,3333333333...
Gráfico da função de 2o grau
A construção do gráfico da função de 2o grau requer alguns
passos, tal como a determinação das raízes da função, determi-
nação do vértice da parábola e também determinar em que
ponto a parábola corta o eixo dos y. Vejamos um exemplo práti-
co: construa o gráfico da função de 2o grau y = 2x2 – 3x + 1.
Resolução: 1o passo: Determinar as raízes da função, igualando-a
a zero.
2x2 – 3x + 1 = 0 ⇒ ∆ = (– 3)2 – 4 . 2 . 1 ⇒ ∆ = 9 – 8 = 1
portanto, a parábola corta o eixo Ox nos pontos (1, 0) e
2o passo: Determinar o vértice da parábola.
3o passo: O ponto em que a parábola corta o eixo Oy é c = 1.
Como a = 2 (a é positivo) a concavidade da parábola está vol-
tada para cima. Note que, ao projetarmos qualquer ponto da
parábola sobre o eixo Oy, encontraremos sempre valores de y
maiores ou igual a –1.
8
Im = {y ∈∈∈∈∈R| y ≥≥≥≥≥ –1}
8
Gráfico da função exponencial
Seja a função y = 3x. O gráfico dessa função é mostrado a
seguir:
x y = 3x
–2 3–2 =
–1 3–1 =
0 30 = 1
1 31 = 3
2 32 = 9
3 33 = 27
Gráfico da função modular
O gráfico da função modular pode ser obtido de dois modos.
Vamos desenvolver como exemplo o gráfico de y = |x + 1|.Resolução:
1o modo – Aplicando a definição de módulo:
se x + 1 é positivo ou zero, conservamos o sinal.
x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ – 1 . Então |x + 1| = x + 1se x ≥ – 1
se x + 1 é negativo, troca-se o sinal.
x + 1 < 0 ⇒ x < – 1
Então |x + 1| = – x – 1 se x < – 1
Assim, temos: |x + 1| =
Substituímos x por – 1, e por valores maiores que – 1
na equação (I): y = x + 1
se x = – 1 então y = – 1 + 1 = 0 e teremos o ponto (– 1, 0)
se x = 0 então y = 0 + 1 = 1 e teremos o ponto (0 , 1)
Marcamos os pontos obtidos no plano cartesiano, traçando
uma semi-reta com origem no ponto (– 1, 0).
0
1
2
1
2
5
3
10
A B
1, 0
2
1 1 = 1
3 31 2
1 2 = 1
3 91 2
∆ = 1 ⇒ x = –(–3) + 1
2 . 2
Î
 x = 3 + 1
4
 x1 = 3 + 1 = 1
4
 x2 = 3 + 1 = 2 = 1
4 4 2
 x + 1 se x $ –1 (I)
–x –1 se x , –1 (II)5 6
1 2
xv = –b = –(–3) = 3 e yv = –∆ = –1 = –1 ∴ v = 3 , –1
2a 2 . 2 4 4a 4 . 2 8 4 81 2
110
Suplemento de Pesquisa e Informação
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Atribuímos a x valores menores que – 1, substituindo na função (II):
y = – x – 1, se x = – 2 então y = – (– 2) – 1 = 2 – 1 = 1 e teremos
o ponto ( – 2, 1)
Marcamos esse ponto no plano cartesiano, unindo-o ao ponto
(– 1, 0):
2o modo – Por simetria em relação ao eixo dos x.
Queremos o gráfico de y = |x + 1|; para isso, traçamos o gráfico
de y = x + 1:
Como o módulo de um número é sempre positivo, os pontos
abaixo do eixo Ox, onde y é negativo, não pertencem ao grá-
fico de |x + 1|. Tomamos, então, pontos simétricos em rela-
ção ao eixo Ox ou, em outras palavras, “rebatemos” o gráfi-
co. Observe:
Grau do polinômio
O grau do polinômio é dado pelo maior expoente de x com
coeficiente diferente de zero. Assim, no polinômio
P(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a2x2 + a1x + a0 , se a0 ≠0 o grau
do polinômio P(x) é o maior valor de n. Exemplo:
No polinômio P(x) = 2x4 – 5x3 + x2 +1, o grau é 4.
I
Identidade de polinômios
Dois polinômios são iguais quando seus coeficientes são iguais,
ou seja, se A(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0
e B(x) = bnxn + bn–1xn–1 + ... + b2x2 + b1x + b0,
A(x) ≡ B(x) quando an = bn, an–1 = bn–1, ..., a2 = b2, a1 = b1,
a0 = b0.
Inequação do 1o grau
A inequação de 1o grau tem como característica a presença do
sinal de desigualdade. Relembrando a propridades das desi-
gualdades, vamos resolver um exemplo prático.
Resolva a inequação 3x – 4 > 5 e descubra quais são os valores que,
substituídos em x, conservam válido o sentido da desigualdade.
3x – 4 + 4 > 5 + 4
3x > 9
x > 9 ⇒ x > 3
3
Portanto S = {x e R | x > 3}
Inequação do 2o grau
Uma função de 2o grau f(x) = ax2 + bx + c, onde a 0 e a ,b e c
são números reais, é um inequação do segundo grau quando
f(x)> 0, f(x) < 0, f(x) ≥ 0 ou f(x) ≤ 0. Vejamos um exemplo
prático. Resolver a inequação: x2 – 4x +3 > 0.
∆ = (– 4)2 – 4 . 1 . 3 = 16 – 12 = 4 ⇒ ∆ = + 2
As raízes são 1 e 3 e, como a = 1, a concavidade da parábola está
voltada para cima. Vamos verificar os sinais da função:
Na inequação inicial x2 – 4x + 3 > 0, queremos os valores de x
para que a função seja positiva, portanto a solução são os in-
tervalos em que aparece esse sinal:
S = {x e R | x < 1 ou x > 3}
J
Juros compostos
Chamam-se juros compostos ao tipo de transação em que, a
cada período de juros produzidos, esses são aplicados sobre
o capital do período anterior. É dado por:
M = C . (1 + i)n
onde M é o montante, C é o capital, i é a taxa de juros e n o
período de tempo.
Î
y
x– 1
1
 x = –b + ∆ = 4 + 2
2a 2 . 1
 x1 = 4 + 2 = 3
2
 x2 = 4 – 2 = 1
2
Î
111
Matemática
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Exemplo: Ricardo aplicou R$ 150.000,00 a juros compostos
de 8% ao mês. Que quantia ele terá após 6 meses de aplicação?
Sendo M = 15.000, i = 0,08 e n = 6, temos:
M = 23.803,11
Portanto, Ricardo terá a quantia de R$ 23.803,11.
Juros simples
Chama-se a operação financeira de juros simples àquela em
que os juros são calculados apenas sobre o capital inicial para
todo o número de períodos de capitalização. É dado por:
M = C . (1 + i . n)
Onde M representa o montante, C o capital, i a taxa de juros e
n o período de tempo.
Exemplo:
Gilberto empregou seu capital de R$ 7.200,00 durante 5 anos
a uma taxa de 40% ao ano. Calcular os juros produzidos nestas
condições deste capital.
Sendo C = 7.200, n = 5 anos e i = 40% ao ano, temos:
J = C . i . n
J = 7.200 . 0,40 . 5
J = 14.400
Portanto os juros produzidos foram de R$ 14.400,00
L
Logaritmo
Dados dois números reais positivos, a e b, com a 1, existe um
único número real x de modo que ax = b. Este número x é
chamado de logaritmo de b na base a, que é indicado pela
notação logab.
Logaritmos decimais
Denominam-se logaritmos decimais àqueles definidos pela
equação 10x = N em que N é um número dado e x o seu
logaritmo. Exemplos: log 2, log 20.
Logaritmos neperianos
Os logaritmos neperianos, também chamados naturais ou
hiperbólicos, são definidos pela equação ex = N na qual a base
e representa o limite da série:
quando n cresce indefinidamente (e = 2,7182818284...).
Lucro e prejuízo
Podem ocorrer em transações comerciais.
Designando por V o preço de venda, C o preço de custo ou de
compra, L o lucro e P o prejuízo, temos
V = C + L
para uma transação com lucro e
V = C – P
para uma transação com prejuízo.
Exemplo: Um equipamento comprado por R$ 3.000,00 deve-
rá ser vendido a que preço para que proporcione um lucro de
25% sobre a venda?
Nesse caso, C = R$ 3.000,00.
L = 25% de C portanto, L = 0,25 . 3.000,00 = R$ 750,00.
Portanto o equipamento será vendido por V = 3.000,00
+ 750,00 = R$ 3.750,00.
M
Massa
A massa de um corpo é a quantidade de matéria que ele contém
independente da posição em que se encontre no espaço. O que
é medido com a balança é a massa de um corpo. Na linguagem
comum, emprega-se a palavra peso para designar a massa de
um corpo.
A unidade do sistema internacional de massa é o quilograma (kg).
Múltiplos
Tonelada – t = 106 g
Quilograma – kg = 103 g
Hectograma – hg = 102 g
Decagrama – dag = 10 g
Grama – g
Submúltplos
Decigrama – dg = 10–1 g
Centigrama – cg = 10–2 g
Miligrama – mg = 10–3 g
Matriz
Matriz é uma tabela de números reais dispostos segundo linhas
horizontais e colunas verticais. Como exemplo podemos
mostrar o consumo de sucos em uma lanchonete em forma de
matriz:
laranja mamão abacaxi maracujá
Mesa I 5 2 3 1
Mesa II 3 4 6 2
Mesa III 7 1 0 5
O conjunto ordenado dos números da tabela acima forma o
que é denominado matriz.
Matrizes, adição
Para somarmos duas matrizes, somam-se os elementos corres-
pondentes das matrizes, portanto, as matrizes devem ter a
mesma ordem.
 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1
1 1 . 2 1 . 2 . 3 1. ... . n
112
Suplemento de Pesquisa e Informação
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Exemplo: A = 7 –2 1 e
0 4 –3
B = 2 1 4
8 0 –5
Portanto C = A + B =
= 7+2 –2 +1 1+4 = 9 –1 5
0+8 4 –0 –3 + (–5) 8 4 –8
Matriz, classificação
As matrizes são classificadas de acordo com o número de li-
nhas e colunas que possuem. Algumas recebem denominações
especiais. Por exemplo: matriz retangular, matriz quadrada,
matriz linha, matriz coluna ou matriz nula.
Matriz, diagonais
Para matrizes quadradas, podemos definir duas diagonais para
a matriz: diagonal principal e diagonal secundária.
Exemplo: D = 1 2 3 diagonal secundária
4 5 6
7 8 9 diagonal principal
Matriz, elemento
Chama-se elemento a cada número pertencente à matriz.
Exemplo: 5 é elemento da matriz 5 2 3 1
3 4 6 2
7 1 0 5
Matriz, forma genérica de representação
Para indicar uma matriz qualquer, de modo genérico, usamos
a seguintenotação:
A = [aij]m × n
Onde i representa a linha e j, a coluna em que se encontra o
elemento. As letras m e n representam a ordem da matriz.
Matriz, forma genérica de representação
dos elementos
Para indicarmos os elementos de uma matriz pela mesma letra
que a denomina, utilizamos a mesma letra que representa a
matriz, mas em minúscula. A linha e a coluna em que se encon-
tra o elemento são indicadas no lado inferior direito da letra
que representa o elemento.
Exemplo: a13
Matriz, notação
Para indicar uma matriz, são utilizadas três formas de notação.
a) entre colchetes 5 2 3 1
3 4 6 2
7 1 0 5
b) entre parênteses 5 2 3 1
3 4 6 2
7 1 0 5
c) entre barras duplas 5 2 3 1
3 4 6 2
7 1 0 5
Matriz, representação genérica
Costuma-se representar uma matriz por uma letra maiúscula (A,
B, C ...), indicando sua ordem no lado inferior direito da letra.
Quando se deseja representar a ordem de uma matriz de um
modo genérico, faz-se uso de letras minúsculas. Exemplo:
A m × n (m, n ∈N*).
Matriz, tipo ou ordem
As matrizes são classificadas de acordo com o seu número de
linhas e de colunas.
Exemplo: A matriz a seguir 5 2 3 1
3 4 6 2
7 1 0 5
é denominada matriz do tipo, ou ordem, 3 x 4, pois possui três
linhas e quatro colunas.
Matrizes, igualdade
Duas matrizes são ditas iguais quando apresentarem a mesma
ordem e seus elementos correspondentes forem iguais.
Exemplo: Se
A = 3 5
8 4
B = 5 – 2 1 + 4
6 + 2 2 . 2
Logo A = B
Matriz, multiplicação por um número real
Sendo k e R e A a matriz de ordem m × n, a matriz k. A é obtida
multiplicando-se todos os elementos de A por k.
Exemplo: Sendo A = 2 –1
5 3
a matriz 5 . A é dada por:
5 . A = 5 2 –1 = 10 –5
5 3 25 15
Matrizes, condição para multiplicação
Para que possa ser realizada a multiplicação entre duas matri-
zes, por exemplo A e B, é necessário verificar se o número de
colunas de A é igual ao número de linhas de B.
Exemplo genérico: A m . n X B n . p = C m . p
Podemos observar com base no exemplo que a matriz produto
terá o número de linhas de A e o número de colunas de B.
Matrizes, multiplicação
Sejam duas matrizes de ordem 2 (satisfazendo assim a condição
para multiplicação de matrizes) A e B, obtém-se o produto
A . B, multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha de
A pelos elementos da coluna de B e, em seguida, adicionando-se
esses produtos.
Exemplo: Sejam as matrizes
A = 2 –3 , B = 4 2 e seja C = A . B, temos
5 1 6 3
c 11 é obtido somando-se os produtos dos elementos da
linha 1 de A pela coluna 1 de B: c 11 = 2 . 4 + (–3) . 6 = –10
c 12 é obtido somando-se os produtos dos elementos da
linha 1 de a pela coluna 2 de B: c 12 = 2 . 2 + (–3) . 3 = –5
c 21 é obtido somando-se os produtos dos elementos da
linha 2 de a pela coluna 1 de B: c 21 = 5 . 4 + 1 . 6 = 26
c 22 é obtido somando-se os produtos dos elementos da
linha 2 de A pela coluna 2 de B: c 22 = 5 . 2 + 1 . 3 = 13
Portanto C = –10 –5
 26 13
Matrizes, propriedades da adição
Sendo A, B e C matrizes de mesma ordem, tem-se:
a) A + B = B + A (comutativa)
b) (A + B) + C = A + (B + C) (associativa)
c) A + 0 = A (elemento neutro), onde 0 corresponde à matriz nula.
4
4
3
3
5 6
113
Matemática
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
d) A + (–A) = 0 (elemento oposto), onde –A é a matriz
oposta de A, obtida trocando-se os sinais de todos os
elementos de A.
Matrizes, propriedades da multiplicação
Sendo A, B e C matriz e sendo possível o produto entre elas,
temos:
a) A . (B . C) = (A . B) . C (associativa)
b) A . (B +C) = A . B + A . C (distributiva à direita)
c) (B + C) . A = B . A + C . A (distributiva à esquerda)
Matriz coluna
Um tipo de classificação de matriz. A matriz é dita
coluna quando possui apenas uma coluna (n = 1).
Exemplo:
H = 3
2
A matriz H é de ordem 2 × 1.
Matriz diagonal
Um tipo de classificação da matriz quadrada. A matriz é dita
diagonal quando todos os elementos acima ou abaixo da
diagonal principal são nulos.
Exemplo:
A = 2 0 0
0 3 0
0 0 –5 diagonal principal
Matriz identidade
Um tipo de classificação da matriz quadrada. A matriz é dita
identidade quando todos os elementos da diagonal principal
são iguais a 1 e todos os outros elementos são iguais a 0.
Exemplo:
A = 1 0 0
0 1 0
0 0 1
Matriz inversa
Uma matriz A, quadrada de ordem n, admite inversa quando
existe uma matriz A–1 de mesma ordem, tal que:
An . An –1 = An
–1 . An = In
Exemplo: Seja A = 3 0
0 1
determinar A–1.
Basta multiplicar as matrizes e igualar à matriz I 2.
Matriz linha
Um tipo de classificação de matriz. A matriz é dita
linha quando possui apenas uma linha (m = 1).
Exemplo:
F = 3 1
2
A matriz F é de ordem 1 × 2.
Matriz nula
Um tipo de classificação de matriz. A matriz é dita nula quando
tem todos os elementos iguais a 0.
Exemplo:
Z = 0 0 0
0 0 0
A matriz Z é nula pois A ij = 0
Matriz oposta
É a matriz obtida multiplicando-se todos os elementos da
matriz A por –1.
Exemplo: Seja A = –9 1
3 –5
então –A = 9 –1
–3 5
Matriz quadrada
Um tipo de classificação de matriz. A matriz é dita quadrada
quando o número de linhas é igual ao número de colunas, ou
seja, m = n.
Exemplo:
A = 5 –1 0
2 4 10
–1 3 6
A matriz A é de ordem 3.
A matriz quadrada também pode ser de um dos seguintes tipos:
triangular, diagonal, identidade.
Matriz retangular
A matriz é classificada como retangular quando o número de
linhas é diferente do número de colunas (m ≠ n).
Exemplo:
A = 6 5
2 3
1 4
A matriz A é do tipo 3 × 2.
Matriz transposta
É a matriz obtida pela troca ordenada de linhas por colunas de
uma matriz. Dada uma matriz A de ordem m × n, obtém-se uma
outra matriz de ordem n × m, chamada de transposta de A. Esta
matriz é indicada por A’.
Exemplo: Seja A = 1
2
3
então A’ = |1 2 3|
Matriz triangular
Um tipo de classificação da matriz quadrada. A matriz é dita
triangular quando os elementos acima ou abaixo da diagonal
principal são todos nulos.
Exemplo:
A = 2 0 0
8 3 0
7 9 –5 diagonal principal
A matriz A é nula pois todos os elementos acima da diagonal
principal são nulos.
Máximo divisor comum (m.d.c.)
Máximo divisor comum (m.d.c.) de dois ou mais números é o
maior de seus divisores comuns. O m.d.c. pode ser obtido quer
por decomposição dos números dados em fatores primos, quer
pela divisão sucessiva dos números uns pelos outros.
Exemplo: O m.d.c.(24, 8) pode ser calculado da seguinte maneira:
24 = 23 . 3
8 = 23
O m.d.c. entre 24 e 8 será dado pelo fator primo em comum
aos dois que tiver o maior expoente, nesse caso 23 = 8.
114
Suplemento de Pesquisa e Informação
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Média aritmética
É a medida de tendência central mais usada. A média aritmética
é o cociente entre a soma de n valores e o número n de valores
desse conjunto. Exemplo:
Maísa teve as seguintes notas nas provas de Matemática do 1°
bimestre: 6,5; 7,0; 9,5; 4,0 e 8,0.
Para obter uma nota que representará seu aproveitamento no
bimestre, calculamos a média aritmética (Ma) de suas notas;
6,5 + 7,0 + 9,5 + 4,0 + 8,0 = 35 = 7
5 5
Média geométrica
É dada pela raiz n-ésima, com n igual ao número de elementos
da seqüência do produto dos n elementos. Exemplo: Dada a
seqüência de notas 3, 6, 8, 9, a média geométrica é dada por:
G = 4 3. 6 .8 . 9 = 6
Média ponderada
É dada pelo somatório do produto de cada elemento pelo seu
respectivo peso, dividida pela soma do total de pesos.
Vamos ver um exemplo: as notas da disciplina Cálculo Numé-
rico têm diferentes pesos na média final. Eduardo obteve as
seguintes notas: 4 que tinha peso 2; 8 que tinha peso 5; 9 que
tinha peso 1. Sua média final ficou assim:
N = 4 . 2 + 8 . 5 + 9 = 8 + 40 + 9 = 57 = 7,125
2 + 5+ 1 8 8
Dessa maneira, podemos também calcular y, substituindo em
uma das equações iniciais:
3x + y = -4
3 . –26 + y = –4
11
–78 + y = –4 ⇒ y = –4 + 78
11 11
y = –44 + 78 = 34
11 11
S = {–26/11, 34/11}
Metro
Unidade de medida ou de comprimento.
Múltiplos
Quilômetro – km = 103 m
Hectômetro – hm = 102 m
Decâmetro – dam= 10 m
Metro – m
Submúltplos
Decímetro – dm = 10–1 m
Centímetro – cm = 10–2 m
Milímetro – mm = 10–3 m
Mínimo múltiplo comum
Mínimo múltiplo comum de dois ou mais números é o menor
de seus múltiplos comuns. O m.m.c. (8, 9) é dado por:
8 , 9 2
4 , 9 2
2 , 9 2
1 , 3 3
1 , 1 3
Assim, m.m.c (8, 9) = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 = 72
Moda
A moda de um conjunto de n números é o valor que ocorre com
maior freqüência, isto é, o valor mais comum.
Exemplo: Na seqüência numérica: 5, 5, 5, 9, 9, 9, 9, 15, 15, 19
a moda é 9, pois é o número que aparece com maior freqüência
(Mo = 9).
Módulo de um número real
O módulo de um número real x é dado por: x se x for positivo
e –x, se x for negativo. Ou seja:
|x| = x se x ≥ 0
–x se x < 0
Exemplos:
|–4| = 4
|2x| = 2x, se 2x > 0 ⇒ x ≥ 0
–2x se 2x < 0 ⇒ x < 0
Montante
O montante é capital resultante da soma do capital inicial e do
juro aplicado ao fim do período financeiro, e é dado por:
M = C + J
N
Quadrilátero, ao polígono de quatro lados;
Pentágono, ao polígono de cinco lados;
5
5
Mediana
Mediana de um conjunto de n valores é o valor que ocupa a
posição central quando esses dados são colocados em ordem
crescente ou decrescente.
Exemplo: Entre os números 98, 54, 35, 984, 2 948, 34, 2
temos sete elementos que colocados em ordem crescente, nos
fornecerão o termo central da seqüência numérica, assim te-
mos: 2, 34, 35, 54, 98, 984, 2 948. Como a mediana é dada
pelo termo central da seqüência temos Md = 54.
Método de eliminação para a resolução
de sistemas de equações lineares
Para aplicar este método, multiplica-se uma das equações por
fatores convenientes de modo a se obter, para uma mesma in-
cógnita, coeficientes simétricos; a seguir, somam-se os resul-
tados, eliminando-se assim uma incógnita e uma equação; e
assim sucessivamente até que a equação restante possa ser re-
solvida por se tratar de uma única equação com uma incógnita.
Exemplo: Resolver o sistema de duas equações e duas incóg-
nitas a seguir:
3x + y = –4
4x + 5y = 6
Multiplicando a primeira equação por –5 temos:
–15x + –5y = 20
4x + 5y = 6
Somando-se as duas equações resulta em:
–11x = 26 ⇒ x = –26
11
5
5
Nomenclatura dos polígonos
É denominado:
Triângulo, ao polígono de três lados;
115
Matemática
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Hexágono, ao polígono de seis lados;
Heptágono, ao polígono de sete lados;
Octógono, ao polígono de oito lados;
Eneágono, ao polígono de nove lados;
Decágono, ao polígono de dez lados;
Undecágono, ao polígono de onze lados;
Dodecágono, ao polígono de doze lados;
Pentadecágono, ao polígono de quinze lados;
Icoságono, ao polígono de vinte lados.
Números binomiais
Sejam dois número n e p pertencentes ao conjunto dos número
naturais, com p menor ou igual a n; denominam-se números
binomiais às combinações simples entre esses n elementos,
tomados p a p.
A notação dos números binomiais é:
n = Cn,p = n!
p p!(n-p)!
Número complexo, adição
Para somarmos dois números complexos, basta somar sepa-
radamente sua parte real e sua parte imaginária.
Exemplo: Dados dos complexos z = 5 + 2i e w = –2 + 9i,
determinar z + w.
z + w = 5 + (-2) + (2 + 9)i = 3 + 11i
Número complexo, argumento
Dado um número complexo z = a + bi, com z ≠ 0 e sendo P o
afixo de z, denomina-se argumento do complexo z o ângulo q
(0o ≤ θ ≤ 360o ), formado por OP com o eixo real 0x, medido
no sentido anti-horário, como podemos observar no gráfico
abaixo:
Notação: θ = arg(z), onde θ é o ângulo e arg(z) é o argumento de z.
Portanto:
cos θ = a = 2
ρ 2
sen θ = b = 2
ρ 2
Portanto o ângulo cujos valores de seno e cosseno são iguais
a 2 é 45º.
2
Número complexo, características
Sendo z = a + bi um número complexo, temos:
a) a + bi é chamada forma algébrica.
b) a é denominada a parte real de z, onde a e R; a = R e(z).
c) b é denominada a parte imaginária de z, onde b e R; b =
Im(z).
d) i é a unidade imaginária: i = –1
Número complexo, conjugado
O número conjugado de um dado complexo z = a + bi é dado
por z = a – bi. Assim temos:
Exemplo: Seja z = 3 + 4i, determinar seu conjugado.
z = 3 – 4i
Número complexo, definição
Dada a equação
x2 + 1 = 0 ⇒ x2 = –1 ⇒ x = ± – 1
para que equações como essa tivessem solução, os matemáticos
ampliaram o campo dos números, criando um novo número,
não-real, chamado de unidade imaginária, i, –1
Exemplo: Encontrar as raízes da equação x2 – 4x + 13 = 0.
∆ = b2 – 4ac = – 42 – 4 . 1 . 13 = –36
x = 4 ± –36
2
x = 4 ± 6i
2
x’= 2 + 3i
x’’= 2 – 3i
S = {2 + 3i; 2 –3i}
Número complexo, módulo
Considerando o complexo z = a + bi, representado pelo ponto
P(a,b), o módulo desse número é dado pelo Teorema de Pitágoras:
ρ = a2 + b2
Exemplo: Determinar o módulo do complexo z = 3 + 4i.
ρ = 9 + 16
ρ = 25
ρ = 5
Número complexo, multiplicação
Para multiplicarmos dois números complexos, utilizamos a
regra da multiplicação de binômios (vale lembrar que i2 = -1).
Sendo z = a + bi e w = c + di, temos:
Sendo r = a2 + b2 o módulo de z, e observando o triângulo
destacado no gráfico, podemos escrever:
cos θ = cateto adjacente = a
 hipotenusa ρ
sen θ = cateto oposto = b
 hipotenusa ρ
Por meio do seno e do cosseno de θ, podemos determinar o
ângulo q usando os valores da tabela trigonométrica.
Exemplo: Determinar o argumento do complexo
z = 2 + i 2
a = 2 e b = 2
|z| = ρ = a2 + b2 = 2 + 2 = 2 ⇒ ρ = 2
y
b
0
P
θ
a x
P
Î
Î
Î
Î
Î
Î
Î
Î
Î
Î
21
116
Suplemento de Pesquisa e Informação
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
z . w = (a + bi) . (c + di) = ac + adi + bci + bdi2
Portanto:
z . w = (ac – bd) + (ad + bc)i
Exemplo:
Dados z = 3 + 4i e w = 2 + 5i, efetuar z . w.
z . w = (3 + 4i) . (2 + 5i) = 6 + 15i + 8i + 20i2
z . w = 6 + 23i – 20 i2
z . w = –14 + 23i
Número complexo, subtração
Para subtraírmos dois números complexos, basta subtrair se-
paradamente sua parte real e sua parte imaginária.
Exemplo: Dados dos complexos z = 5 + 2i e w = –2 + 9i,
determinar z – w.
z – w = 5 – (–2) + (2 – 9)i = 7 – 7i
Números complexos, potências de i
A tabela a seguir fornece os valores de in, n ∈ N.
 Potência
i0 1
i1 i
i2 –1
i3 –i
i4 1
i5 i
i6 –1
i7 –1
Observe que:
i0 = i4 = i8 = i12 ........= 1
i1 = i5 = i9 = i13.........= i
i2 = i6 = i10 = i14........= –1
i3 = i7 = i11 = i15........= – i
Podemos concluir que para determinarmos o valor de in, n ∈
N, basta dividir o expoente por 4 e considerar o valor do resto
dessa divisão.
Exemplo: i1 000
1 000 : 4 = 250 e tem como resto 0. Portanto i1000 = i0 = 1
Número complexo, representação gráfica
no plano de Argand-Gauss
O número complexo z = a + bi pode ser representado no plano
de Argand Gauss por meio do ponto P(a, b).
y
b
P(a, b)
a x
Î Î
Î
Î
Números complexos, igualdade
Dados dois números complexos z = a + bi e w = c + di, com a,
b, c, d e R, temos que z e w são iguais quando a+ bi = c + di ou
ainda a = c e b = d.
Exemplo: Calcular o valor de a e b, tal que os números
z = a + bi e w = –3 + 5i sejam iguais.
Para que z = w, a = –3 e b = 5.
Números complexos, divisão
A divisão de dois números complexos z por w, com w ≠ 0, é obtida
utilizando a representação fracionária e, em seguida, racionalizan-
do essa fração por meio do conceito de conjugado de w:
 z = z x w
w w x w
Exemplo: Sejam z = 4 + 5i e w = 2 + 3i, calcular z
w
números complexos, forma polar
Podemos escrever o númerocomplexo z = a + bi na forma
polar, a qual depende do módulo de z e de seu argumento. Ou
seja, z = ρ cos θ + i ρ sen θ.
Exemplo: Obter a forma trigonométrica do número complexo
z = 3 + i.; sendo a = 3 e b = 1
|z| = p = a2 + b2 =
 = (3)2 + 12 = 4 = 2
Calculando o argumento de z:
sen θ = b e cos θ = a = 3 ⇒ θ = 30o ou π.
ρ ρ 2 6
Logo, z = 2 (cos π + i sen π ou z = 2 (cos 30o + i sen 30o)
6 6
Números complexos, propriedades
do módulo
Dados z = a + bi e w = c + di temos:
a) o módulo de um número complexo é um número racional,
não negativo, ou seja: |z| ≥ 0.
b) o produto de dois números complexos é igual ao produto
dos módulos dos complexos fatores, ou seja:
z . w| = |z| . |w|.
c) os módulos de um número complexo e de seu conjugado
são iguais:
d) o módulo do quociente de dois números complexos é igual
ao cociente do módulo do complexo dividendo pelo módulo
do complexo divisor. Assim: |z/w| = |z|/|w|, com w ≠ 0.
z = z
w w
Î
z = (4 + 5i) = (4 + 5i) . (2 – 3i) . (2 – 3i) =
w (2 + 3i) (2 + 3i)
= (8 – 12i + 10i – 15i2) = (8 – 12i + 10i + 15) =
(22 – 32i2) (4 – 9i2)
= (23 – 2i) = (23 – 2i)
(4 + 9) 13
Logo: z = 23 – 2i
w 13 13
117
Matemática
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
P
Paralelepípedo
Paralelepípedo é o prisma quadrangular no qual seis faces são
paralelogramos.
Paralelepípedo retângulo
O paralelepípedo retângulo é o prisma no qual as seis faces são
retangulares a as faces opostas são congruentes. Suas dimen-
sões são dadas pela altura, comprimento e largura, como
mostra a figura a seguir:
Podemos também relacionar essas dimensões e definir a medi-
da da diagonal do paralelepípedo retângulo:
D = a2 + b2 + c2
Relacionando ainda essas três dimensões podemos definir a
área total e o volume do paralelepípedo retângulo:
Área total:
At = 2 (ab + ac + bc)
Volume:
V = a . b . c
Pirâmides
As pirâmides podem ser classificadas com base no número de
lados do polígono da sua base como mostram as figuras a
seguir:
pirâmide
triangular
pirâmide
quadrangular
pirâmide
pentagonal
pirâmide
hexagonal
A área total de uma pirâmide é dada pela soma da área de sua
base e sua área lateral de acordo com a seguinte expressão:
At = Al + Ab
Onde: At é a área total da pirâmide;
Al é a área lateral da pirâmide;
Ab é a área da base da pirâmide.
O volume da pirâmide é dado pela expressão:
V = 1 Ab .h
3
Polinômio identicamente nulo
Um polinômio é dito identicamente nulo quando todos os seus
coeficientes são iguais a zero e indicamos por P(x) = 0. Seja
A(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a2x2 + a1x + a0,
an = an–1 = a2 = a1 = a0 = 0
Ponto médio de um segmento
As coordenadas do ponto médio M(x, y), do segmento deter-
minado pelos pontos A(x1, y1) e B(x2, y2), são dadas por:
M x1 + x2, y1 + y2
2 2
Ponto que divide um segmento em uma determinada razão
Dada a razão r, os pontos A(x1, y1), B(x2, y2) e o ponto
M(zm/ym), que divide o segmento AB, temos que as coorde-
nadas desse ponto serão dadas por:
M (rx2 + x1)/(1+r), (ry2 + y1)/(1+r)
Porcentagem
É uma razão centesimal ou porcentual onde o conseqüente é
igual a 100.
Exemplo: 25% (lê-se: vinte e cinco por cento) pode também
ser representado por 25 ou 0,25.
100
Onde a altura (h) é definida com sendo a distância entre o
vértice V e o plano da base, como mostra a figura a seguir:
1 2
5 6
Î
118
Suplemento de Pesquisa e Informação
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Posições relativas de duas retas
Sejam duas retas r1 e r2 no plano cartesiano. De acordo com
suas posições relativas podemos ter:
1) Retas concorrentes. Representa-se por r1 x r2. Se r1 e r2
são concorrentes, os ângulos formados por elas em relação
ao eixo dos x são diferentes, portanto seus coeficientes an-
gulares também serão diferentes.
b) Se o centro está sobre o eixo dos x, ou seja C(x, 0), então
(x – a)2 + y2 = R2
2) Retas paralelas. Representa-se por r1 // r2. Se r1 e r2 são
paralelas, os ângulos formados por elas em relação ao eixo
dos x são iguais, logo seus coeficientes angulares também
serão iguais. Porém, para serem paralelas e não coincidentes,
elas têm que possuir coeficientes lineares diferentes.
3) Retas coincidentes. Se r1 e r2 são paralelas, os ângulos
formados por elas em relação ao eixo dos x são iguais; logo,
seus coeficientes angulares também serão iguais. Além dis-
so, seus coeficientes lineares também são iguais.
Posição da circunferência no plano
cartesiano
a) Se o centro da circunferência está na origem dos eixos de
coordenadas, ou seja C(0, 0), então
x2 + y2 = R2
c) Se o centro está sobre o eixo dos y, ou seja C(0, y), então:
x2 + (y – b)2 = R2
Posição relativa entre circunferências
Para duas circunferências que forem exteriores, a distância de
seus centros será maior que a soma de seus raios.
Para duas circunferências que forem interiores, a distância de
seus centros será menor que a diferença de seus raios .
Para duas circunferências que forem tangentes externamente, a
distância de seus centros será exatamente igual à soma de seus
raios.
a
C1
R r C2
dC1C2
C1 C2 r
dC1C2
C1 C2R r
dC1C2
b
dC1C2 > R + r
dC1C2 < R – r
dC1C2 = R + r
119
Matemática
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Para duas circunferências que forem tangentes internamente, a
distância de seus centros será exatamente igual à diferença de
seus raios.
1) (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
2) (a + b) (a – b) = a2 – b2
3) (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3
4) (a – b)(a2 – ab + b2) = a3 – b3
5) (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3
6) (a2) + b2 (p2 + q2) = (ap – bq)2 + (aq + bq)2, expressão
de Fibonacci
7) (a2 + b)2 = (a2 – b2)2 + (2ab)2, expressão de Platão muito
usada para determinar triângulos retângulos cujos lados
sejam números inteiros.
Progressão aritmética
Toda seqüência em que a partir de um termo conhecido é so-
mada uma constante para obter-se o termo seguinte é chamada
progressão aritmética. À constante que é somada aos termos
subseqüentes, dá-se o nome de razão.
Progressão geométrica
Toda seqüência que em de um termo conhecido é multiplicado
por uma constante para obter-se o termo seguinte é chamada
progressão geométrica. À constante que multiplica um termo
para se obter o termo subseqüente, dá-se o nome de razão.
Proporção
Chama-se proporção à sentença matemática que expressa uma
igualdade entre duas razões. Sejam os números racionais a, b,
c e d com b e d diferentes de zero, vamos determinar as razões:
Propriedades da desigualdade
Se somarmos um mesmo valor em ambos os membros de uma
desigualdade ela se mantém:
Exemplo: 3 < 4 ⇒ 3 + 5 < 4 + 5
O mesmo ocorre se multiplicarmos ou dividirmos ambos os
membros de um desigualdade por um número positivo:
Exemplo: 3 < 4 ou 3 . 5 < 4 . 5
5 5
Entretanto, se multiplicarmos ou dividirmos ambos os mem-
bros de uma desigualdade por um número negativo, ela muda
de sentido:
Exemplo: 3 < 4 ou 3 . –1 > 4 . –1
–1 –1
Propriedades de potências
No produto de potências de mesma base, conserva-se a base e
somam-se os expoentes.
am . an = am + n
Exemplo: 52 . 56 = 52 + 6 = 58
2o) No cociente de potências de mesma base, conversa-se a base
e subtraem-se os expoentes.
am : an = am – n
Exemplo: 56 : 52 = 56 – 2 = 54
3o) A potência de toda base real elevada a zero é igual a 1.
a0 = 1
Exemplo: 1020 = 1
4o) Na potência de outra potência, conserva-se a base e mul-
tiplicam-se os expoentes.
(am)n = a m . n
Exemplo: (52)3 = 52 . 3 = 56
Uma fração elevada a um expoente tem tanto numerador como
denominador elevados a esse expoente.
(2)4 = 24 = 16
(3) 34 81
Para duas circunferências que forem secantes, a distância de
seus centros será menor que a soma e maior que a diferençados
raios.
Para duas circunferências que forem concêntricas, a distância
de seus centros será nula.
Prisma
Seja a figura do prisma mostrada a seguir:
Onde h é chamada de altura do prisma.
Observe que:
a) as bases de um prisma são polígonos congruentes;
b) os prismas recebem nomes especiais segundo o número de
lados dos polígonos da base.
Produtos notáveis
Para facilitar o trabalho com função, é importante ter à mão
algumas das igualdades a seguir:
C 1
 
 
 R
r
C2
C 1
 
R
r
C 2
C1 = C2
r
R
120
Suplemento de Pesquisa e Informação
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
6o) Potenciação com expoente fracionário
Exemplo:
Uma base elevada a um expoente fracionário fica da seguinte
maneira:
Exemplo:
Propriedades operatórias dos logaritmos
• Logaritmo do produto: O logaritmo na base a (a > 0 e
a ≠ 1) do produto m . n, aplicando a definição de logaritmo
é dado por:
loga(m . n) = logam + logan, sendo m > 0, n > 0
Exemplo: log106 = log10(2 . 3) = log102 + log103
• Logaritmo do cociente: O logaritmo na base a (a > 0 e
a ≠ 1) da divisão m : n, aplicando a definição de logaritmo
é dado por:
loga(m : n) = logam - logan, sendo m > 0, n > 0
Exemplo: log1010 = log10(10:2) = log1010 - log102
• Logaritmo da potência: O logaritmo na base a (a > 0 e
a ≠ 1) do produto m x n, aplicando a definição de logaritmo,
é dado por:
logam
p = p logam, sendo p e R, m > 0
Exemplo: log1025 = 5 log102
• Mudança de base: lognm = logam, sendo m > 0, n >
logan
0, n ≠ 1, a > 0 e a ≠ 1
Exemplo: log128 = log8 = 1
log12 log812
R
Radiano
É denominado radiano (rad) o arco tomado sobre a circunfe-
rência que possui a mesma medida do raio.
Raiz ou zero da função de 1o grau
A raiz ou zero da função de 1o grau é o valor de x para o qual
y = f(x) = 0. No gráfico podemos identificá-la como o ponto
que corta o eixo dos x. Portanto, para determinar a raiz da
função basta igualá-la a zero:
F(x) = ax + b ⇒ ax + b = 0 ⇒ ax = –b ⇒ x = –b/a
Exemplo: Determine a raiz da função: f(x) = 3x + 5
Basta fazermos 3x + 5 = 0 ⇒ 3x = –5 ⇒ x = –5/3
Raízes da função do 2o grau
Para determinarmos as raízes da função de 2o grau devemos igualar
f(x) a 0. A expressão assim obtida é denominada equação do 2o
grau, e as raízes podem ser determinadas pela fórmula de Bhaskara:
x = – b ± ∆ , onde ∆ = b2 – 4ac
2a
∆ é chamado discriminante da equação.
Se ∆ > 0 a equação terá duas raízes reais e distintas
Exemplo: –7x2 + 6x + 1 = 0
∆ = 64
x = – 6 ± 8
–14
x’ = –1 e x” = 1
7
S = –1, 1
7
Se ∆ = 0, a equação terá raízes reais e iguais
Exemplo: x2 + 2x + 1 = 0
∆ = 0
X = –2
S = {–2}
Se ∆ < 0 não existem raízes reais (∃ x ∈ R)
Exemplo: –2x2 + x –5
∆ = – 39
S = ∅
Razão
Chama-se razão de dois números racionais a e b, com b ≠ 0,
o cociente de a por b. É representada por (lê-se: a está para
b), onde a é chamado antecedente e b, conseqüente.
Exemplo: Uma equipe de futebol com 28 vitórias em 60 jogos,
ou seja,
28 = 7
60 15
portanto, 7 vitórias a cada quinze jogos.
Razões inversas
Duas razões são inversas quando o antecedente da primeira for
igual ao conseqüente da segunda ou vice-versa. Nesse caso, o
produto de ambas é igual a zero.
Redução ao 1o quadrante
Os problemas de redução ao primeiro quadrante consistem em
obter os valores das linhas trigonométricas de um arco posi-
tivo maior de 90º, em função das linhas trigonométricas de
arcos entre 0º e 90º.
A redução ao 1o quadrante de um arco do 2o quadrante é feita
por meio das seguintes relações:
sen (180º – a) = sen a
cos (180º – a) = – cos a
tg (180º – a) = – tg a
cotg (180º – a) = – cotg a
sec (180º – a) = – sec a
cosec (180º – a) = cosec a
ou
sen (90º + b) = – cos b
cos (90º + b) = – sen b
tg (90º + b) = – cotg b
Propriedades dos logaritmos
Sejam dois números reais positivos, a e b, com a; 1, existe um
único número real x de modo que ax = b. Este número x é
chamado de logaritmo de b na base a, que é indicado pela
notação logab. Com base nessa condição de existência, valem as
seguintes propriedades:
a) Logaam = m, a > 0 e a ≠ 1
Exemplo: Log335 = 5
b) Loga1 = 0, a > 0 e a ≠ 1
Exemplo: Log31 = 0
c) a logab , sendo b > 0, a > 0 e a ≠ 1
Exemplo: 2 log27 = 7
Î
65
2¾ = 4 23ÎÎa 
m
 = 
n
 amn
a
b
121
Matemática
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
cotg (90º + b) = – tg b
sec (90º + b) = – cosec b
cosec (90º + b) = – sec b
A redução ao 1o quadrante de um arco de 3.º quadrante é feita
por meio das seguintes relações:
sen (270º – a) = – cos a
cos (270º – a) = – sen a
tg (270º – a) = cotg a
cotg (270º – a) = tg a
sec (270º – a) = cosec a
cosec (270º – a) = – sec a
ou
sen (180º + b) = – sen b
cos (180º + b) = – cos b
tg (180º + b) = tg b
cotg (180º + b) = cotg b
sec (180º + b) = – sec b
cosec (180º + b) = – cosec b
Finalmente, a redução ao 1o quadrante de um arco do 4o
quadrante é feita por meio das seguintes relações:
sen (360º – a) = – sen a
cos (360º – a) = cos a
tg (360º – a) = – tg a
cotg (360º – a) = – cotg a
sec (360º – a) = sec a
cosec (360º – a) = – cosec a
ou
sen (270º + b) = – cos b
cos (270º + b) = sen b
tg (270º + b) = – cotg b
cotg (270º + b) = – tg b
sec (270º + b) = – cosec b
cosec (270º + b) = – sec b
Regra prática para o estudo do sinal
da função de 1o grau
Regra prática para o estudo de sinal da função
f(x) = ax + b:
1o) determinamos a raiz da função, igualando-a a zero
(raiz: x = )
Regra prática para o estudo do sinal
da função de 2o grau
Regra prática para o estudo do
sinal da função de 2o grau
Dada a função f(x) = y = ax2 + bx + c, para saber
os sinais de y determinamos as raízes (se existirem)
e analisamos o valor do discriminante. Poderemos ter:
a) Se ∆ > 0 então as raízes são x1 ≠ x2:
se a > 0 temos se a < 0 temos
x < x1 ou x > x2 ⇒ y > 0 x < x1 ou x > x2 ⇒ y < 0
x1 < x < x2 ⇒ y < 0 x1 < x < x2 ⇒ y > 0
x = x1 ou x = x2 ⇒ y = 0 x = x1 ou x = x2 ⇒ y = 0
2o) verificamos se a função é crescente (a > 0) ou decrescente
(a < 0); temos então duas possibilidades:
a) a função é crescente b) a função é decrescente
Se x = então y = 0 Se x = então y = 0.
Se x < então y < 0 Se x < então y > 0.
Se x > então y > 0 Se x > então y < 0.
b)Se ∆ = 0 então as raízes são x1 = x2:
se a > 0 temos: se a < 0 temos:
x = x1 ⇒ y = 0 x = x1 ⇒ y = 0
∀ x eR | x ≠ x1 ⇒ y > 0 ∀ x e R | x ≠ x1 ⇒ y < 0
c) Se ∆ < 0 então não existem raízes reais:
se a > 0 temos se a < 0 temos
∀ x e R ⇒ y > 0 ∀ x e R ⇒ y < 0
Relação
Considera-se relação de A em B a todo subconjunto de AxB
que obedece a uma lei de formação. Exemplo: Sejam os conjun-
to A = {1,2,3} e B = {–3, –1,0} então A × B = {(1,–3), (1, –1),
(1,0), (2,–3), (2, –1), (2, 0), (3, –3), (3, –1), (3, 0)}.
Relação de Euler
Em qualquer poliedro, a soma do número de vértices (V) ao
número de faces (F) é igual ao número de arestas (A) mais 2.
A + 2 = V + F
A soma dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro
convexo é igual a:
S = 360º (V – 2), sendo V = número de vértices.
Relação entre os elementos dos poliedros
regulares
Poliedros
Regulares F V A n p
Tetraedro 4 4 6 3 3
Hexaedro 6 8 12 4 3
Octaedro 8 6 12 3 4
Dodecaedro 12 20 30 5 3
Icosaedro 20 12 30 3 5
– b
a
–b
a
–b
a
–b
a
–b
a
–b
a
–b
a
122
Suplemento de Pesquisa e Informação
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
F é igual ao número de faces, V é igual ao número de vértices,
A é igual ao número de arestas, n é igual ao número de lados
de cada face, p é igual ao número de arestas de cada ângulo
sólido.
Relação fundamental da trigonometria
Na figura, no ciclo trigonométrico, o arco AM tem ângulo
central α.
No triângulo retângulo OPM, sendo o raio 1, temos que:
sen α = PMcos α = OP
Aplicando o teorema de Pitágoras:
PM2 + OP2 = 1
Substituindo: sen2 α + cos2 α = 1
Essa igualdade é a relação fundamental da trigonometria.
S
Secante de um arco
Define-se secante como o inverso do cosseno de um arco.
sec a = 1 , sendo cos a ≠ 0, e portanto a ≠ π + k π, k ∈ Z.
cos a 2
Seno de um arco
Observemos a figura a seguir:
 ≥ – maior ou igual
≤ – menor ou gual
→ – função de A em B
∃ – existe
∀ – qualquer que seja
| – tal que
U – conjunto-universo
N – conjunto dos números naturais
Z – conjunto dos números inteiros
R – conjunto dos números reais
C – conjunto dos números complexos.
Sistema de numeração binário
No sistema de numeração binário, ao contrário do sistema de
numeração decimal, na qual a base é 10, são utilizados apenas
dois dígitos, o zero e o 1 para representar todos os números.
O sistema de numeração binário é utilizado muito freqüente-
mente nos dias atuais, pois é a base de funcionamento dos
computadores. Como o computador é um equipamento ele-
trônico, ele entende apenas os sinais elétricos que passam
por ele e assim o 1 do sistema de numeração binário significa
que está passando corrente elétrica e o 0 significa que não
está passando corrente elétrica no momento. Todas as infor-
mações que passamos para o computador, letras, números
etc. são transformados para seqüências de 0 e 1. Esse sistema
foi desenvolvido pelo matemático inglês George Boole
(1815-1864).
Sistema de numeração decimal
No sistema de numeração decimal são utilizados dez dígitos
para representar todos os números. O sistema de numeração
decimal é a base para os nossos cálculos do cotidiano.
Sistema de numeração hexadecimal
No sistema de numeração hexadecimal, ao contrário do sistema
de numeração decimal, na qual a base é 10, são utilizados de-
zesseis dígitos para representar todos os números; são eles:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. O sistema de
numeração hexadecimal é utilizado muito freqüentemente pe-
los programadores, analistas e engenheiros de sistema, pois
representa um sistema que é uma potência do binário, que é a
base de funcionamento dos computadores. Com isso, reduz-se
o número de algarismos da representação e minimiza-se a ocor-
rência de erros. No sistema hexadecimal cada quatro bits são
representados por um algarismo hexadecimal.
Ao arco AB está associado ao ângulo α. Sendo o triângulo
OBC retângulo , podemos determinar o seno de α:
sen α = cateto oposto/hipotenusa
sen α = BC
Assim, sempre que quisermos saber o seno de um arco, basta
projetá-lo no eixo dos y, o eixos dos senos.
Como o ciclo trigonométrico tem raio 1, –1 ≤ sen α ≤ 1.
Quanto ao sinal que o seno assume, acima do 0 no eixo dos y, o
seno assume valores positivos e abaixo do 0, valores negativos.
Símbolos
Os símbolos mais usuais em Matemática são:
∈ – pertence
∉ – não pertence
= – é; é o mesmo que; é igual a
≠ – é diferente de
⊂ – está contido; é subconjunto de
⊄ – não está contido
⊃ – contém
⊃ – não contém
∅, { } – conjunto vazio
∩ – interseção
∪ – união
⇒ – implica
≡ – equivale
< – maior que
> – menor que
123
Matemática
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Sistema de numeração octal
No sistema de numeração octal, ao contrário do sistema de
numeração decimal, na qual a base é 10, são utilizados oito
dígitos para representar todos os números, são eles 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7. O sistema de numeração octal é utilizado muito
freqüentemente pelos programadores, analistas e engenheiros
de sistema, pois representa um sistema que é uma potência do
binário, que é a base de funcionamento dos computadores.
Com isso, reduz-se o número de algarismos da representação
e minimiza-se a ocorrência de erros. No sistema octal cada três
bits são representados por um algarismo octal.
Sistema de inequações do 1o grau
Ao resolver um sistema de inequações do 1o grau com uma
incógnita, o objetivo é determinar o conjunto de valores que ao
mesmo tempo satisfaçam as duas desigualdades. Vejamos como
resolver o exemplo a seguir.
Representamos cada solução numa reta, e efetuamos a
intersecção:
S = {x e R | – 1 ≤ x < }
Resolução:
Resolver um sistema é determinar o conjunto de valores de x
que podem ser substituídos nas duas equações, tornando-as
verdadeiras. Para isto, resolvemos separadamente cada uma das
inequações e efetuamos a intersecção dos resultados.
x + 3 ≥ – 2x –x + 1 > 4x + 5
x + 2x ≥ – 3 2
3x ≥ – 3 –x + 2 > 8x + 10
x ≥ – 1 2 2
– x – 8x > 10 – 2
– 9x > 8 (–1)
(multiplicamos por – 1 e invertemos o sinal)
9x < – 8 ⇒ x <
- 8
9
- 8
9
-1
-1
S
x > -1 
__-8
9
x <
__-8
9
__-8
9
Soma dos termos de um progressão
aritmética finita
A soma dos n termos de uma progressão aritmética finita é dada
pela fórmula:
S = (a1 + an) n
2
onde a1 é o primeiro elemento e an o último elemento da se-
qüência.
Soma dos termos de um progressão
geométrica finita
A soma dos n termos de uma progressão geométrica finita é
dada pela fórmula:
S = a1 (q
n – a1)
 q –1
onde q é a razão da progressão geométrica e a1 é o primeiro
termo da seqüência.
Soma dos termos de um progressão
geométrica infinita
A soma dos n termos de uma progressão geométrica infinita é
dada pela fórmula:
S = a1
 q –1
onde 0 < |q| < 1.
T
Teorema
Teorema é uma verdade que tem que ser provada por meio de
demonstração.
Teorema da decomposição de um polinômio
Todo polinômio P(x) = anxn + an-1xn-1 + ...+ a2x2 + a1x 
 + a0
de grau n > 0, pode ser decomposto em um produto de n
fatores do tipo (x – a), onde a é raiz de P(x).
P(x) = an (x – a1) (x – a2)... (x – an), onde a1, a2 ... an
são raízes de P(x).
Teorema de Pitágoras
Em todo triângulo retângulo a soma dos quadrados das medi-
das dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
Teorema dos cossenos
Em qualquer triângulo, o quadrado da medida de um lado é
igual à soma dos quadrados das medidas dos outros lados
menos o dobro do produto das medidas desses lados pelo
cosseno do ângulo formado por eles.
Segundo o enunciado do teorema, temos:
a2 = b2 + c2 – 2 . b . c . cos Â
b2 = a2 + c2 – 2 . a . c . cos B
c2 = a2 + b2 – 2 . a . b . cos C
Consideremos a relação a2 = b2 + c2 – 2 . b . c . cos Â. Para
demonstrá-la, devemos considerar três casos:
1) Â é ângulo reto
Aplicando o teorema dos cossenos ao lado a
a2 = b2 + c2 – 2 . b . c . 0, pois cos 90° = 0
a2 = b2 + c2 (teorema de Pitágoras)
^
^
x + 3 ≥ –2x
–x + > 4x + 5
2
5
124
Suplemento de Pesquisa e Informação
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
2) Â é ângulo agudo
A altura h, relativa ao lado AB, divide o triângulo ABC em dois
triângulos retângulos. Aplicando o teorema de Pitágoras aos
triângulos AHC e BHC, temos: b2 = h2 + x2 (I)
a2 = h2 + (c – x)2 = h2 + c2 – 2cx + x2
a2 – c2 + 2cx = h2 + x2 (II)
como (I) = (II) ⇒ b2 = a2 – c2 + 2cx (III)
Observando a figura, temos cos  = , portanto, x = b . cos Â. Subs-
tituindo em (III), temos: b2 = a2 – c2 + 2 . c . b . cos Â, de onde:
a2 = b2 + c2 – 2 . b . c . cos Â
Teorema dos senos
Em qualquer triângulo, as medidas dos lados são proporcio-
nais aos senos dos ângulos opostos.
Assim, segundo o teorema dos senos, temos que:
3) Â é ângulo obtuso
Novamente, ao traçarmos a altura h, relativa ao lado AB, temos
dois triângulos retângulos. Aplicando o teorema de Pitágoras
aos triângulos AHC e BHC, temos: b2 = h2 + x2 (I)
a2 = h2 + (c + x)2 = h2 + c2 + 2cx + x2
a2 – c2 – 2cx = h2 + x2 (II)
como (I) = (II) ⇒ b2 = a2 – c2 – 2cx ou a2 = b2 + c2 + 2cx (III)
Da figura, determinamos cos (180o – Â) =
Como cos (180o – Â) = – cos Â, temos que: x = – b . cos Â
Substituindo em (III), temos: a2 = b2 + c2 – 2 . b . c . cos Â
x
b
a
sen A
b
sen B
c
sen Cˆ ˆ ˆ
= =
Teorema fundamental da álgebra
Toda equação algébrica P(x) = 0, de grau n > 0, admite pelo