Matematica em açao (86)

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22. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_0^1 2x \, dx \). 
 Resposta: A integral definida é 1. Explicação: A integral de \( 2x \) de 0 a 1 é \( 
(x^2)\big|_0^1 = 1^2 - 0^2 = 1 \). 
 
23. Problema: Resolva a equação \( \log_{10}(x + 2) = 3 \). 
 Resposta: A solução é \( x = 998 \). Explicação: A equação é equivalente a \( 10^3 = x + 2 
\), portanto \( x = 998 \). 
 
24. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{4x^3 - 2x + 1}{3x^3 + 5x^2 + 2} 
\). 
 Resposta: O limite é \( \frac{4}{3} \). Explicação: Ao dividir todos os termos por \( x^3 \) e 
aplicar a regra do limite para termos de maior grau, obtemos \( \frac{4}{3} \). 
 
25. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \sqrt{x^3 + 1} \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}} \). Explicação: 
Utilizamos a regra da cadeia para derivar a função. 
 
26. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \cos^2(x) \). 
 Resposta: A integral de \( \cos^2(x) \) é \( \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C \), onde \( C \) 
é uma constante de integração. Explicação: Utilizamos a identidade trigonométrica \( 
\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \) e integramos termo a termo. 
 
27. Problema: Resolva a equação \( e^{2x} = 10 \). 
 Resposta: A solução é \( x = \frac{\ln(10)}{2} \). Explicação: Tomando o logaritmo natural 
de ambos os lados, obtemos \( 2x = \ln(10) \), então \( x = \frac{\ln(10)}{2} \). 
 
28. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x^2} \). 
 Resposta: O limite é \( \infty \). Explicação: A função \( \frac{\sin(x)}{x^2} \) não está 
definida em \( x = 0 \), mas o limite tende ao infinito conforme \( x \) se aproxima de zero. 
 
29. Problema: Encontre a derivada de \( g(x) = \frac{\tan(x)}{x} \). 
 Resposta: A derivada de \( g(x) \) é \( g'(x) = \frac{\sec^2(x) - \tan(x)}{x^2} \). Explicação: 
Utilizamos a regra do quociente para derivar a função.