Cálculos de Cálculo

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Resposta: A integral definida é \( \ln(2) \). Explicação: Integramos \( \frac{1}{x + 1} \) e 
avaliamos nos limites de integração. 
 
63. Problema: Resolva a equação \( 2^{x + 2} = 32 \). 
 Resposta: A solução é \( x = 3 \). Explicação: Dividindo ambos os lados por 4, obtemos \( 
2^{x + 2} = 2^5 \), então \( x + 2 = 5 \), então \( x = 3 \). 
 
64. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 - 3x^2 + 2}{4x^3 + 2x - 5} 
\). 
 Resposta: O limite é \( \frac{5}{4} \). Explicação: Ao dividir todos os termos por \( x^3 \) e 
aplicar a regra do limite para termos de maior grau, obtemos \( \frac{5}{4} \). 
 
65. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(\sin(x)) \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \). Explicação: Utilizamos 
a regra da cadeia e a derivada da função logarítmica. 
 
66. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \frac{1}{1 + e^x} \). 
 Resposta: A integral de \( \frac{1}{1 + e^x} \) é \( -\ln|1 + e^x| + C \), onde \( C \) é uma 
constante de integração. Explicação: Utilizamos a substituição \( u = 1 + e^x \) para 
simplificar a integral. 
 
67. Problema: Resolva a equação \( 3^{x - 1} = 9 \). 
 Resposta: A solução é \( x = 2 \). Explicação: Dividindo ambos os lados por 3, obtemos \( 
3^{x - 1} = 3^2 \), então \( x - 1 = 2 \), então \( x = 2 \). 
 
68. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{16x^2 - 3}}{3x - 2} \). 
 Resposta: O limite é \( \frac{4}{3} \). Explicação: Dividindo o numerador e o denominador 
por \( x \) e aplicando a regra do limite para termos de maior grau, obtemos \( \frac{4}{3} \). 
 
69. Problema: Encontre a derivada 
 
 de \( g(x) = e^{\tan(x)} \). 
 Resposta: A derivada de \( g(x) \) é \( g'(x) = \sec^2(x)e^{\tan(x)} \). Explicação: Utilizamos 
a regra da cadeia e a derivada da função exponencial.