Métodos Numéricos e Cálculos

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12. Problema: Determine a solução aproximada para \( x \) em \( \tan(x) = 2x \) utilizando o 
método da secante. 
 Resposta: A solução aproximada é \( x \approx 1.1656 \). 
 
13. Problema: Implemente o método de Jacobi para resolver o sistema de equações 
lineares: 
 \[ 
 \begin{align*} 
 4x + y - z &= 5 \\ 
 -x + 3y + 2z &= -10 \\ 
 2x + 3y + 10z &= 4 
 \end{align*} 
 \] 
 Resposta: A solução aproximada é \( x \approx 1.3846 \), \( y \approx -2.3077 \), \( z 
\approx 1.3077 \). 
 
14. Problema: Utilize a interpolação polinomial de Newton para encontrar o polinômio 
interpolador dos pontos \( (-1,4) \), \( (0,1) \), \( (2,11) \) e \( (3,26) \). 
 Resposta: O polinômio interpolador é \( P(x) = 1 + 3x + 2x^2 \). 
 
15. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' = \cos(x) \) utilizando o método de Euler 
com \( y(0) = 0 \) e \( h = 0.1 \). 
 Resposta: A solução aproximada em \( x = 1 \) é \( y \approx 0.8526 \). 
 
16. Problema: Calcule a integral \( \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(x)}{x} dx \) utilizando a regra do 
ponto médio com 8 subintervalos. 
 Resposta: A integral aproximada é \( \approx 1.8519 \). 
 
17. Problema: Determine a raiz de \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) utilizando o método de 
Newton-Raphson com aproximação inicial \( x_0 = 2 \). 
 Resposta: A raiz aproximada é \( x \approx 3 \). 
 
18. Problema: Utilize o método de Runge-Kutta de quarta ordem para resolver a equação 
diferencial \( y'' = -y \) com \( y(0) = 1 \) e \( y'(0) = 0 \) em \( x = 2 \). 
 Resposta: A solução aproximada é \( y \approx -1.0802 \). 
 
19. Problema: Implemente o método de Newton para encontrar a raiz de \( f(x) = x^3 - 3x + 
1 \) com precisão de \(10^{-4}\).