Aula 3 - Funções

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Matemática e Tecnologia
Aula 3 – Funções
Funções
Funções referem-se essencialmente à correspondência entre conjuntos (quando uma grandeza depende de uma outra);
 Uma função associa a elementos de um conjunto, elementos de outro conjunto;
Em nosso estudo os conjuntos envolvidos sempre serão subconjuntos dos números reais;
Definição
Sejam A e B subconjuntos de . Uma função f: A→B é uma lei ou regra em que cada elemento de A faz correspondência com um único elemento de B. 
O conjunto A é denominado domínio de f e é representado por D(f), ao passo que B é chamado de contradomínio ou campo de valores de f.
Exemplo 1
Exemplo 2
O preço a ser pago em função da quantidade de litros de combustível abastecidos. Considerando o preço da gasolina igual a R$ 5,50, temos a seguinte lei de formação: f(x) = 5,50*x, onde f(x) é o preço a pagar e x é a quantidade de litros.
f(0) =
f(1) =
f(2) =
f(5) =
F(10) =
Gráfico de uma função
O gráfico de uma função é o seu reflexo.
Através do gráfico, podemos definir de que tipo é a função mesmo sem saber qual é a sua lei de formação. Isso porque cada função tem sua representação gráfica particular.
Plano Cartesiano
É o ambiente onde o gráfico será construído. Ele é estabelecido pelo encontro dos eixos cartesianos x e y, conhecidos como eixo das abscissas e eixo das ordenadas.
Cada ponto do gráfico é conhecido como par ordenado, pois ele é formado pelo encontro de um valor das abscissas com um valor das ordenadas. A linha que une os pares ordenados é conhecida como curva da função.
Plano Cartesiano
Exemplo 3
Construir o gráfico da função y = x + 1
1º Passo: Escolher valores para x e encontrar. É importante escolher números subsequentes. Além disso, é sempre bom saber os pontos em que x = 0 e y = 0 (zero da função).
2º Passo: Montar uma tabela com os valores de x para encontrar os valores de y:
Exemplo 3
3º Passo: Encontrar os pares ordenados no plano cartesiano
Exemplo 3
4º Passo: Traçar o gráfico, ligando os pontos.
Função Constante
É uma função cujo valor é o mesmo para todos os valores de entrada.
Função do 1º Grau
É toda função que associa a cada número real x, o número real ax + b; com a ≠ 0;
a = coeficiente angular; b = coeficiente linear;
O gráfico é uma reta não paralela aos eixos coordenados;
Exemplo 4
Um líquido está inicialmente à temperatura de 25°C. Após 1 minuto a temperatura sobe para 30°C, após 2 minutos é de 35°C e continua subindo linearmente até a temperatura de 80°C, quando o aquecimento é encerrado. Escreva um modelo matemático para o processo. Após quantos minutos a temperatura será de 80°C?
Gráfico - Função do 1º Grau
Reta: f(x) = ax + b
a = coeficiente angular	
Indica por a inclinação da reta.
Quando a > 0, a função é crescente e o ângulo que a reta forma com o eixo dos x é < 90°.
Quando a < 0, a função é decrescente e o ângulo que a reta forma com o eixo dos x é > 90°.
Apenas um ponto corta o eixo x, e esse ponto é a raiz da função.
Gráfico - Função do 1º Grau
f(x) = 2x - 1
f(x) = -x + 1
Reta: f(x) = ax + b
b = coeficiente linear	
Indica por qual ponto numérico a reta intercepta o eixo das ordenadas (y).
Gráfico - Função do 1º Grau
Gráfico - Função do 1º Grau
Exemplo 5
Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções: 
Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$ 140,00 e R$ 20,00 por consulta num certo período. 
Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$ 110,00 e R$ 25,00 por consulta num certo período.
Temos que o gasto total de cada plano é dado em função do número de consultas (x) dentro do período estabelecido. 
Determinar: 
a) A função correspondente a cada plano. 
b) Em qual situação o plano A é mais econômico; o plano B é mais econômico; os dois se equivalem. 
Função do 2º Grau ou Quadrática
Definida por f(x) = ax² + bx + c
Seu domínio são todos o números reais;
O gráfico de uma função do 2º grau é dada por uma parábola. Se a > 0  concavidade para cima; Se a < 0  concavidade para baixo.
Função do 2º Grau
As raízes de uma função do 2º grau são os pontos onde a parábola intercepta o eixo x.
Encontramos as raízes, resolvendo a equação do 2º grau correspondente: ax² + bx + c = 0.
Dependendo do valor do discriminante (Δ), podemos ter diferentes situações gráficas:
Δ > 0: a equação possui duas raízes reais e diferentes. A parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos.
Função do 2º Grau
Δ = 0: a equação possui apenas uma raiz real. A parábola intercepta o eixo x em um único ponto.
Δ < 0: a equação não possui raízes reais. A parábola não intercepta o eixo x.
Gráfico – Função Quadrática
Δ > 0
Δ = 0
Δ < 0
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Pontos Notáveis do Gráfico de uma Equação do 2º Grau
Quando o valor do coeficiente a for menor que zero, a parábola possuirá valor máximo; Quando a for maior que zero, a parábola possuirá valor mínimo.
O valor do coeficiente c na lei de formação da função corresponde ao valor do eixo y onde a parábola o intercepta.
Exemplo 6
O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação 
y = – 40x² + 200x
onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil, em x segundos após o lançamento. Qual a altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar?
Resolver via Excel, usando pontos notáveis
Dica: encontre primeiro a função da parábola
Exemplo 7
Sabe-se que o custo de C para produzir x unidades de certo produto é dado pela expressão C = x² – 80x + 3000. Calcule a quantidade (I) de unidades produzidas para que o custo seja mínimo e o valor (II) desse custo mínimo. 
Função Polinomial
São classificadas de acordo com o grau de seu polinômio. 
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