Aula exericico de matematica-181

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y' = 3x + y 
 \end{cases} 
 \] 
 Resposta: \( x(t) = c_1e^t + 2c_2e^{2t} \) e \( y(t) = 3c_1e^t + c_2e^{2t} \). Explicação: 
Resolvendo as equações diferenciais acopladas. 
 
57. Calcule a derivada direcional da função \( f(x,y) = x^2 + 2y^2 \) no ponto \( (1,2) \) na 
direção do vetor \( \langle 3,4 \rangle \). 
 Resposta: \( D_{\vec{v}}f(1,2) = 26 \). Explicação: Aplicando a fórmula da derivada 
direcional. 
 
58. Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' - 2y' - 3y = e^x \). 
 Resposta: \( y(x) = c_1e^{3x} + c_2e^{-x} + \frac{1}{4}e^x \). Explicação: Usando o método 
do fator integrante para equações não homogêneas. 
 
59. Calcule a integral \( \int \frac{1}{x^3 - 1} \, dx \). 
 Resposta: \( \frac{1}{6}\ln\left|\frac{x-1}{x^2+x+1}\right| + C \), onde \( C \) é uma 
constante de integração. Explicação: Usando decomposição em frações parciais. 
 
60. Determine a área da região limitada pela curva \( y = \sqrt{x} \) e a linha \( y = x \). 
 Resposta: \( \frac{1}{3} \) unidades quadradas. Explicação: Encontrando os pontos de 
interseção da curva e a linha e integrando. 
 
61. Encontre a solução do sistema de equações lineares: 
 \[ 
 \begin{cases} 
 x - 2y + z = 2 \\ 
 2x + y - z = 3 \\ 
 3x - y + 2z = 4 
 \end{cases} 
 \] 
 Resposta: \( x = 1, \, y = 0, \, z = 1 \). Explicação: Usando métodos de álgebra linear para 
resolver sistemas de equações.