material com questão -V

Prévia do material em texto

- C) \( \cos 2x \) 
 - D) \( \sin 2x \) 
 **Resposta:** D) \( \sin 2x \) 
 **Explicação:** Usando a regra do produto: \( \frac{d}{dx} \left( \sin x \cdot \cos x \right) = 
\cos^2 x - \sin^2 x = \sin 2x\). 
 
15. **Problema:** Qual é o valor de \(\left| \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} 
\right|\)? 
 - A) -1 
 - B) 1 
 - C) 7 
 - D) 8 
 **Resposta:** D) 8 
 **Explicação:** O determinante de uma matriz \(2 \times 2\) é dado por \(ad - bc\). Assim, 
\(\det \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} = 2 \cdot 7 - 5 \cdot 3 = 14 - 15 = -1\). 
 
16. **Problema:** Qual é o valor de \(\frac{d}{dx} \left( \ln(x^2 + 1) \right)\)? 
 - A) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 - B) \(\frac{x}{x^2 + 1}\) 
 - C) \(\frac{2}{x^2 + 1}\) 
 - D) \(\frac{1}{x^2 + 1}\) 
 **Resposta:** A) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia: \( \frac{d}{dx} \left( \ln(x^2 + 1) \right) = 
\frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}\). 
 
17. **Problema:** Qual é o valor de \( \int_1^e \frac{1}{x} \, dx \)? 
 - A) 1 
 - B) \( \ln e \) 
 - C) \( \ln e - \ln 1 \) 
 - D) \( \ln e - 1 \) 
 **Resposta:** A) 1 
 **Explicação:** A integral de \(\frac{1}{x}\) é \(\ln |x|\). Avaliando de 1 a \(e\), temos \(\ln e 
- \ln 1 = 1 - 0 = 1\). 
 
18. **Problema:** Se \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \), qual é o valor de \( f'(2) \)? 
 - A) 1 
 - B) 2 
 - C) 4 
 - D) 8 
 **Resposta:** A) 1 
 **Explicação:** A derivada de \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \) é \( f'(x) = 3x^2 - 6x \). Portanto, \( 
f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 = 12 - 12 = 0 \). 
 
19. **Problema:** Qual é o valor de \( \sum_{k=1}^{n} k \cdot (k+1) \)? 
 - A) \(\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\) 
 - B) \(\frac{n(n+1)(n+2)}{2}\) 
 - C) \(\frac{n(n+1)}{2}\) 
 - D) \(\frac{n(n+1)(n+1)}{3}\) 
 **Resposta:** A) \(\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\) 
 **Explicação:** Usando a fórmula da soma dos produtos de dois inteiros consecutivos, a 
soma é dada por \(\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\). 
 
20. **Problema:** Qual é o valor de \( \int_0^\pi \sin^2 x \, dx \)? 
 - A) \(\frac{\pi}{2}\) 
 - B) \(\pi\) 
 - C) \(\frac{\pi}{4}\) 
 - D) \(\frac{\pi}{3}\) 
 **Resposta:** A) \(\frac{\pi}{2}\) 
 **Explicação:** Usando a identidade \(\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}\), a integral torna-se 
\(\int_0^\pi \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \frac{\pi}{2}\). 
 
21. **Problema:** Qual é o número de permutações de 4 objetos distintos? 
 - A) 12 
 - B) 24 
 - C) 20 
 - D) 6 
 **Resposta:** B) 24 
 **Explicação:** O número de permutações de \(n\) objetos distintos é \(n!\). Portanto, para 
4 objetos, é \(4! = 24\). 
 
22. **Problema:** Qual é a soma dos ângulos internos de um hexágono? 
 - A) \(720^\circ\) 
 - B) \(540^\circ\) 
 - C) \(360^\circ\) 
 - D) \(180^\circ\) 
 **Resposta:** A) \(720^\circ\) 
 **Explicação:** A soma dos ângulos internos de um polígono é dada por \((n-2) \cdot 
180^\circ\). Para um hexágono (\(n = 6\)), temos \((6-2) \cdot 180^\circ = 720^\circ\). 
 
23. **Problema:** Qual é a integral de \( \int x e^x \, dx \)? 
 - A) \( e^x (x - 1) + C \) 
 - B) \( e^x (x + 1) + C \) 
 - C) \( e^x (x + 1) - C \) 
 - D) \( e^x (x - 1) - C \) 
 **Resposta:** A) \( e^x (x - 1) + C \) 
 **Explicação:** Usando integração por partes, temos \( \int x e^x \, dx = e^x (x - 1) + C \). 
 
24. **Problema:** Qual é a soma dos primeiros 5 termos da sequência aritmética com o 
primeiro termo 2 e a diferença comum 3? 
 - A) 35 
 - B) 40 
 - C) 45 
 - D) 50 
 **Resposta:** A) 35 
 **Explicação:** O \(n\)-ésimo termo de uma PA é dado por \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\). 
Assim, os termos são 2, 5, 8, 11, 14 e a soma é \( \frac{n}{2} (a_1 + a_n) = \frac{5}{2} (2 + 14) = 
35 \).