Prévia do material em texto

--- 
 
**95.** Calcule o valor de \(\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x}}{x} \, dx\). 
**Resposta:** \(\Gamma(0)\), que é indefinido 
**Explicação:** A integral representa a função gama incompleta e é indefinida. 
 
--- 
 
**96.** Resolva a equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = y \ln(x)\). 
**Resposta:** \(y = e^{\frac{x^2}{2}}\) 
**Explicação:** Usamos a separação de variáveis para resolver a equação. 
 
--- 
 
**97.** Determine a integral \(\int e^{x^2} \, dx\). 
**Resposta:** Não tem solução em termos de funções elementares 
**Explicação:** A integral é conhecida por não ter uma antiderivada em termos de funções 
elementares e é relacionada à função erro \( \text{erf}(x) \). 
 
--- 
 
**98.** Calcule a integral \(\int_{0}^{\pi} \sin(x) \cos(x) \, dx\). 
**Resposta:** \(\frac{1}{2}\) 
**Explicação:** Usamos a identidade trigonométrica \(\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)\) e 
integramos. 
 
--- 
 
**99.** Encontre a transformada de Laplace de \(\cos(at)\). 
**Resposta:** \(\frac{s}{s^2 + a^2}\) 
**Explicação:** Fórmula padrão para a transformada de Laplace de \(\cos(at)\). 
 
--- 
 
**100.** Resolva a integral \(\int e^{2x} \cos(x) \, dx\). 
**Resposta:** \(\frac{e^{2x}}{5} (2 \cos(x) + \sin(x)) + C\) 
**Explicação:** Usamos integração por partes duas vezes. 
 
Se precisar de mais detalhes sobre alguma dessas questões ou outras dúvidas, é só avisar! 
Claro! Aqui estão 100 problemas de Cálculo 1, com suas respostas e explicações: 
 
1. **Calcule a derivada de** \( f(x) = x^3 + 3x^2 - 5x + 2 \). 
 Resposta: \( f'(x) = 3x^2 + 6x - 5 \). 
 Explicação: A derivada de um polinômio é encontrada derivando cada termo separadamente. 
 
2. **Encontre a integral de** \( \int (2x^3 - x + 4) \, dx \). 
 Resposta: \( \frac{1}{2}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + 4x + C \). 
 Explicação: Integre cada termo individualmente aplicando a regra da potência para cada um. 
 
3. **Calcule a integral definida de** \( \int_{1}^{2} (x^2 - 3x + 2) \, dx \). 
 Resposta: \( \frac{1}{3} \). 
 Explicação: Primeiro, encontre a antiderivada e depois avalie a diferença entre os limites 
superior e inferior. 
 
4. **Determine o valor da integral** \( \int e^{2x} \, dx \). 
 Resposta: \( \frac{1}{2} e^{2x} + C \). 
 Explicação: Use a regra da integração exponencial para resolver. 
 
5. **Encontre a derivada de** \( f(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) \). 
 Explicação: Use a regra do produto e as identidades trigonométricas. 
 
6. **Calcule a integral de** \( \int \frac{1}{x^2} \, dx \).