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Questões resolvidas

Calcule a transformada de Laplace de \(\sin(at)\).

Resolva a equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} + 4y = 0 \).

Determine a integral \( \int e^x \sin(x) dx \).

Encontre a transformada de Laplace de \( t \cos(at) \).

Calcule a integral \( \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 4x + 5} \, dx \).

Resolva a equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} - y = 0 \).

Calcule o limite \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}.

Encontre a derivada de \( f(x) = x^3 - 5x^2 + 6x - 2 \).

Calcule a integral \int (3x^2 + 2x + 1) \, dx.

Determine o limite: \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - 4x + 1}{x^3 + 3x^2 - x + 2} \).

Encontre a derivada de f(x) = e^{2x}.

Calcule a integral \( \int_0^1 (4x - 2) \, dx \).

Determine o limite: \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x - 3}{2x + 7} \).

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Questões resolvidas

Calcule a transformada de Laplace de \(\sin(at)\).

Resolva a equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} + 4y = 0 \).

Determine a integral \( \int e^x \sin(x) dx \).

Encontre a transformada de Laplace de \( t \cos(at) \).

Calcule a integral \( \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 4x + 5} \, dx \).

Resolva a equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} - y = 0 \).

Calcule o limite \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}.

Encontre a derivada de \( f(x) = x^3 - 5x^2 + 6x - 2 \).

Calcule a integral \int (3x^2 + 2x + 1) \, dx.

Determine o limite: \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - 4x + 1}{x^3 + 3x^2 - x + 2} \).

Encontre a derivada de f(x) = e^{2x}.

Calcule a integral \( \int_0^1 (4x - 2) \, dx \).

Determine o limite: \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x - 3}{2x + 7} \).

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55. **Problema:** Calcule a transformada de Laplace de \( \sin(at) \). 
 **Resposta:** \(\frac{a}{s^2 + a^2}\). 
 **Explicação:** A transformada de Laplace de \(\sin(at)\) é \(\frac{a}{s^2 + a^2}\). 
 
56. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} - 4y = 0 \). 
 **Resposta:** \(y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}\). 
 **Explicação:** A equação diferencial característica é \(r^2 - 4 = 0\), com raízes \(r = \pm 
2\). Assim, a solução geral é \(y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}\). 
 
57. **Problema:** Determine a integral \(\int e^{-x} \sin(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{e^{-x}}{2} (\sin(x) - \cos(x)) + C\). 
 **Explicação:** Usando integração por partes, obtemos a solução como \(\frac{e^{-x}}{2} 
(\sin(x) - \cos(x)) + C\). 
 
58. **Problema:** Encontre a transformada de Laplace de \(t \cos(at)\). 
 **Resposta:** \(\frac{s}{(s^2 + a^2)^2} \). 
 **Explicação:** A transformada de Laplace de \(t \cos(at)\) é \(\frac{s}{(s^2 + a^2)^2}\). 
 
59. **Problema:** Calcule a integral \(\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 4x + 5} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{2}\). 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = x + 2\), a integral se transforma em \(\int_{-
\infty}^{\infty} \frac{1}{u^2 + 1} \, du\), cujo valor é \(\pi\), mas a integral original é 
\(\frac{\pi}{2}\). 
 
60. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} + y = 0 \). 
 **Resposta:** \(y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)\). 
 **Explicação:** A equação diferencial característica é \(r^2 + 1 = 0\), com raízes \(r = \pm i\). 
Assim, a solução geral é \(y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)\). 
 
Espero que isso ajude! Se precisar de mais alguma coisa, estou à disposição. 
Entendido! Vamos começar com os problemas. Aqui estão os primeiros: 
 
1. Calcule o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\). 
Resposta: 1. Explicação: A função \(\frac{\sin(x)}{x}\) tende a 1 quando \(x\) se aproxima de 0, 
um resultado conhecido do cálculo de limites fundamentais. 
 
2. Encontre a derivada de \(f(x) = x^3 - 5x^2 + 6x - 2\). 
Resposta: \(f'(x) = 3x^2 - 10x + 6\). Explicação: Usando a regra do poder para derivadas, cada 
termo da função é derivado separadamente. 
 
3. Calcule a integral \(\int (3x^2 - 2x + 1) \, dx\). 
Resposta: \(x^3 - x^2 + x + C\). Explicação: Integre cada termo separadamente usando a regra 
de integração para polinômios. 
 
4. Determine o limite: \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - 4x + 1}{x^3 + 3x^2 - x + 2}\). 
Resposta: 2. Explicação: Divida o numerador e o denominador pelo termo de maior grau 
\(x^3\). 
 
5. Encontre a derivada de \(f(x) = e^{2x}\). 
Resposta: \(f'(x) = 2e^{2x}\). Explicação: A derivada da função exponencial \(e^{kx}\) é 
\(ke^{kx}\). 
 
6. Calcule a integral \(\int_0^1 (4x - 2) \, dx\). 
Resposta: 1. Explicação: Encontre a antiderivada e avalie a diferença entre os limites superior e 
inferior. 
 
7. Determine o limite: \(\lim_{x \to \infty} \frac{5x - 3}{2x + 7}\). 
Resposta: \(\frac{5}{2}\). Explicação: Para \(x\) grande, os termos constantes tornam-se 
insignificantes. 
 
8. Encontre a derivada de \(f(x) = \ln(x)\). 
Resposta: \(f'(x) = \frac{1}{x}\). Explicação: A derivada do logaritmo natural é \(\frac{1}{x}\). 
 
9. Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^2} \, dx\). 
Resposta: \(-\frac{1}{x} + C\). Explicação: Use a regra de integração para funções da forma 
\(\frac{1}{x^n}\).

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