Prévia do material em texto
55. **Problema:** Calcule a transformada de Laplace de \( \sin(at) \). **Resposta:** \(\frac{a}{s^2 + a^2}\). **Explicação:** A transformada de Laplace de \(\sin(at)\) é \(\frac{a}{s^2 + a^2}\). 56. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} - 4y = 0 \). **Resposta:** \(y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}\). **Explicação:** A equação diferencial característica é \(r^2 - 4 = 0\), com raízes \(r = \pm 2\). Assim, a solução geral é \(y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}\). 57. **Problema:** Determine a integral \(\int e^{-x} \sin(x) \, dx\). **Resposta:** \(\frac{e^{-x}}{2} (\sin(x) - \cos(x)) + C\). **Explicação:** Usando integração por partes, obtemos a solução como \(\frac{e^{-x}}{2} (\sin(x) - \cos(x)) + C\). 58. **Problema:** Encontre a transformada de Laplace de \(t \cos(at)\). **Resposta:** \(\frac{s}{(s^2 + a^2)^2} \). **Explicação:** A transformada de Laplace de \(t \cos(at)\) é \(\frac{s}{(s^2 + a^2)^2}\). 59. **Problema:** Calcule a integral \(\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 4x + 5} \, dx\). **Resposta:** \(\frac{\pi}{2}\). **Explicação:** Usando a substituição \(u = x + 2\), a integral se transforma em \(\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{u^2 + 1} \, du\), cujo valor é \(\pi\), mas a integral original é \(\frac{\pi}{2}\). 60. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} + y = 0 \). **Resposta:** \(y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)\). **Explicação:** A equação diferencial característica é \(r^2 + 1 = 0\), com raízes \(r = \pm i\). Assim, a solução geral é \(y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)\). Espero que isso ajude! Se precisar de mais alguma coisa, estou à disposição. Entendido! Vamos começar com os problemas. Aqui estão os primeiros: 1. Calcule o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\). Resposta: 1. Explicação: A função \(\frac{\sin(x)}{x}\) tende a 1 quando \(x\) se aproxima de 0, um resultado conhecido do cálculo de limites fundamentais. 2. Encontre a derivada de \(f(x) = x^3 - 5x^2 + 6x - 2\). Resposta: \(f'(x) = 3x^2 - 10x + 6\). Explicação: Usando a regra do poder para derivadas, cada termo da função é derivado separadamente. 3. Calcule a integral \(\int (3x^2 - 2x + 1) \, dx\). Resposta: \(x^3 - x^2 + x + C\). Explicação: Integre cada termo separadamente usando a regra de integração para polinômios. 4. Determine o limite: \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - 4x + 1}{x^3 + 3x^2 - x + 2}\). Resposta: 2. Explicação: Divida o numerador e o denominador pelo termo de maior grau \(x^3\). 5. Encontre a derivada de \(f(x) = e^{2x}\). Resposta: \(f'(x) = 2e^{2x}\). Explicação: A derivada da função exponencial \(e^{kx}\) é \(ke^{kx}\). 6. Calcule a integral \(\int_0^1 (4x - 2) \, dx\). Resposta: 1. Explicação: Encontre a antiderivada e avalie a diferença entre os limites superior e inferior. 7. Determine o limite: \(\lim_{x \to \infty} \frac{5x - 3}{2x + 7}\). Resposta: \(\frac{5}{2}\). Explicação: Para \(x\) grande, os termos constantes tornam-se insignificantes. 8. Encontre a derivada de \(f(x) = \ln(x)\). Resposta: \(f'(x) = \frac{1}{x}\). Explicação: A derivada do logaritmo natural é \(\frac{1}{x}\). 9. Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^2} \, dx\). Resposta: \(-\frac{1}{x} + C\). Explicação: Use a regra de integração para funções da forma \(\frac{1}{x^n}\).