aprendendo e fazendo N

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**Resposta:** Sim, o conjunto \(\mathbb{R}^2\) com a adição e multiplicação por escalar 
usuais forma um espaço vetorial, satisfazendo os axiomas de um espaço vetorial. 
 
9. **Teoria dos Números:** Determine todos os números primos que podem ser expressos 
como a soma de dois quadrados. 
 **Resposta:** Um número primo \(p\) pode ser expresso como a soma de dois quadrados se 
e somente se \(p = 2\) ou \(p \equiv 1 \mod 4\). 
 
10. **Teoria dos Conjuntos:** Prove que a interseção de dois conjuntos é subconjunto de 
cada um dos conjuntos. 
 **Resposta:** Se \(x \in A \cap B\), então \(x \in A\) e \(x \in B\). Portanto, \(A \cap B 
\subseteq A\) e \(A \cap B \subseteq B\). 
 
11. **Análise Complexa:** Determine os polos da função \(f(z) = \frac{1}{(z-1)(z-2)}\). 
 **Resposta:** Os polos são \(z = 1\) e \(z = 2\). 
 
12. **Álgebra Linear:** Encontre o valor próprio e o vetor próprio da matriz \(\begin{pmatrix} 
2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\). 
 **Resposta:** Os valores próprios são \(3\) e \(1\). Para \(\lambda = 3\), o vetor próprio é 
\(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Para \(\lambda = 1\), o vetor próprio é 
\(\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 
 
13. **Cálculo Diferencial:** Encontre a derivada da função \(f(x) = \sin(x^2)\). 
 **Resposta:** Usando a regra da cadeia, a derivada é \(f'(x) = 2x \cos(x^2)\). 
 
14. **Análise Funcional:** Dada a função \(f(x) = e^{-x}\), determine se \(f\) é uma função 
contínua em \(\mathbb{R}\). 
 **Resposta:** Sim, a função \(f(x) = e^{-x}\) é contínua em \(\mathbb{R}\) pois é uma 
composição de funções contínuas. 
 
15. **Geometria Analítica:** Determine a equação da reta que passa pelos pontos \((1, 2)\) e 
\((3, 4)\). 
 **Resposta:** A equação da reta é \(y = x + 1\). 
 
16. **Teoria dos Números:** Prove que a soma de dois números ímpares é sempre par. 
 **Resposta:** Se \(a\) e \(b\) são ímpares, então \(a = 2m + 1\) e \(b = 2n + 1\). A soma \(a + 
b = 2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1)\), que é par. 
 
17. **Álgebra Linear:** Dada a matriz \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\), 
determine sua determinante e inversa. 
 **Resposta:** A determinante é \(\text{det} = 1\). A inversa é \(\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 
& 0 \end{pmatrix}\). 
 
18. **Análise Real:** Encontre os intervalos onde a função \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8\) é 
crescente ou decrescente. 
 **Resposta:** A derivada \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 12\) tem raízes em \(x = 2\). A função é 
crescente para \(x > 2\) e decrescente para \(x < 2\). 
 
19. **Probabilidade:** Se você tira uma carta de um baralho padrão de 52 cartas, qual é a 
probabilidade de obter uma carta de espadas? 
 **Resposta:** Há 13 espadas em um baralho de 52 cartas. Portanto, a probabilidade é 
\(\frac{13}{52} = \frac{1}{4}\). 
 
20. **Cálculo:** Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\). 
 **Resposta:** O limite é 1. 
 
21. **Teoria dos Grafos:** Determine o número de caminhos simples de comprimento 2 em 
um grafo completo \(K_4\). 
 **Resposta:** Em \(K_4\), cada vértice tem 3 arestas conectando-se a outros vértices. Há 
\(4 \times 3 = 12\) caminhos de comprimento 2. Mas cada caminho é contado duas vezes, 
então o número é 6. 
 
22. **Álgebra Linear:** Encontre a matriz de mudança de base que transforma a base \(\{(1, 
0), (0, 1)\}\) em \(\{(1, 1), (1, -1)\}\). 
 **Resposta:** A matriz de mudança de base é \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 
\end{pmatrix}\). 
 
23. **Teoria dos Conjuntos:** Se \(A = \{1, 2, 3\}\) e \(B = \{2, 3, 4\}\), determine \(A \cup B\) 
e \(A \cap B\). 
 **Resposta:** \(A \cup B = \{1