CÁLC II ENG Aula 06

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<p>AULA Nº 06</p><p>CÁLCULO II ENGENHARIA</p><p>PROF. CLAUDIO POSSANI</p><p>INTEGRAL DUPLA E TRIPLA</p><p>VOLUME E INTEGRAL DUPLA</p><p>VOLUME E INTEGRAL DUPLA</p><p>MOTIVAÇÃO: calcular o volume do sólido</p><p>situado abaixo do gráfico de 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 e acima</p><p>do plano 𝑥𝑦 (ou plano 𝑧 = 0)</p><p>VOLUME E INTEGRAL DUPLA</p><p>Área debaixo</p><p>do gráfico de</p><p>uma função</p><p>de ℝ→ℝ</p><p>1 2 3</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>x</p><p>y</p><p>VOLUME E INTEGRAL DUPLA</p><p>TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO</p><p>PRIMITIVA: Uma PRIMITIVA de uma função</p><p>𝑦 = 𝑓(𝑥) é uma função 𝐹 𝑥 com a propriedade</p><p>𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥)</p><p>VOLUME E INTEGRAL DUPLA</p><p>TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO</p><p>𝑎׬</p><p>𝑏</p><p>𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)</p><p>VOLUME E INTEGRAL DUPLA</p><p>TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO</p><p>𝑎׬</p><p>𝑏</p><p>𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)</p><p>න</p><p>0</p><p>𝜋</p><p>𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥|</p><p>𝜋</p><p>0</p><p>= −𝑐𝑜𝑠𝜋 − −𝑐𝑜𝑠0 = 1 + 1 = 2</p><p>VOLUME E INTEGRAL DUPLA</p><p>VOLUME E INTEGRAL DUPLA</p><p>VOLUME E INTEGRAL DUPLA</p><p>𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑗) ∙ Á𝑟𝑒𝑎(𝑅𝑖𝑗)</p><p>É um estimador do volume do sólido acima do</p><p>plano 𝑥𝑧 , abaixo do gráfico de 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 e</p><p>sobre o retângulo 𝑅𝑖𝑗</p><p>VOLUME E INTEGRAL DUPLA</p><p>A 𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑅𝑖𝑒𝑚𝑎𝑛𝑛 de 𝑓 𝑥, 𝑦 , relativa à partição</p><p>P e à escolha dos pontos (𝑥𝑖 , 𝑦𝑗) é:</p><p>𝑆(𝑓, 𝑃, 𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 ) = ෍</p><p>𝑖,𝑗</p><p>𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑗) ∙ Á𝑟𝑒𝑎(𝑅𝑖𝑗)</p><p>VOLUME E INTEGRAL DUPLA</p><p>෍</p><p>𝑖,𝑗</p><p>𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑗) ∙ Á𝑟𝑒𝑎(𝑅𝑖𝑗)</p><p>É um estimador do volume do sólido acima do</p><p>plano 𝑥𝑧 , abaixo do gráfico de 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 e</p><p>sobre a região 𝐷</p><p>VOLUME E INTEGRAL DUPLA</p><p>VOLUME E INTEGRAL DUPLA</p><p>𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 é 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟á𝑣𝑒𝑙 𝑒𝑚 𝐷 se existe e é finito o</p><p>limite lim</p><p>𝑃 →0</p><p>σ𝑖,𝑗 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑗) ∙ Á𝑟𝑒𝑎(𝑅𝑖𝑗)</p><p>sendo 𝑃 o diâmetro da partição P</p><p>VOLUME E INTEGRAL DUPLA</p><p>NOTAÇÃO:</p><p>𝐷׭</p><p>𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦</p><p>ou</p><p>𝐷׭</p><p>𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴</p><p>INTEGRAL DEFINIDA DE 𝑓(𝑥, 𝑦) EM D</p><p>VOLUME E INTEGRAL DUPLA</p><p>Se 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0 então o volume debaixo do</p><p>gráfico de 𝑓(𝑥, 𝑦) e acima do plano 𝑥𝑦 é</p><p>𝐷׭</p><p>𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦</p><p>VOLUME E INTEGRAL DUPLA</p><p>Se 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ 0 então a integral definida em D</p><p>é o oposto do volume entre o gráfico de</p><p>𝑓(𝑥, 𝑦) e o plano 𝑥𝑦</p><p>Volume= − 𝐷׭</p><p>𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦</p><p>VOLUME E INTEGRAL DUPLA</p><p>Uma condição suficiente para a existência da</p><p>Integral Definida em D é a continuidade da função</p><p>𝑓 𝑥, 𝑦 na região D</p><p>VOLUME E INTEGRAL DUPLA</p><p>Uma condição suficiente para a existência da</p><p>Integral Definida em D é a continuidade da função</p><p>𝑓 𝑥, 𝑦 na região D</p><p>𝑓 𝑥, 𝑦 contínua em D ⇒ 𝑓 integrável em D</p><p>VOLUME E INTEGRAL DUPLA</p><p>APLICAÇÃO :</p><p>Se 𝛿 = 𝛿(𝑥, 𝑦) é uma distribuição de massa</p><p>(densidade) na região D então</p><p>𝐷׭</p><p>𝛿(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦= Massa de D</p><p>VOLUME E INTEGRAL DUPLA</p><p>Valem propriedades operatórias básicas:</p><p>𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑔 𝑥, 𝑦 ⇒ 𝐷׭</p><p>𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 ≥ 𝐷׭</p><p>𝑔 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴</p><p>𝐷׭</p><p>𝑘𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = 𝑘 𝐷׭</p><p>𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴</p><p>𝐷׭</p><p>(𝑓 + 𝑔)𝑑𝐴 = 𝐷׭</p><p>𝑓𝑑𝐴 + 𝐷׭</p><p>𝑔𝑑𝐴</p><p>INTEGRAIS TRIPLAS</p><p>Vamos estudar integração de funções de 3 variáveis.</p><p>A interpretação de “volume debaixo do gráfico”</p><p>remete ao espaço de quatro dimensões !</p><p>𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ3 → ℝ</p><p>𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)</p><p>INTEGRAIS TRIPLAS</p><p>Gráfico da função 𝑓:</p><p>𝐺𝑟𝑎𝑓 𝑓 =</p><p>(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) ∈ ℝ4| (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐷, 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)</p><p>INTEGRAIS TRIPLAS</p><p>Vamos adotar a interpretação física do cálculo da</p><p>massa de um sólido a partir da densidade.</p><p>𝑤 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = densidade (distribuição de massa)</p><p>de um sólido D.</p><p>INTEGRAIS TRIPLAS</p><p>𝑤 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = densidade de um sólido D.</p><p>Para obter a massa de D, fazemos uma partição</p><p>de D, através de planos paralelos aos planos do</p><p>sistema de coordenadas.</p><p>D fica decomposto em paralelepípedos de faces</p><p>paralelas aos planos coordenados.</p><p>INTEGRAIS TRIPLAS</p><p>𝑥0, 𝑦0, 𝑧0</p><p>INTEGRAIS TRIPLAS</p><p>Escolhemos um ponto 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 e calculamos</p><p>𝑓 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0</p><p>𝑓 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 ∙Volume (𝑃𝑖𝑗𝑘)</p><p>é um estimador para a massa de 𝑃𝑖𝑗𝑘</p><p>INTEGRAIS TRIPLAS</p><p>෍</p><p>𝒊𝒋𝒌</p><p>𝑓 𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 , 𝑧𝑘 ∙ Volume (𝑃𝑖𝑗𝑘)</p><p>é um estimador para a massa de D</p><p>INTEGRAIS TRIPLAS</p><p>෍</p><p>𝒊𝒋𝒌</p><p>𝑓 𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 , 𝑧𝑘 Volume (𝑃𝑖𝑗𝑘)</p><p>é a Soma de Riemann de 𝑓 relativa à partição feita e</p><p>relativa à escolha de pontos 𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 , 𝑧𝑘</p><p>INTEGRAIS TRIPLAS</p><p>𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ3 → ℝ é INTEGRÁVEL em D se o limite</p><p>lim</p><p>𝑃 →0</p><p>෍</p><p>𝒊𝒋𝒌</p><p>𝑓 𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 , 𝑧𝑘 ∙ Volume (𝑃𝑖𝑗𝑘)</p><p>existir e for finito</p><p>INTEGRAIS TRIPLAS</p><p>NOTAÇÃO:</p><p>𝐷׮</p><p>𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 ou ׮𝐷</p><p>𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧</p><p>INTEGRAIS TRIPLAS</p><p>Interpretações</p><p>𝐷׮</p><p>𝛿 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 = massa de D com densidade 𝛿</p><p>𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1⇒ 𝐷׮</p><p>𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 = 𝐷׮</p><p>1𝑑𝑉 é o volume</p><p>de D.</p><p>INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS</p>