Exercícios - Aula 4

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<p>Lista de Exerćıcios - Aula 4 - Zeros de Função (Parte 2)</p><p>Unidade 1 / Módulo 2 / RAE</p><p>1. Determine uma raiz aproximada da equação x3 − 2x2 − 5 = 0 utilizando o método de</p><p>Newton com aproximação inicial x0 = 2 e com precisão ε = 10−1.</p><p>2. Considere um vulcão em erupção. A relação entre a distância y (Km) percorrida pela</p><p>lava e o tempo t (horas) é dada por:</p><p>y = 7(2− 0, 9t).</p><p>Existe uma aldeia no sopé da montanha a uma distância y = 10. O gabinete de proteção</p><p>civil advertiu os moradores da aldeia de que a lava chegaria às suas casas em menos de</p><p>6 horas. Utilizando o método de Newton, calcule o instante de tempo em que a lava do</p><p>vulcão atinge a aldeia. Considere ε = 10−3 e utilize 4 casas decimais em seus cálculos</p><p>(por arredondamento). Dica: (ax)′ = ax ln(a)</p><p>3. Utilize o método da Secante para calcular a raiz de</p><p>√</p><p>x− 5e−x = 0, tomando como apro-</p><p>ximações iniciais x0 = 1,4 e x1 = 1,5. Considere como precisão ε = 10−1 e utilize o erro</p><p>relativo como critério de parada.</p><p>4. A pressão máxima P , dada em Kg/mm2, que um cabo metálico suporta é dada por:</p><p>P (d) = 25d2 + ln(d),</p><p>em que d é o diâmetro, dado em mm. Determine o valor do diâmetro necessário para</p><p>suportar uma pressão de 1,5 × 10−4 Kg/mm2. Sabendo que esse diâmetro pertence ao</p><p>intervalo [0,2; 0,3], utilize o método da Secante para calcular uma aproximação com erro</p><p>inferior a 10−3. Considere 4 casas decimais em seus cálculos.</p><p>5. A equação c(x) = 10 − 20(e−0,2x − e−0,75x) pode ser usada para calcular o ńıvel de con-</p><p>centração de oxigênio c num rio, em função da distância x, medida a partir do local de</p><p>descarga de poluentes.</p><p>Utilizando um método numérico que recorre ao cálculo de derivadas, calcule a distância</p><p>para a qual o ńıvel de oxigênio seja 5. Utilize para aproximação inicial x0 = 1 e precisão</p><p>ε = 10−1.</p><p>6. Considere a função f(x) =</p><p>√</p><p>x+ 1 − sen(x) − 1. Sabendo que esta função possui 3</p><p>zeros, localize-os, isto é, determine o intervalo que contém esses zeros (teoricamente ou</p><p>graficamente, como preferir).</p><p>Em seguida, utilize o método da Secante para determinar um destes zeros, tomando como</p><p>aproximações iniciais x0 = 2 e x1 = 2, 4. Considere como precisão ε = 10−2.</p><p>7. Considere a função f(x) = ex−x2+3x−2. Localize o zero desta função, isto é, determine</p><p>o intervalo que contém seu zero. Em seguida, encontre uma aproximação para este zero</p><p>utilizando o método de Newton com precisão ε = 5 · 10−2.</p><p>Respostas:</p><p>1. x̄ = 2,6979895</p><p>2. x̄ = 5,3114</p><p>3. x̄ = 1,4</p><p>4. x̄ = 0,2392</p><p>5. x̄ = 0,6023</p><p>6. x̄ = 2,222418</p><p>7. x̄ = 0,257529</p><p>Bons estudos!</p><p>2</p>