CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

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<p>Questão 2 Respondida</p><p>No arsenal ao qual cientistas recorrem com o intuito de combater epidemias, os modelos matemáticos estão</p><p>entre os itens estratégicos. Mais do que estimar como será a disseminação da doença, o número de infectados e o</p><p>percentual de mortes e hospitalizações, essas ferramentas permitem simular inúmeros cenários e, assim, testar a</p><p>eficácia de intervenções que podem ser adotadas pelas autoridades de saúde para reduzir o contágio, como o</p><p>fechamento de escolas, o cancelamento de eventos públicos e a restrição de viagens.</p><p>Com o objetivo de mitigar os efeitos causados por uma epidemia, uma cidade elaborou um modelo matemático</p><p>que calcula o número de pessoas infectadas pela epidemia em função do tempo t medido em dias a partir do</p><p>primeiro dia da epidemia. Este modelo é representado pela seguinte função:</p><p>Portanto, pode-se afirmar que a razão de expansão da epidemia no sexto dia, calculada em número de pessoas</p><p>infectadas por dia, é igual a</p><p>74.</p><p>80.</p><p>82,75.</p><p>408,75.</p><p>489.</p><p>80.</p><p>Sua resposta</p><p>A razão de expansão da epidemia no sexto dia, calculada em número de pessoas infectadas por dia,</p><p>corresponde à taxa de variação (derivada) da função calculada no dia . Tem-se que</p><p>. Portanto: .</p><p>Prova</p><p>final</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL</p><p>Acertos 5 de 10</p><p>Nota 25 pontos</p><p>Corretas Erradas</p><p>1 2 3 4 5</p><p>6 7 8 9 10</p><p>Anterior Próxima</p><p>Correção da Prova</p><p>Tamanho da fonte</p><p>Questão 3 Respondida</p><p>As aplicações das definições matemáticas são primordiais nos estudos físicos, pois através de cálculos obtemos</p><p>comprovações para as teorias relacionadas à Física. As funções trigonométricas seno, cosseno e tangente, bem</p><p>como suas inversas, estão presentes em diversos ramos da Física, auxiliando nos cálculos relacionados à</p><p>Cinemática, Dinâmica, Óptica entre outras. Dessa forma, Matemática e Física caminham juntas com o objetivo</p><p>único de fornecer conhecimentos e ampliar novas pesquisas científicas.</p><p>Outras funções que também podem ser estudadas são as funções derivadas das funções trigonométricas. Para</p><p>calcular a derivada da função podemos fazer _____, ou mesmo _____. Então, usando a Regra do</p><p>Quociente temos que _____.</p><p>Assinale a alternativa que preenche corretamente as lacunas.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>Sua resposta</p><p>De fato, podemos afirmar que . Pela Regra do Quociente podemos</p><p>determinar</p><p>.</p><p>Prova</p><p>final</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL</p><p>Acertos 5 de 10</p><p>Nota 25 pontos</p><p>Corretas Erradas</p><p>1 2 3 4 5</p><p>6 7 8 9 10</p><p>Anterior Próxima</p><p>Correção da Prova</p><p>Tamanho da fonte</p><p>Questão 4 Respondida</p><p>Para determinar a derivada da função o aluno José, do Curso de Cálculo, representou a função</p><p>como o produto de duas funções, quais sejam, e e aplicou a Regra do Produto. Ao</p><p>aplicar a Regra do Produto obteve:</p><p>Já a aluna Maria, preferiu expandir a função representando-a por e calcular a derivada</p><p>utilizando a Regra da Potência.</p><p>Ao observar as estratégias utilizadas pelos dois alunos, um colega teceu o seguinte comentário:</p><p>(I) Apenas a estratégia de José está correta</p><p>PORQUE</p><p>(II) Quando uma função é representada pelo produto de duas funções sua derivada só pode ser</p><p>calculada como .</p><p>Em relação a esse comentário é correto afirmar que</p><p>As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa da primeira.</p><p>As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa da primeira.</p><p>A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.</p><p>A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.</p><p>Ambas as asserções são proposições falsas.</p><p>A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.</p><p>Sua resposta</p><p>Ao expandir a função representando-a por e aplicar a Regra da Potência</p><p>para calcular sua derivada, obtemos . Logo, a estratégia utilizada por Maria também é</p><p>válida, o que implica em afirmar que quando uma função é representada pelo produto de duas funções</p><p>, sua derivada não precisa ser determinada necessariamente pela Regra do Produto.</p><p>Prova</p><p>final</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL</p><p>Acertos 5 de 10</p><p>Nota 25 pontos</p><p>Corretas Erradas</p><p>1 2 3 4 5</p><p>6 7 8 9 10</p><p>Anterior Próxima</p><p>Correção da Prova</p><p>Tamanho da fonte</p><p>Questão 5 Respondida</p><p>Ao estudar a propagação do som em um tubo um cientista se deparou com a função . Considere</p><p>esta função definida no intervalo , cujo gráfico é apresentado a seguir:</p><p>Podem ser construídas retas tangentes associadas ao gráfico de , desde que sejam fixados os pontos</p><p>pertencentes ao seu gráfico.</p><p>Com base nessas informações, a inclinação da reta tangente ao gráfico de , passando pelo ponto fica</p><p>corretamente determinada por</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>Sua resposta</p><p>Prova</p><p>final</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL</p><p>Acertos 5 de 10</p><p>Nota 25 pontos</p><p>Corretas Erradas</p><p>1 2 3 4 5</p><p>6 7 8 9 10</p><p>Anterior Próxima</p><p>Correção da Prova</p><p>Tamanho da fonte</p><p>Utilizando a Regra do Produto temos que: .</p><p>Questão 6 Sem resposta</p><p>A derivada de uma função , em relação à variável , correspondente à função descrita por:</p><p>.</p><p>Ao calcular a derivada da função pela definição de limites, um aluno de Cálculo</p><p>Diferencial e Integral apresentou a seguinte resolução:</p><p>Em relação a essa resolução, um colega teceu o seguinte comentário:</p><p>(I) A derivada não é igual a</p><p>PORQUE</p><p>(II) ao utilizar a definição de derivada por limites, deveria ter substituído, no cálculo do limite, por zero.</p><p>Em relação a esse comentário é correto afirmar que:</p><p>As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa da primeira.</p><p>As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa da primeira.</p><p>A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.</p><p>A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.</p><p>Ambas as asserções são proposições falsas.</p><p>Ambas as asserções são proposições falsas.</p><p>Sua resposta</p><p>A primeira derivada da função é, de fato, , o que pode ser</p><p>facilmente verificado pelas regras de derivação (regra da potência, por exemplo). Logo, a primeira</p><p>asserção é falsa. Em relação à segunda asserção, ao citar a definição de derivada por limites, que</p><p>corresponde a , para calcular esse limite deveria-se, após eliminar a</p><p>indeterminação, substituir por zero, e não por zero, o que também torna a segunda asserção falsa.</p><p>Prova</p><p>final</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL</p><p>Acertos 5 de 10</p><p>Nota 25 pontos</p><p>Corretas Erradas</p><p>1 2 3 4 5</p><p>6 7 8 9 10</p><p>Anterior Próxima</p><p>Questão 7 Sem resposta</p><p>As regras de derivação são formas de generalizar a derivada de algumas funções. Elas são muito úteis quando,</p><p>ao resolver um exercício, por exemplo, podemos identificar a forma que a sua expressão assume. Por exemplo:</p><p>uma função pode ser resultado da soma de duas outras, ou o produto, a razão.</p><p>Diante desse contexto, faça a associação das funções contidas na Coluna A com suas respectivas funções</p><p>derivadas de 1ª ordem, apresentadas na Coluna B.</p><p>Coluna A Coluna B</p><p>I. 1.</p><p>II. 2.</p><p>III. 3.</p><p>IV. 4.</p><p>Assinale a alternativa que apresenta a associação correta entre as colunas.</p><p>I – 1; II – 2; III – 4; IV – 3.</p><p>I – 2; II – 1; III – 3; IV – 4.</p><p>I – 4; II – 2; III – 1; IV – 3.</p><p>I – 2; II – 4; III – 1; IV – 3.</p><p>I – 3; II – 4; III – 1; IV – 2.</p><p>I – 2; II – 4; III – 1; IV – 3.</p><p>Sua resposta</p><p>Combinando algumas regras de derivação elementares entre si (regra da constante, regra para , regra da</p><p>potência e regras de linearidade) pode-se determinar a derivada de funções polinomiais: I. Para</p><p>, tem-se . II. Para , tem-se . III. Para</p><p>, tem-se . IV. Para , tem-se</p><p>.</p><p>Prova</p><p>final</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL</p><p>Acertos 5 de 10</p><p>Nota 25 pontos</p><p>Corretas Erradas</p><p>1 2 3 4 5</p><p>6 7 8 9 10</p><p>Anterior Próxima</p><p>Correção da Prova</p><p>Tamanho da fonte</p><p>Questão 8 Sem resposta</p><p>Vamos supor uma função que nos dá o preço do combustível durante os vários meses de um ano. Se calcularmos</p><p>a função derivada do preço, em ordem aos meses, então iremos obter a variação do preço ao longo dos meses.</p><p>Isto representa a inflação do combustível. Se essa função derivada for uma constante então significa que a</p><p>inflação está</p><p>estável. As aplicações das derivadas são imensas, mas está sempre relacionado com uma taxa de</p><p>variação. O exemplo mais comum é pensarmos numa função que nos dá a deslocação de um objeto num</p><p>determinado intervalo de tempo. Enquanto que a taxa de variação da função num intervalo nos permite calcular</p><p>a velocidade média, a derivada permite-nos calcular a velocidade instantânea.</p><p>As derivadas são determinadas por meio de um processo envolvendo limites. Esse processo é cansativo, mesmo</p><p>se aplicado a funções simples. Porém, felizmente, existem regras que simplificam bastante a derivação. Essas</p><p>regras permitem o cálculo de derivadas sem o uso direto dos limites.</p><p>Um profissional de uma empresa que presta consultoria na área de Matemática estava aferindo a acurácia de um</p><p>software de modelagem matemática. Para tanto, estava verificando algumas funções derivadas determinadas</p><p>pelo software. Considere as funções indicadas a seguir, bem como suas respectivas derivadas:</p><p>I. .</p><p>II. .</p><p>III. .</p><p>As derivadas estão corretamente indicadas em</p><p>I, apenas.</p><p>I e II, apenas.</p><p>I e III, apenas.</p><p>II e III, apenas.</p><p>I, II e III.</p><p>I e II, apenas.</p><p>Sua resposta</p><p>Pela Regra do Produto, a derivada de é</p><p>. Pela Regra do Quociente, a derivada de</p><p>é</p><p>. Pela Regra</p><p>do Quociente, a derivada de é</p><p>.</p><p>Prova</p><p>final</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL</p><p>Acertos 5 de 10</p><p>Nota 25 pontos</p><p>Corretas Erradas</p><p>1 2 3 4 5</p><p>6 7 8 9 10</p><p>Anterior Próxima</p><p>Correção da Prova</p><p>Tamanho da fonte</p><p>Questão 9 Sem resposta</p><p>Uma das mais importantes aplicações de derivadas é no estudo de movimentos de corpos (Cinemática).</p><p>Consideremos o movimento de um ponto material que se move numa trajetória qualquer. Neste modelo,</p><p>denotará o espaço percorrido pelo móvel a partir de um certo ponto . A função</p><p>representa o espaço percorrido pelo móvel durante o intervalo de tempo que vai do instante ao instante .</p><p>A razão representa a velocidade _____ no intervalo dado. Já o limite</p><p>corresponde à velocidade _____, que é a _____ do espaço em relação ao tempo.</p><p>Assinale a alternativa que preenche corretamente as lacunas.</p><p>instantânea/ média/ derivada.</p><p>instantânea/ média/ integral.</p><p>média/ instantânea/ derivada.</p><p>média/ instantânea/ integral.</p><p>média/ instantânea/ aceleração.</p><p>média/ instantânea/ derivada.</p><p>Sua resposta</p><p>Vamos considerar agora o movimento de um ponto material que se move numa trajetória qualquer. Ponto</p><p>material é um ponto geométrico ao qual se associa um número positivo, que é a sua massa. A massa não</p><p>nos preocupa, enquanto não tivermos de lidar com a dinâmica do movimento, quando intervém os</p><p>conceitos de massa, força e energia. Neste modelo, denotará o espaço percorrido pelo móvel a</p><p>partir de um certo ponto . A função representa o espaço percorrido pelo móvel</p><p>durante o intervalo de tempo que vai do instante ao instante . A razão</p><p>representa a velocidade média no intervalo dado. Já o limite corresponde à</p><p>velocidade instantânea, que é a derivada do espaço em relação ao tempo.</p><p>Prova</p><p>final</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL</p><p>Acertos 5 de 10</p><p>Nota 25 pontos</p><p>Corretas Erradas</p><p>1 2 3 4 5</p><p>6 7 8 9 10</p><p>Anterior Próxima</p><p>Correção da Prova</p><p>Tamanho da fonte</p><p>Questão 10 Sem resposta</p><p>As chamadas regras de derivação permitem determinar as derivadas das funções sem o uso da definição de</p><p>derivadas. São importantes para automatização dos cálculos nos processos de resolução de problemas.</p><p>Considerando esse contexto, faça a associação das funções contidas na Coluna A com suas respectivas funções</p><p>derivadas de 1ª ordem, apresentadas na Coluna B.</p><p>Coluna A Coluna B</p><p>I. 1.</p><p>II. 2.</p><p>III. 3.</p><p>IV. 4.</p><p>Assinale a alternativa que apresenta a associação correta entre as colunas.</p><p>I – 1; II – 2; III – 4; IV – 3.</p><p>I – 2; II – 1; III – 3; IV – 4.</p><p>I – 4; II – 2; III – 1; IV – 3.</p><p>I – 2; II – 4; III – 1; IV – 3.</p><p>I – 3; II – 4; III – 1; IV – 2.</p><p>I – 2; II – 4; III – 1; IV – 3.</p><p>Sua resposta</p><p>Com base nos limites fundamentais trigonométricos podemos determinar as seguintes regras de derivação</p><p>para funções trigonométricas:para , tem-se ; para , tem-se</p><p>. Ainda, para , podemos fazer e, aplicando a regra do</p><p>quociente, tem-se que</p><p>. Já a derivada</p><p>da função exponencial recai em um logaritmo natural assumindo a forma de</p><p>.</p><p>Prova</p><p>final</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL</p><p>Acertos 5 de 10</p><p>Nota 25 pontos</p><p>Corretas Erradas</p><p>1 2 3 4 5</p><p>6 7 8 9 10</p><p>Anterior Concluir correção</p><p>Correção da Prova</p><p>Tamanho da fonte</p><p>Questão 1 Respondida</p><p>Um engenheiro, atuando em um projeto de hidráulica, se depara com um problema: construir um modelo</p><p>matemático (a partir dos conceitos de função e derivada) para uma situação de escoamento de água em um</p><p>reservatório. Sabe-se que a taxa de variação do volume de água durante as 5 primeiras horas de escoamento é</p><p>igual a 1200 litros por hora.</p><p>Representando o volume de água, em litros, por , e o tempo, em horas, por , a expressão matemática que</p><p>descreve essa situação é</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>Sua resposta</p><p>A expressão matemática que representa a taxa de variação do volume de água durante as 5 primeiras horas</p><p>de escoamento corresponde à derivada da função volume em razão do tempo, quando . Como sabe-se</p><p>que essa taxa de variação é igual a 1200 litros por hora, tem-se que .</p><p>Prova</p><p>final</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL</p><p>Acertos 5 de 10</p><p>Nota 25 pontos</p><p>Corretas Erradas</p><p>1 2 3 4 5</p><p>6 7 8 9 10</p><p>PróximaAnterior</p><p>Correção da Prova</p><p>Tamanho da fonte</p>