Avaliação I - Individual

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<p>Prova Impressa</p><p>GABARITO | Avaliação I - Individual (Cod.:988137)</p><p>Peso da Avaliação 2,00</p><p>Prova 89554900</p><p>Qtd. de Questões 10</p><p>Acertos/Erros 10/0</p><p>Nota 10,00</p><p>Frações parciais são uma técnica fundamental no cálculo integral, utilizada para decompor uma fração</p><p>em uma soma de frações mais simples. Esse método é especialmente útil para integrar funções</p><p>racionais do tipo f(x) = p(x)/q(x), tornando-as mais fáceis de serem manipuladas e integradas. Através</p><p>da decomposição em frações parciais, é possível resolver integrais que seriam difíceis ou impossíveis</p><p>de serem calculadas de outra forma.</p><p>Considerando as informações apresentadas, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre</p><p>elas.</p><p>I. Considerando o polinômio q(x) = x · (x² + 4)³, este será decomposto em quatro partes.</p><p>PORQUE</p><p>II. O polinômio q(x) apresenta um fator linear e um fator quadrático irredutível que se repete por três</p><p>vezes.</p><p>A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:</p><p>A A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa.</p><p>B A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira.</p><p>C As asserções I e II são falsas.</p><p>D As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.</p><p>E As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.</p><p>As operações inversas: adição e subtração, multiplicação e divisão, potenciação e radiciação,</p><p>exponenciação e logaritmação, já são bastante conhecidas. A integração indefinida é basicamente a</p><p>operação inversa da diferenciação. Assim, dada a derivada de uma função, o processo que consiste em</p><p>achar a função que a originou, ou seja, achar a sua primitiva denomina-se de antiderivação.</p><p>Baseado nisso, analise as opções que apresentam f(x), sendo que f'(x) = 3x² - 6x + 2 para todo x e</p><p>com f(1) = 2:</p><p>I. f(x) = 6x² - 6</p><p>II. f(x) = x³ - 3x² + 2x + 2</p><p>III. f(x) = x³ - 6x² + 2x</p><p>IV. f(x) = 3x² - 2x - 3 É correto apenas o que se afirma em</p><p>A II e III, apenas.</p><p>B I, apenas.</p><p>C II e IV, apenas.</p><p>VOLTAR</p><p>A+ Alterar modo de visualização</p><p>1</p><p>2</p><p>D II, apenas.</p><p>E I e II, apenas.</p><p>No estudo do cálculo integral, destaca-se o método de integração por partes, derivado do princípio da</p><p>derivação do produto de funções. Este método, em suma, envolve a transformação da integração de</p><p>uma função complexa em duas ou mais integrais mais simples, tornando mais acessível o processo de</p><p>resolução.</p><p>Sendo a integral</p><p>analise as opções que apresentam argumentos válidos, sobre a resolução dessa integral pelo método</p><p>de integração por partes:</p><p>I. Devemos assumir inicialmente u = x².</p><p>II. Necessitaremos utilizar por três vezes o método para resolver a integral.</p><p>III. Na segunda vez que aplicamos o método, devemos utilizar o dv = e2x dx.</p><p>IV. A integral de e2x, deve ser resolvido pelo método da substituição.</p><p>É correto o que se afirma em:</p><p>A I e II, apenas.</p><p>B I e IV, apenas.</p><p>C II e IV, apenas.</p><p>D II e III, apenas.</p><p>E I, III e IV, apenas.</p><p>O método da substituição trigonométrica, como indica o seu nome, envolve a substituição de um</p><p>termo na expressão original por uma função trigonométrica adequada. Esse método se assemelha ao</p><p>método de substituição padrão, mas com o uso específico de funções trigonométricas para simplificar</p><p>a integração. Em certos casos, é possível utilizar qualquer uma das duas substituições, porém, no caso</p><p>das trigonométricas, estas apresentam estruturas peculiar e padronizada.</p><p>Desta forma, utilizando destas ideias, analise as opções que apresentam argumentos válidos, sobre a</p><p>resolução da integral a seguir:</p><p>I. Está integral em particular, é um caso em que podemos aplicar qualquer um dos casos de</p><p>substituição.</p><p>II. Para resolver pela substituição trigonométrica, devemos adotar inicialmente x = 2sen(y).</p><p>III. É possível resolver, substituindo de forma simples u = 4 - x².</p><p>IV. O método da substituição padrão falha, pois, ao derivar uma escolha apropriada para u, a integral</p><p>não é simplificada.</p><p>É correto o que se afirma em:</p><p>A I e II, apenas.</p><p>3</p><p>4</p><p>B I e IV, apenas.</p><p>C II e IV, apenas.</p><p>D I, II e III, apenas.</p><p>E II e III, apenas.</p><p>A resolução de integrais requer a aplicação meticulosa de métodos analíticos e estratégias de</p><p>simplificação, visando encontrar soluções que capturem com precisão os aspectos fundamentais das</p><p>funções em estudo, sendo uma habilidade essencial em diversas áreas da matemática e ciências</p><p>aplicadas.</p><p>Portanto, utilizando das técnicas e métodos desenvolvidos no estudo das integrais, assinale entre as</p><p>opções a seguir, qual delas apresenta a primitiva da função f(x) = 4xex².</p><p>A 2xex² + c.</p><p>B 4xex² + c.</p><p>C 8xex² + c.</p><p>D 4ex² + c.</p><p>E 2ex² + c.</p><p>O cálculo integral desempenha um papel fundamental em uma ampla gama de disciplinas, desde a</p><p>física e a engenharia até a economia e as ciências naturais. Sua versatilidade e poder analítico</p><p>permitem modelar e resolver problemas complexos que envolvem taxas de variação e acumulação</p><p>contínua. Ele abrange dois aspectos principais: as integrais definidas e as indefinidas.</p><p>Sobre o exposto, analise as sentenças a seguir:</p><p>I. Uma integral definida tem limites de integração, enquanto uma integral indefinida não os tem.</p><p>II. A integral indefinida, tem como princípio, encontrar uma função cuja derivada seja igual à função</p><p>original.</p><p>III. Um indicador que podemos usar para definir se a integral é definida ou indefinida, é o diferencial</p><p>de integração, presente no final da integral.</p><p>IV. As integrais indefinidas, resultam em uma família de funções cuja derivada é igual à função</p><p>original.</p><p>É correto o que se afirma em:</p><p>A II e III, apenas.</p><p>B II, III e IV, apenas.</p><p>C I e III, apenas.</p><p>D I, II, III e IV.</p><p>5</p><p>6</p><p>E I, II e IV, apenas.</p><p>No estudo do cálculo integral, os métodos ou técnicas de integração são procedimentos analíticos</p><p>empregados para encontrar antiderivadas de funções. Entre as técnicas mais reconhecidas estão a</p><p>integração por substituição, por partes e por frações parciais. Especificamente, a técnica de integração</p><p>por substituição envolve a aplicação da mudança de variáveis u = g(x), facilitando a obtenção de uma</p><p>integral imediata para resolver o problema. Por exemplo, considere a integral</p><p>Dessa forma, a partir dessa integral, identifique a alternativa correta que propõe a melhor substituição</p><p>a ser utilizada:</p><p>A u = dx.</p><p>B u = 2x4.</p><p>C u = x3.</p><p>D u = e2x^4.</p><p>E u = e2x</p><p>Em situações em que uma função possui partes de sua representação gráfica acima e abaixo do eixo</p><p>das abscissas, surge um conceito crucial denominado "saldo de área". Este conceito implica que ao</p><p>calcular a integral de tal função em um intervalo de integração, o resultado não apenas representa a</p><p>área total sob o gráfico, mas também considera a diferença entre as áreas acima e abaixo do eixo das</p><p>abscissas. Desta forma, analise a representação gráfica de uma função f e sendo a, b, c e d, as áreas</p><p>positivas desta função nos respectivos intervalos (-3, -1), (-1, 2), (2, 4) e (4, 6):</p><p>Considerando as informações apresentadas, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre</p><p>elas.</p><p>I. A integral definida de -3 até 6 desta função, apresentará como resultado, a soma de a + b + c + d.</p><p>PORQUE</p><p>7</p><p>8</p><p>II. Ao calcular a área da curva no intervalo de -3 até 6, devemos separar o cálculo em quatro partes,</p><p>respeitando as partes acima e abaixo do eixo das abscissas.</p><p>A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:</p><p>A As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.</p><p>B A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira.</p><p>C As asserções I e II são falsas.</p><p>D As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.</p><p>E A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa.</p><p>Em certo momento da aula, o professor desafiou os alunos a identificarem uma estratégia para</p><p>resolver a integral apresentada a seguir</p><p>Aluno A: A integral pode ser resolvida, utilizando a integral por partes, sendo u = x² e dv = e3x³.</p><p>Aluno B: A integral pode ser resolvida, substituindo 3x³ por u, no método por substituição.</p><p>Aluno</p><p>C: A integral pode ser resolvida, dividindo a integral em duas partes, podemos integrar</p><p>separadamente x² e e3x³.</p><p>Analisando as propostas de resolução dos alunos A, B e C, assinale a alternativa correta:</p><p>A Apenas o aluno C está correto.</p><p>B Os alunos A e C estão corretos.</p><p>C Apenas o aluno B está correto.</p><p>D Os alunos A e B estão corretos.</p><p>E Apenas o aluno A está correto.</p><p>No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva</p><p>no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de problemas da física, como na</p><p>determinação da posição em todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade</p><p>instantânea em todos os instantes. Para resolver estas integrais, podemos recorrer a alguns métodos de</p><p>resolução. Um deles é o método da integração por substituição.</p><p>9</p><p>10</p><p>Sobre o exposto, analise as sentenças a seguir:</p><p>É correto o que se afirma em:</p><p>A I, II e IV, apenas.</p><p>B I e II, apenas.</p><p>C II, III e IV, apenas.</p><p>D II e III, apenas.</p><p>E I, III e IV, apenas.</p><p>Imprimir</p>