Circunferência e Círculo (1)

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Matemática – Prof. Mariana
CIRCUNFERÊNCIA
Circunferência: Tome um ponto 𝑂 e uma distância 𝑅.
Circunferência é o lugar geométrico dos pontos no
plano que estão à mesma distância 𝑅 de 𝑂. Essa
distância é chamada de raio.
Vale lembrar que: Circunferência ≠ Círculo!
- Círculo é toda a região do plano delimitada por uma
circunferência.
- Circunferência é apenas a linha que dá forma à figura.
ELEMENTOS DA CIRCUNFERÊNCIA
• Centro: Ponto equidistante dos pontos da
circunferência;
• Raio: Distância entre o centro e qualquer ponto da
circunferência;
• Arco: Parte da circunferência delimitada por dois de
seus pontos;
• Corda: Segmento de reta que une dois pontos
distintos da circunferência;
• Diâmetro: É a corda que passa pelo centro (vale duas
vezes o raio). É o maior tamanho que uma corda pode
ter;
• Flecha: segmento de reta que une o ponto médio da
corda ao ponto médio do arco correspondente. Esse
segmento é perpendicular à corda.
COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA E DE ARCOS
Dada uma circunferência com centro 𝑂 e raio 𝑅, seu
comprimento é obtido pela seguinte fórmula:
𝐶 = 2𝜋𝑅; 𝜋 ≅ 3,14
Para se calcular o comprimento de um arco de
circunferência, basta fazer uma regra de 3 relacionando
o tamanho angular do arco (𝛼) e o comprimento angular
de toda circunferência (360 graus ou 2𝜋 radianos).
Comprimento Ângulo
𝑥 𝛼
2𝜋𝑅 360°
ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA
- Ângulo central: seu vértice está no centro da
circunferência.
- Ângulo inscrito: seu vértice é um ponto da
circunferência.
- Ângulo de segmento: formado por uma reta tangente
e uma corda com um dos extremos no ponto de
tangência (com vértice no ponto de tangência).
- Ângulo excêntrico interno: formado por duas cordas.
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- Ângulo excêntrico externo: formado por duas retas
secantes à circunferência.
- Arco capaz:
POLÍGONOS INSCRITÍVEIS
- Quadrilátero: um quadrilátero é inscritível se, e
somente se, seus ângulos opostos são suplementares.
- Triângulo retângulo: se um triângulo retângulo é
inscrito em meia circunferência, então sua hipotenusa
coincide com o diâmetro da circunferência.
CÍRCULO
Círculo: é a região formada pela união da circunferência
com a região interna desta.
- Área do círculo
Dado um círculo de raio R, sua área é 𝐴 = 𝜋𝑅²
- Área do setor circular
Para saber a área do setor circular, basta lembrar que
um setor é um pedaço do círculo e, assim, podemos
usar regra de 3 para calcular seu valor.
Temos que a área do círculo, 𝜋𝑅², vale quando
consideramos toda a circunferência, com seus 360°.
Porém, se queremos a área de um setor que só possui 𝛼
graus, temos que sua área 𝑥 será dada pela seguinte
regra de 3:
𝜋𝑅²− 360°
𝑥 − 𝛼
- Área da coroa circular
A coroa circular é a região entre dois círculos
concêntricos de raio 𝑟 e 𝑅. A área da coroa circular é
igual a área do círculo de raio 𝑅menos a área do círculo
de raio r.
𝐴𝑐𝑐 = 𝜋(𝑅²− 𝑟² )
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- Área do segmento circular
Popularmente conhecida como “bordinha da pizza”,
essa área é limitada por uma corda e o arco da
circunferência. Para calculá-la, fazemos uma subtração
entre a área do setor correspondente e o triângulo
formado pelos raios e a referida corda.
𝐴𝑠𝑒𝑔 = 𝐴𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 − 𝐴∆
EXERCÍCIOS
1. O diâmetro das rodas de uma bicicleta é 52 cm. Qual
será a distância percorrida pela bicicleta após as rodas
darem 10 voltas completas?
2. CALCULE o comprimento do arco AB em cada item a
seguir, considerando o raio da circunferência e o ângulo
central indicado.
a)
b)
3. O pêndulo de um relógio cuco mede 20 cm. A cada
movimento que realiza, o pêndulo descreve um arco
cujo ângulo central é igual a 36°. Qual é o comprimento
do arco descrito pelo pêndulo?
4. CALCULE o valor de alpha e beta nos quadriláteros
inscritos, sabendo que O é o centro da circunferência.
a)
b)
5. Usando a propriedade dos ângulos excêntricos
exteriores, DETERMINE, em cada caso, o valor de x.
a)
b)
6. (PUC Minas) O ângulo x, na figura a seguir, mede:
a. 60° b. 80° c. 90° d. 100 e. 120°
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7. (UFMG) Observe a figura:
Suponha que as medidas dos ângulos PSQ, QSR E SPR
assinalados na figura, e sejam 45°, 18° e 38°,
respectivamente. A medida do ângulo PQS, em graus, é:
a. 38° b. 63° c. 79° d. 87°
8. (Feevale-RS) Um grupo de amigos resolveu "abraçar"
uma árvore centenária com 4 metros de diâmetro.
Considere que cada um deles consegue abraçar 0,4
metros da árvore. Nessas condições, quantos amigos
foram necessários para conseguir fechar o abraço na
árvore?
a. 16 amigos b. 10 amigos
c. 6 amigos d. 4 amigos
e. 3 amigos
9. (Vunesp) Uma empresa tem o seguinte logotipo
Se a medida do raio da circunferência inscrita no
quadrado é 3 cm, a área, em cm², de toda a região
pintada de preto é:
a. 9 - (9π/4) b. 18 - (9π/4)
c. 18 - (9π/2) d. 36 - (9π/4)
e. 36 - (9π/2)
10. (FMP-RS-2019) A figura a seguir mostra um círculo
que representa uma região cuja área mede 600 m². No
círculo está destacado um setor circular, definido por
um ângulo central que mede 24°.
Quantos metros quadrados, medo a área da região
representada pelo setor circular:
a. 25 b. 40 c. 24 d. 48 e. 20
11. CALCULE a área colorida em cada item a seguir:
a)
b)
12. Na figura, temos um triângulo equilátero de lado 6
cm. Qual é a área da região sombreada sabendo que os
pontos D, E e F são pontos médios dos lados do
triângulo?
13. (UnB-DF) Na figura, aparecem duas
semi-circunferências de diâmetro com medida igual ao
lado do quadrado. CALCULE a área colorida.
14. (UNIRIO-RJ) Uma placa de cerâmica com uma
decoração simétrica, cujo desenho está na figura a
seguir, é usada para revestir a parede de um banheiro.
Sabendo-se que cada placa é um quadrado de 30 cm de
lado, a área da região hachurada é:
a. 900 - 125π b. 900 (4 - π)
c. 500π - 900 d. 500π - 225
e. 225 (4 - π)