provas AWY

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1. **Problema 1:** 
 Calcule a integral definida \(\int_0^1 (3x^2 + 2x) \, dx\). 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 1.5 
 d) 1.33 
 **Resposta:** b) 1. 
 **Explicação:** A integral é \(\int (3x^2 + 2x) \, dx = x^3 + x^2 + C\). Avaliando de 0 a 1, 
temos \((1^3 + 1^2) - (0 + 0) = 1 + 1 = 2\). 
 
2. **Problema 2:** 
 Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 5 
 c) 1 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) 5. 
 **Explicação:** Usando a regra do limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k\), temos 
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} = 5\). 
 
3. **Problema 3:** 
 Resolva a equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = 3y\). 
 a) \(y = e^{3x}\) 
 b) \(y = Ce^{3x}\) 
 c) \(y = 3x + C\) 
 d) \(y = 3e^{x}\) 
 **Resposta:** b) \(y = Ce^{3x}\). 
 **Explicação:** A equação é separável. Integrando, temos \(\ln|y| = 3x + C\), que leva a 
\(y = Ce^{3x}\). 
 
4. **Problema 4:** 
 Calcule a derivada de \(f(x) = x^4 - 5x^2 + 6\). 
 a) \(4x^3 - 10x\) 
 b) \(3x^2 - 5\) 
 c) \(x^3 - 5x\) 
 d) \(4x^2 - 10\) 
 **Resposta:** a) \(4x^3 - 10x\). 
 **Explicação:** Usando a regra da potência, temos \(f'(x) = 4x^3 - 10x\). 
 
5. **Problema 5:** 
 Qual é a série de Taylor de \(f(x) = e^x\) em torno de \(x = 0\)? 
 a) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\) 
 b) \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}\) 
 c) \(\sum_{n=0}^{\infty} x^n\) 
 d) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}\) 
 **Resposta:** a) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\). 
 **Explicação:** A série de Taylor para \(e^x\) é dada por \(f(x) = e^x = \sum_{n=0}^{\infty} 
\frac{x^n}{n!}\). 
 
6. **Problema 6:** 
 Calcule a integral \(\int x \cos(x^2) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{2} \sin(x^2) + C\) 
 b) \(-\frac{1}{2} \sin(x^2) + C\) 
 c) \(\cos(x^2) + C\) 
 d) \(\sin(x^2) + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{2} \sin(x^2) + C\). 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = x^2\), \(du = 2x \, dx\), obtemos \(\int x 
\cos(x^2) \, dx = \frac{1}{2} \sin(x^2) + C\). 
 
7. **Problema 7:** 
 Determine a convergência da série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\). 
 a) Diverge 
 b) Converge 
 c) Converge condicionalmente 
 d) Não pode ser determinado 
 **Resposta:** b) Converge. 
 **Explicação:** A série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) é uma série p com \(p = 2 > 
1\), portanto, converge. 
 
8. **Problema 8:** 
 Calcule o determinante da matriz \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\). 
 a) -2 
 b) 2 
 c) 1 
 d) 0 
 **Resposta:** a) -2. 
 **Explicação:** O determinante é calculado como \(ad - bc = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2\). 
 
9. **Problema 9:** 
 Qual é a transformada de Laplace de \(f(t) = e^{3t}\)? 
 a) \(\frac{1}{s + 3}\) 
 b) \(\frac{1}{s - 3}\) 
 c) \(\frac{3}{s^2 + 9}\) 
 d) \(\frac{1}{s^2 + 9}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{s - 3}\). 
 **Explicação:** A transformada de Laplace é dada por \(\mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s 
- a}\), onde \(a = 3\). 
 
10. **Problema 10:** 
 Encontre a solução geral da equação diferencial \(\frac{dy}{dx} + 2y = 4\). 
 a) \(y = Ce^{-2x} + 2\) 
 b) \(y = 2 + Ce^{2x}\) 
 c) \(y = 2e^{2x} + C\) 
 d) \(y = 4e^{-2x} + C\) 
 **Resposta:** a) \(y = Ce^{-2x} + 2\).