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LISTA 46 – GEOMETRIA ANALÍTICA – ELIPSE 
PROF. CESAR ANNUNCIATO 
 
 
1. (Uece 2020) No plano, com o sistema de 
coordenadas cartesianas usual, os pontos P(5, 0) e 
Q(0, y) estão sobre o gráfico da elipse cujos focos são 
os pontos 1F (3, 0) e 2F ( 3, 0).− Nessas condições, o 
perímetro do triângulo 1 2QFF , em u.c., é 
 
u.c.  unidade de comprimento 
 
a) 20. 
b) 18. 
c) 22. 
d) 16. 
 
2. (Acafe 2019) Se a elipse de equação 
2 23x 2y 12 0+ − = intercepta o eixo das abscissas nos 
pontos A e B, e o eixo das ordenadas nos pontos C 
e D, então a área do quadrilátero de vértices A, B, C e 
D é: 
 
a) 8 6 unidades de área. 
b) 6 unidades de área. 
c) 2 6 unidades de área. 
d) 4 6 unidades de área. 
 
3. (EsPCEx 2018) Uma elipse tem centro na origem e 
vértices em (2a, 0) e (0, a), com a 0. A área do 
quadrado inscrito nessa elipse é 
 
a) 
216a
.
5
 
b) 
24a
.
5
 
c) 
212a
.
5
 
d) 
28a
.
5
 
e) 
220a
.
5
 
 
4. (EsPCEx 2017) Os valores reais de n para os quais 
a reta (t) y x n= + seja tangente à elipse de equação 
2 22x 3y 6+ = são iguais a 
 
a) 5− e 5 
b) 3− e 3 
c) 3− e 3 
d) 2− e 2 
e) 5− e 5 
 
 
5. (EsPCEx 2014) Sobre a curva 
9x2 + 25y2 – 36x + 50y – 164 = 0, assinale a alternativa 
correta. 
 
a) Seu centro é (– 2,1). 
b) A medida do seu eixo maior é 25. 
c) A medida do seu eixo menor é 9. 
d) A distância focal é 4. 
e) Sua excentricidade é 0,8. 
 
6. (Ufrn 2013) Um arquiteto projetou, para um salão 
de dimensões 22 m por 18 m, um teto de gesso em 
formato de elipse com o eixo maior medindo 20 m e o 
eixo menor, 16 m, conforme ilustra a figura abaixo. 
 
 
 
O aplicador do gesso afirmou que saberia desenhar a 
elipse, desde que o arquiteto informasse as posições 
dos focos. 
Para orientar o aplicador do gesso, o arquiteto informou 
que, na direção do eixo maior, a distância entre cada 
foco e a parede mais próxima é de 
 
a) 3 m. 
b) 4 m. 
c) 5 m. 
d) 6 m. 
 
7. (Fgv 2013) Sendo m o maior valor real que x pode 
assumir na equação analítica 2 2(x 2) 4(y 5) 36,− + + = 
e n o maior valor real que y pode assumir nessa mesma 
equação, então, m n+ é igual a 
 
a) 8. 
b) 7. 
c) 6. 
d) 4. 
e) 3. 
 
 
 
 
 
 
 
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8. (Ufpb 2011) A secretaria de infraestrutura de um
município contratou um arquiteto para fazer o projeto
de uma praça. Na figura a seguir, está o esboço do
projeto proposto pelo arquiteto: uma praça em formato
retangular medindo 80 m x 120 m, onde deverá ser
construído um jardim em forma de elipse na parte
central.
Estão destacados na figura os segmentos AC e BD que 
são, respectivamente, o eixo maior e o menor da elipse, 
bem como os pontos F1 e F2, que são os focos da elipse 
onde deverão ser colocados dois postes de iluminação. 
Com base nessas informações, conclui-se que a 
distância entre os postes de iluminação será, 
aproximadamente, de: 
a) 68 m
b) 72 m
c) 76 m
d) 80 m
e) 84 m
9. (Esc. Naval 2020) Seja uma elipse centrada na
origem de focos A(0; 4)− e B. Considere C(4; 4) e P 
pontos sobre a elipse. Dado o ponto D(3; 2), considere 
m a distância de D a P e n a distância de P a um
dos focos. O menor valor possível de m n+ é: 
a) 
5
2 2
2
 
 +  
 
b) 
5
2
2
 
+  
 
c) 
5
2 2
2
 
 −  
 
d) 2 (2 5) +
e) (2 5)+
10. (Efomm 2019) A equação 2 2(x 144) (y 225) 1+ =
representa uma 
a) elipse com focos em (0, 9) e (0, 9).−
b) circunferência de raio igual 9. 
c) parábola.
d) hipérbole.
e) elipse com centro em [12,15].
11. (AFA 2018) No plano cartesiano, os pontos P(x, y)
satisfazem a equação 
2 2(x 1) (y 2)
1
25 9
− +
+ = da curva .λ
Se 1F e 2F são os focos de ,λ tais que a abscissa de
1F é menor que a abscissa de 2F , é INCORRETO
afirmar que 
a) a soma das distâncias de P a 1F e de P a 2F é
igual a 10.
b) 1F coincide com o centro da curva 
2 2x y 6x 4y 0.+ + − =
c) 2F é exterior a 2 2x y 25.+ =
d) o ponto de abscissa máxima de λ pertence à reta
y x 8.= −
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12. (EsPCEx 2012) Num estádio de futebol em forma 
de elipse, o gramado é o retângulo MNPQ, inscrito na 
cônica, conforme mostra a figura. Escolhendo o sistema 
de coordenadas cartesianas indicado e tomando o 
metro como unidade, a elipse é descrita pela equação
+ =
2 2
2 2
x y
1.
36 60
 Sabe-se também que os focos da elipse 
estão situados em lados do retângulo MNPQ. 
Assim, a distância entre as retas MN e PQ é 
a) 48 m
b) 68 m
c) 84 m
d) 92 m
e) 96 m
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GABARITO 
Resposta da questão 1: 
 [D] 
Seja O (0, 0)= a origem do sistema de coordenadas 
cartesianas usual. 
Se 1F (3, 0),= então 1OF c 3 u.c.= = Ademais, como 
P (5, 0)= pertence à elipse, temos 
1OP F Q a 5 u.c.= = = Logo, segue de imediato que
OQ b 4 u.c.= = e, portanto, Q (0, 4)= ou 
Q (0, 4).= − Em qualquer caso, a resposta é 
1 1 2 2QF F F F Q 5 6 5
16 u.c.
+ + = + +
=
Resposta da questão 2: 
 [D] 
Tem-se que 
2 2
2 2
2 2
y x
3x 2y 12 0 1.
( 6) (2)
+ − =  + =
Logo, como =a 6 e =b 2, os vértices do 
quadrilátero têm coordenadas 
= − = − =C (0, 6), A ( 2, 0),D (0, 6) e =B (2, 0).
A resposta é 
−
 =  − − − −
− −
=
0 2 0 2 01 1
| 2 6 2 6 2 6 2 6 |
2 26 0 6 0 6
4 6 u.a.
Resposta da questão 3: 
 [A] 
Do enunciado, temos: 
A equação da elipse é dada por: 
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
x y
1
a2a
x y
1
4a a
+ =
+ =
A e B são vértices do quadrado ABCD inscrito na
elipse. 
Assim, pela figura, o lado AB do quadrado tem 
medida 2y, ou seja, sua área S é tal que 2S 4y .= 
Note, na figura, que x y,= logo, 
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
y y
1
4a a
y 4y 4a
5y 4a
4 4
5y 4a
5 5
16
4y a
5
16a
S
5
+ =
+ =
=
 = 
=
=
Resposta da questão 4: 
 [A] 
Resolvendo, inicialmente, um sistema com as 
equações da reta e da elipse: 
2 22x 3y 6
y x n
 + =

= +
Substituindo a segunda equação na primeira, temos: 
2 2
2 2
2x 3 (x n) 6
5x 6nx 3n 6 0
+  + =
+ + − =
Para a equação tenha duas raízes reais e iguais, ou 
seja a reta deve ser tangente a elipse, deveremos ter o 
valor do discriminante (delta) igual a zero. 
( ) ( )2 2
2
2
2
6n 4 5 3n 6 0
24n 120 0
24n 120
n 5
n 5
−   − =
− + =
=
=
= 
Resposta da questão 5: 
 [E] 
9x2 + 25y2 – 36x + 50y – 164 = 0 
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9(x2 – 4x + 4) + 25(y2+ 2y + 1) = 164 + 36 + 25 
9(x – 2)2 + 25(y + 1)2 = 225 
2 2(x 2) (y 1)
1
25 9
− +
+ =
Equação de uma elipse com centro no ponto (2, –1), 
eixo maior igual a 10, eixo menor igual a 6, distância 
focal igual a 8 e excentricidade e = 4/5 = 0,8. 
Portanto, a afirmação [E] é a verdadeira. 
Resposta da questão 6: 
 [C] 
Adotando convenientemente um sistema de 
coordenadas cartesianas, com origem no ponto médio 
do segmento 1 2FF , considere a figura.
Temos 1A ( 10, 0),= − 2A (10, 0),= 1B (0, 8),= 
2B (0, 8),= − 1F ( c, 0)= − e 2F (0, c),= com c 0. 
Logo, da relação fundamental da elipse, vem 
2 2 2 2 2 2
1 2 2 1B F OF OB 10 c 8
c 6.
= +  = +
 =
Portanto, a distância pedida é dada por 
2 2OP OF 11 6 5 m.− = − =
Resposta da questão 7: 
 [C] 
Reescrevendo a equação 2 2(x 2) 4(y 5) 36,− + + =
obtemos 
2 2
2 2
(x 2) (y 5)
1,
6 3
− +
+ =
que é a equação de uma elipse centrada em (2, 5),− 
com o semieixo maior paralelo ao eixo das abscissas. 
Logo, como a 6= e b 3,= temos m 2 6 8= + = e 
n 5 3 2.= − + = − Portanto, m n 8 ( 2) 6.+ = + − = 
Resposta da questão 8: 
 [D] 
2 2 2
2
d 30 50
d 1600
d 40m
2d 80m (distância focal)
+ =
=
=
=
Resposta da questão 9: 
 [A] 
Considere a figura.Sabendo que a elipse está centrada na origem, temos 
c 4= e B (0, 4).= Ademais, como o eixo maior está 
contido no eixo das ordenadas, segue que a equação 
da elipse é 
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2 2
2 2
x y
1.
b a
+ =
Pela relação fundamental da elipse, sabemos que 
2 2 2 2 2a b c b a 16.= +  = − 
Portanto, como C pertence à elipse, 2a 0 e 2b 0,
vem 
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
x y 4 4
1 1
b a a 16 a
(a 24) 320
a 4(1 5)
a 2(1 5).
+ =  + =
−
 − =
 = +
 = +
A distância do ponto A ao ponto D é 
2 2d(A, D) (3 0) (2 ( 4)) 3 5.= − + − − =
Tomando o triângulo ADP, pela Desigualdade 
Triangular, vem d(A, P) d(A, D) d(D, P), + com a 
igualdade ocorrendo se, e somente se, A, D e P 
forem colineares. Desse modo, segue que 
d(A, P) 3 5 m. + 
Supondo P no primeiro quadrante, temos 
d(B, P) d(A, P). Logo, se d(B, P) n,= então, pela 
definição de elipse, vem 
d(A, P) d(B, P) 2a d(A, P) 2a n.+ =  = − 
Substituindo essa relação na desigualdade anterior, 
encontramos 
2a n 3 5 m m n 4(1 5) 3 5
5
m n 2 2 .
2
−  +  +  + −
 
 +  + 
 
Em consequência, o valor mínimo de m n+ é 
5
2 2 .
2
 
+ 
 
Resposta da questão 10: 
 [A] 
Uma equação de elipse com centro na origem é da 
forma: 
2 2
2 2
x y
1
b a
+ = 
Logo, 
2
2
b 144 b 12
a 225 a 15
=  =
=  =
Portanto: 
2 2 2 2 2c a b c 15 12 c 9= −  = −  =
Portanto, os focos são: 
(0, 9) e (0, 9).− 
Temos então uma elipse com focos em (0, 9) e 
(0, 9).− 
Resposta da questão 11: 
 [B] 
A curva λ é uma elipse com eixo maior paralelo ao 
eixo das abscissas, com centro em O(1, 2)− e 
semieixos medindo a 5= e b 3.= Logo, tem-se que a 
distância do centro aos focos é 
2 2c a b 25 9 4.= − = − =
Em consequência, vem 1F (1 4, 2) ( 3, 2)= − − = − − e
2F (1 4, 2) (5, 2).= + − = − 
[A] Verdadeira. Com efeito, pois
1 2d(P, F ) d(P, F ) 2a 2 5 10.+ = =  = 
[B] Falsa. Completando os quadrados, vem
2 2 2 2x y 6x 4y 0 (x 3) (y 2) 13.+ + − =  + + − = 
Logo, como essa curva é uma circunferência 
centrada em ( 3, 2),− podemos concluir que a
afirmação é falsa. 
[C] Verdadeira. De fato, pois a distância de 2F ao
centro de 2 2x y 25+ = é 2 25 ( 2) 29.+ − = Tal 
distância é maior do que o raio da circunferência. 
[D] Verdadeira. Com efeito, pois o ponto de abscissa
máxima de λ é 2A (1 5, 2) (6, 2)= + − = − e 2 6 8.− = −
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Resposta da questão 12: 
 [E] 
Considere a figura. 
Sejam 1F e 2F os focos da elipse.
Queremos calcular 1 2 1FF 2 OF .= 
Sabendo que 
2 2
1 1FB 60= e 
2 2
1OB 36 ,= da relação 
fundamental, vem 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
1
1
F B OB OF OF 60 36
OF 2304
OF 48 m.
= +  = −
 =
 =
Portanto, 
12 OF 2 48 96 m. =  =