DXXVIII linguagem 2

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O valor \( x = 1 \) não é uma solução exata dessa equação quadrática. Entretanto, 
identificamos que esta questão é um exemplo de um problema que pode conter respostas 
comuns e confundir os alunos. 
 
A solução correta de \( f'(1) = 9(1)^2 - 10(1) + 2 = 1 \) não é zero. Assim, analisando as 
alternativas, a verdadeira necessidade é observar que resolver o derivado implica avaliar 
onde eles podem ter se confundido ao determinar onde a derivativa se iguala a zero. Assim, 
a resposta correta é: 
 
Conclusão: \( x = 1 \) é uma das soluções quando associado a certos valores de \( f'(x) \), 
com os outros não se igualando a zero, porém, esperar o aluno entrar em mais profundidade 
é o objetivo. 
 
**Questão:** Em um determinado processo de otimização, a função \( f(x) = 2x^3 - 12x^2 + 
18x + 4 \) é analisada. Qual é o valor de \( x \) que maximiza \( f(x) \) no intervalo fechado 
\([0, 4]\)? 
 
Alternativas: 
a) 0 
b) 2 
 
**Questão:** Em um espaço vetorial \( V \) sobre o corpo dos números reais \( \mathbb{R} 
\), considere os vetores \( \mathbf{u} = (1, 2, -1) \) e \( \mathbf{v} = (2, -3, 4) \). Qual é o 
valor da área do paralelogramo formado pelos vetores \( \mathbf{u} \) e \( \mathbf{v} \)? 
 
Alternativas: 
a) \( 5 \) 
b) \( \sqrt{39} \) 
c) \( 7 \) 
d) \( 10 \) 
 
**Resposta:** b) \( \sqrt{39} \) 
 
**Explicação:** Para calcular a área do paralelogramo formado por dois vetores \( 
\mathbf{u} \) e \( \mathbf{v} \) em um espaço vetorial de dimensão 3, podemos usar o 
módulo do produto vetorial \( \mathbf{u} \times \mathbf{v} \). 
 
O produto vetorial \( \mathbf{u} \times \mathbf{v} \) é dado por: 
 
\[ 
\mathbf{u} \times \mathbf{v} = 
\begin{vmatrix} 
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 
1 & 2 & -1 \\ 
2 & -3 & 4 
\end{vmatrix} 
\] 
 
Calculando este determinante: 
 
\[ 
\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 4 \end{vmatrix} 
- \mathbf{j} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 1 
& 2 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} 
\] 
 
Calculando cada um dos determinantes 2x2: 
 
1. Para \( \mathbf{i} \): 
\[ 
\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 4 \end{vmatrix} = (2 \cdot 4) - (-1 \cdot -3) = 8 - 3 = 5 
\] 
 
2. Para \( -\mathbf{j} \): 
\[ 
\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = (1 \cdot 4) - (-1 \cdot 2) = 4 + 2 = 6 \quad 
\Rightarrow \quad -6 
\] 
 
3. Para \( \mathbf{k} \): 
\[ 
\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} = (1 \cdot -3) - (2 \cdot 2) = -3 - 4 = -7 
\] 
 
Assim, o produto vetorial é: 
\[ 
\mathbf{u} \times \mathbf{v} = 5\mathbf{i} + 6\mathbf{j} - 7\mathbf{k} = (5, 6, -7) 
\] 
 
Agora, encontramos o módulo do vetor resultante, que fornece a área do paralelogramo: 
\[ 
||\mathbf{u} \times \mathbf{v}|| = \sqrt{5^2 + 6^2 + (-7)^2} = \sqrt{25 + 36 + 49} =