CONTEÚDO - 3 - CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE 3 PONTOS

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Para apresentar a condição a que as coordenadas 
de três pontos do plano, distintos dois a dois, 
devem obedecer para que eles estejam alinhados, 
vamos supor que os pontos 𝐴(𝑥1, 𝑦1), 𝐵(𝑥2, 𝑦2) e 
𝐶(𝑥3, 𝑦3) estejam na mesma linha, como na 
figura: 
Prolongando a reta 
horizontal (𝑦1) que 
passa por 𝐴, 
obtemos os pontos 
𝑃 e 𝑄, os quais 
formam os 
triângulos retângulos 𝐴𝐵𝑃 e 𝐴𝐶𝑄, que são 
semelhantes. 
Da proporção 
𝐴𝑄
𝐴𝑃
=
𝐶𝑄
𝐵𝑃
, que pode ser escrita como 
𝑥3−𝑥1
𝑥2−𝑥1
=
𝑦3−𝑦1
𝑦2−𝑦1
. 
Desenvolvendo essa expressão, temos: 
(𝑥3 − 𝑥1) ∙ (𝑦2 − 𝑦1) − (𝑥2 − 𝑥1) ∙ (𝑦3 − 𝑦1) = 0 
Esta pode ser escrita sob a forma de determinante 
da matriz: 
𝐷 = |
𝑥1 𝑦1 1
𝑥2 𝑦2 1
𝑥3 𝑦3 1
| = 0 
 𝑜𝑛𝑑𝑒 {
𝑨 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒊𝒓𝒂 𝒄𝒐𝒍𝒖𝒏𝒂 é 𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 
𝑑𝑎𝑠 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑎𝑠 (𝑥) 𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 
𝑨 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒂 𝒄𝒐𝒍𝒖𝒏𝒂 é 𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 
𝑑𝑎𝑠 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 (𝑦) 𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠
 
Portanto, três pontos, 𝐴(𝑥𝐴, 𝑦𝐴), 𝐵(𝑥𝐵 , 𝑦𝐵) e 
𝐶(𝑥𝐶 , 𝑦𝐶) são colineares, ou seja, estão alinhados, 
se e somente se, o determinante for igual a zero. 
𝐷 = |
𝑥1 𝑦1 1
𝑥2 𝑦2 1
𝑥3 𝑦3 1
| = 0 
EXEMPLO 1) verifique se os pontos 
𝐴(3,2), 𝐵(4,1) e 𝐶(1,4) são colineares. 
𝐷 = |
𝑥1 𝑦1 1
𝑥2 𝑦2 1
𝑥3 𝑦3 1
| = 0 ↔ 𝐷 = |
3 2 1
4 1 1
1 4 1
| = 0 
Agora calculamos a determinante: 
𝐷 = |
3 2 1
4 1 1
1 4 1
|
3 2
4 1
1 4
| = 0 
𝐷 = [(3 ∙ 1 ∙ 1) + (2 ∙ 1 ∙ 1) + (1 ∙ 4 ∙ 4)]
− [(1 ∙ 1 ∙ 1) + (3 ∙ 1 ∙ 4)
+ (2 ∙ 4 ∙ 1)] = 0 
𝐷 = 0 = 0 
Resposta: Como o determinante é nulo, os três 
pontos são colineares. 
EXEMPLO 2) verifique se os pontos 
𝐴(−1,3), 𝐵(1,5) e 𝐶(2,7) são colineares. 
𝐷 = |
𝑥1 𝑦1 1
𝑥2 𝑦2 1
𝑥3 𝑦3 1
| = 0 ↔ 𝐷 = |
−1 3 1
1 5 1
2 7 1
| = 0 
Agora calculamos a determinante: 
𝐷 = |
−1 3 1
1 5 1
2 7 1
|
−1 3
1 5
2 7
| = 0 
𝐷 = [(−1 ∙ 5 ∙ 1) + (3 ∙ 1 ∙ 2) + (1 ∙ 1 ∙ 7)]
− [(1 ∙ 5 ∙ 2) + (−1 ∙ 1 ∙ 7)
+ (3 ∙ 1 ∙ 1)] = 0 
𝐷 = [−5 + 6 + 7] − [10 − 7 + 3] = 0 
𝐷 = 8 − 6 = 0 
𝐷 = 2 ≠ 0 
Resposta: Como o determinante é diferente de 
zero, os três pontos não são colineares. 
EXEMPLO 3) Determine o valor de 𝑘 para que 
os pontos 𝐴(𝑘, 7), 𝐵(2, −3) e 𝐶(𝑘, 1) sejam os 
vértices de um triângulo. 
Resposta: Neste caso, para que os pontos sejam 
vértices de um triângulo, eles não podem etar 
alinhados, ou seja, 𝐷 ≠ 0. 
𝐷 = |
𝑥1 𝑦1 1
𝑥2 𝑦2 1
𝑥3 𝑦3 1
| ≠ 0 ↔ 𝐷 = |
𝑘 7 1
2 −3 1
𝑘 1 1
| ≠ 0 
Agora calculamos a determinante: 
𝐷 = |
𝑘 7 1
2 −3 1
𝑘 1 1
|
𝑘 7
2 −3
𝑘 1
| ≠ 0