Aula_6_-_Derivada_das_funcoes_trigonometricas_diretas_e_inversas

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4 - Derivada das funções trigonométricas
4.1 – Funções trigonométricas diretas
As funções trigonométricas diretas estão classificadas em Seno (sen), Cosseno (cos),
Tangente (tan / tg), Cotangente (cotan / cotg), secante (sec) e Cossecante (cossec / csc).
Para as derivadas trigonométricas diretas e inversas, vamos considerar u= f (x ) .
Função Derivada
f (u)=sen (u ) f ' (u)=u ' . cos(u)
f (u)=cos(u) f ' (u)=−u ' . sen (u)
f (u)=tan (u) f ' (u)=u ' . sec2(u)
f (u)=cotan(u) f ' (u)=−u ' .cossec2(u)
f (u)=sec(u) f ' (u)=u ' . sec(u) . tan(u)
f (u)=cossec(u) f ' (u)=−u ' .cossec(u).cotan(u )
Demonstração da derivada de f (u)=sen (u ) e f (u)=sec(u)
f (u)=sen (u )
f ' (u)=lim
a→0 [ sen(u+a)−sen(u)a ]=lima→0 [ sen(u)cos(a)+sen(a)cos (u)−sen(u)a ]
f ' (u)=lim
a→0 [ sen(u)(cos(a )−1)a + sen(a)cos(u)a ]=limu→ a [−sen(u) 1−cos(a)a +cos(u) sen(a)a ]
f ' (u)=−sen(u) lim
a→0 [ 1−cos(a)a ]+cos (u) lima→o [ sen(a )a ]=sen(u).(0)+cos(u).(1)=cos(u)
f (u)=sec(u)= 1
cos (u)
f ' (u)=0.cos (u)−1.(−sen (u))
cos2(u )
=
sen (u)
cos2(u)
=
sen (u)
cos(u)
. 1
cos (u)
=tan(u ). sec(u)
Exemplos: determinar a derivada em cada uma das funções abaixo.
1º) y=sen (5x2) 2º) f (x )=cos (√4x2+3) 3º) y=2sen(3/2)(2x2+7)
4º) f (w)=tan (5w3−13) 5º) f (t)=[3+2cotan (t)]4 6º) y=x3 sec(5/3)(x )
7º) u (t)= cossec (t)
t 2+1
8º) y=tan2(3x)
4.2 – Funções trigonométricas inversas
As funções trigonométricas inversas dividem-se em: arco-seno (arcsen), arco-cosseno
(arccos), arco-tangente (arctan / arctg), arco-cotangente (arccotan / arccotg), arco-secante (arcsec) e
arco-cossecante (arccossec / arccsc).
Outra maneira de expressar as funções trigonométricas inversas é: sen−1(x ) , cos−1( x) ,
tan−1( x) , cotan−1(x ) , sec−1( x) e cossec−1( x) . 
É importante lembrar que sen−1(x )≠ 1sen( x) .
Seja f (x )=sen−1( x) a inversa da função y=sen( x) . Esta expressão é equivalente a
x=sen ( y) , −π
2
⩽ y⩽π
2
.
Derivando x=sen ( y) temos dx=cos( y )dy que fica dx
dy
=cos  y ou dy
dx
= 1
cos ( y )
.
Da trigonometria básica sabemos que sen2( y)+cos2( y)=1 . Substituímos x=sen ( y) e
temos: x2+cos2( y)=1 , cos2( y)=1−x2 ou cos( y)=±√1− x² que fica
dy
dx
= 1
1−x² .
Utilizando o processo acima nas funções trigonométricas e considerando u= f (x ) ,
temos:
Função Derivada
f (u)=sen−1(u)=arcsen(u ) f ' (u)= u '
√1−u2
f (u)=cos−1(u)=arccos(u) f ' (u)= −u '
√1−u2
f (u)=tan−1(u)=arctan (u) f ' (u)= u '
1+u2
f (u)=cotan−1(u)=arccotan(u ) f ' (u)= −u '
1+u2
f (u)=sec−1(u)=arcsec(u) f ' (u)= u '
∣u∣√u2−1
f (u)=cossec−1(u )=arccossec (u ) f ' (u)= −u '
∣u∣√u2−1
Exemplos: determinar a derivada em cada uma das funções abaixo.
9º) y=sen−1(2x) 10º) g (t )=arccos(t 4) 11º) f (x )=tan−1( x5)
12º) y=x.sen−1(x )
Exercícios: determine a derivada em cada uma das funções abaixo.
1) f (x )=5.sen (7x) 2) g ( x)=4.sen (6x2) 3) h( x)=sen(√x )
4) g (t )=sen4(3t ) 5) H (x )=cos [ sen (x )] 6) f (x )=√cos(5x )
7) H (x )= sen (x )
1+cos(5x )
8) H (t)= 27sen (2t)
+ 35
cos (2t)
9) g (t )=cotan(3t5)
10) F (u)=cossec (√u2+1) 11) h( x)=√1+sec(5x ) 12) h( t)=sec2(7t)−tan2(7t)
13) H (s)=sec 4(13s)−tan4(13s) 14) g ( x)= x3 tan5(2x ) 15) H (x )= 2x1+sec(5x)
16) f (x )=1
3
x2−cotan3(2x) 17) g (t )= sec
2(3t)
t 3
18) f (x )=sen [ tan (5x2)]
19) y=7.cos (11x) 20) y=−4.sec (5x) 21) y=5.tan3(4x)
22) y= cossec(3x)
x
23) y=sen[ xx+1 ] 24) f (x )=sen−1(3x )
25) h( x)=cotan−1( x5 ) 26) G(t )=sec−1(t3) 27) f (t)=cotan−1( t2+3)
28) g ( x)=cossec−1( 32x ) 29) h(v )=sec−1(√1−v2) 30) f (s)=sen−1(2s )+cotan−1( s2)
31) G(r )=sec−1(r )+cossec−1(r ) 32) g ( x)= x2. cos−1(3x ) 33) H (x )= 1
x2
tan−1(5x )
34) g ( x)= cossec
−1( x2+1)
√ x2+1
Respostas
1) f ' ( x)=35.cos(7x) 2) g ' (x )=48x.cos(6x2) 3) h ' ( x)= cos
(√ x )
2√x
4) g ' (t)=12.cos (3t ) . sen3(3t) 5) H ' ( x)=−cos (x ). sen [ sen (x )] 6) f ' ( x)=−5.sen(5x)
2 √cos (5x)
7) H ' ( x)= cos (x )−2.cos(6x )+3.cos(4x)
[1+cos (5x)]2
9) g ' (t)=−15t 4.cossec2(3t5)
8) H ' ( t)=70.sec (2t) . tan (2t )−54.cossec(2t).cotan(2t ) 12) h ' (t )=0
10) F ' (u)=
−u.cossec(√u2+1) .cotan (√u2+1)
√u2+1
11) h ' ( x)=5.sec(5x) . tan(5x)
2√1+sec(5x )
13) H ' (s )=52.sec2(13s) . tan2(13s) 14) g ' (x )=x2 tan 4(2x)[3.tan(2x)+10x.sec2(2x )]
15) H ' ( x)= 2+2.sec(5x)−10x.sec(5x ). tan (5x)
[1+sec(5x)]2
16) f ' ( x)= 2x
3
+6.cotan2(2x) .cossec2(2x)
17) g ' (t)=3.sec
2(3t ) [2t.tan( t )−1 ]
t 4
18) f ' ( x)=10x.sec2(5x2). cos [ tan(5x2)]
19) y '=−77.sen (11x) 20) y '=−20.sec(5x). tan(5x) 21) y '=60.tan2(4x) . sec2(4x)
22) y '=
−cossec (3x)[3x.cotan(3x)+1 ]
x2
23) y '= 1
(x+1)2
cos[ xx+1 ] 24) f ' ( x)= 3√1−9x2
25) h ' ( x)= −5
25+ x2
26) G ' (t)= 3
∣t∣√ t6−1
27) f ' ( t)= −2t
t 4+6t2+10
28) g ' (x )= 2
√9−4x2
29) h ' (v)= −1
√−(1−v2)2
30) f ' (s )= −2
s √s2−4
− 2
4+ s2
31) G ' (r )=0 32) g ' (x )=2x.cos−1(3x)− 3x
2
√1−9x2
33) H ' ( x)=−2
x3
tan−1(5x)− 5x2.( x2+25) 34) g ' (x )=−2−x.√ x
2+2.cossec−1( x2+1)
3√( x2+1)2 .√x2+2