ap3_mest_i_2010_1_gab

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MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
3ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
1º Semestre de 2010 
Prof. Moisés Lima de Menezes 
(pode usar calculadora) 
 
Versão Tutor 
 
1. (2,0 pontos) Em uma cidade onde se publicam 3 jornais: A, B e C, constatou-se que entre 1.000 famílias, 
assinam: A: 470, B: 420, C: 315, A e B: 110, A e C: 120, B e C: 140 e 75 assinam os três. Escolhendo-se ao 
acaso uma família, qual a probabilidade de que ela: 
 a) Não assine nenhum dos três jornais? 
 b) Assine apenas um dos três jornais? 
 c) Assine pelo menos dois jornais? 
 
2. (3,0 pontos) Com o diagrama de ramo-e-folhas abaixo, determine: 
 a) Amplitude total, moda e mediana; 
 b) Os quartis e o intervalo interquartil; 
 c) Construa o boxplot. 
1 0 0 2 
2 
3 2 5 5 
4 1 1 1 1 
5 0 0 
6 
7 1 6 8 
8 0 1 2 2 9 
9 5 5 
10 4 6 9 
 
3. (1,0 ponto) Numa urna são misturadas 8 bolas numeradas de 1 a 8. Duas bolas (a, b) são retiradas 
simultaneamente. Qual a probabilidade de a + b = 10? 
 
4. (2,0 pontos) Assuma o experimento “lançar dois dados e verificar as faces voltadas para cima” onde x1 
representa a face do dado 1 e x2 representa a face do dado 2 e sejam os eventos: 
A = {( x1 , x2 ) | x1 + x2 = 8 }; 
B = {( x1 , x2 ) | x1 = x2 }; 
C = {( x1 , x2 ) | x1 > x2}. 
Determine: 
 a) Pr (A | B); 
 b) Pr (A | C). 
 
5. (2,0 pontos) A probabilidade de um indivíduo de classe A comprar um carro é de 3/4, de um indivíduo 
de classe B é 1/6 e um indivíduo de classe C é 1/20. A probabilidade de um indivíduo de classe A comprar 
um carro da marca D é 1/10, do indivíduo da classe B comprar um carro da marca D é 3/5 e de um 
indivíduo da classe C comprar um carro da marca D é 3/10. Em certa loja, um carro da marca D foi 
vendido. Qual a probabilidade de que o comprador tenha sido da classe B? 
 
Solução: 
 
1) 
 
Podemos pensar da seguinte forma: 
Se 140 assinam B e C e destes, 75 assinam os três, então 140-75 assinam só os dois. Logo: 
 65 assinam só os jornais B e C. 
Se 120 assinam A e C e destes, 75 assinam os três, então 120-75 assinam só os dois: Logo: 
 45 assinam só os jornais A e C. 
Se 110 assinam A e B e destes, 75 assinam os três, então 110-75 assinam só os dois: Logo: 
 35 assinam só os jornais A e B. 
Se 315 assinam o jornal C, mas destes, 45 assinam juntamente com A e 65 assinam juntamente com B e os 
75 com A e B, então: 315-45-65-75=130 assinam só C. 
Se 420 assinam o jornal B, mas destes, 35 assinam juntamente com A e 65 assinam juntamente com C e os 
75 com A e C, então: 420-35-65-75=245 assinam só B. 
Se 470 assinam o jornal A, mas destes, 35 assinam juntamente com B e 45 assinam juntamente com C e os 
75 com B e C, então: 470-35-45-75=315 assinam só A. 
 
Assim o total das pessoas que assinam pelo menos um jornal está no diagrama abaixo: 
 
 
 
 
 
Como temos 1.000 famílias entrevistadas, então o número de famílias que não assinam nenhum dos três 
jornais é: 
1.000-315-245-130-35-65-45-75=90. 
 
Logo: 90 famílias não assinam nenhum dos três jornais. 
 
a) 
 .09,0
100
9
1000
90)Pr( ===nenhum 
 
b) Assinar apenas um dos três pode ser: (só A) ou (só B) ou (só C). 
Assim: 
.69,0
1000
690
1000
130245315Pr ==++= 
315 
75 
245 
130 
65 
35 
45 
A 
B 
C 90 
1.000 
c) Assinar pelo menos dois dos jornais: 
Pode ser (só A e B) ou (só A e C) ou (só B e C) ou (os três jornais), portanto: 
 
22,0
1000
220
1000
75456535Pr ==+++= 
 
2) 
a) Podemos perceber que o diagrama de ramo-e-folhas inicia em 10 e termina em 109. Portanto, 
9910109 =−=∆ . 
 
b) Nosso diagrama é formado pelos dados: 
 
10 10 12 32 35 35 41 41 41 41 50 50 71 76 78 80 81 82 82 89 95 95 104 106 109 
 
.712 =Q Como vemos no esquema acima, uma vez que é a mediana – o ponto central dos dados. 
 
Para encontrarmos 1Q e 3Q usamos cada uma das duas partes acima, com o valor 71 inclusive. Ou seja: 
Primeira metade até 71 nos indicará o 1Q . 
 
10 10 12 32 35 35 41 41 41 41 50 50 71 
Logo: 411 =Q . 
 
Segunda metade a partir de 71 nos indicará o 3Q . 
 
71 76 78 80 81 82 82 89 95 95 104 106 109 
Assim, .823 =Q 
 
O intervalo interquartil será: 41418213 =−=−= QQI . 
 
c) Para fazer o boxplot, precisamos dos limites inferior e superior fora dos quais os dados são 
discrepantes. 
5,515,6110415,1105,1_ min −=−=×−=−= IxInfLim 
5,1705,61109415,11095,1_ max =+=×+=+= IxSupLim 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
170,5 
82 
71 
41 
-51,5 
3) O conjunto das possíveis retiradas das bolas é: 
(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (1,7) (1,8) 
(2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (2,7) (2,8) 
(3,4) (3,5) (3,6) (3,7) (3,8) 
(4,5) (4,6) (4,7) (4,8) 
(5,6) (5,7) (5,8) 
(6,7) (6,8) 
(7,8) 
 
Destes, se destacam os pares cuja soma é 10. 
(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (1,7) (1,8) 
(2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (2,7) (2,8) 
(3,4) (3,5) (3,6) (3,7) (3,8) 
(4,5) (4,6) (4,7) (4,8) 
(5,6) (5,7) (5,8) 
(6,7) (6,8) 
(7,8) 
 
Logo, como são possíveis 28 pares, dos quais 3 tem soma igual à 10. Então a probabilidade de a soma ser 
10 é: 
28
3)10Pr( ==+ ba
 
 
4) Vamos ver o conjunto das possibilidades dos lançamentos dos dois dados. 
 
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 
 
O conjunto A está em destaque abaixo: 
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 
 
O conjunto B está em destaque abaixo: 
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 
 
O conjunto C está em destaque abaixo: 
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 
 
a) )Pr(
)Pr()|Pr(
B
BABA ∩= 
 
O conjunto BA ∩ é o conjunto onde os pares em destaque que aparecem simultaneamente em A e B. 
 
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 
 
Observe que o único par que aparece nos dois conjuntos em destaque é o par (4,4). 
Logo: 
36
1)Pr( =∩ BA . 
Sabemos que P(B) é o número de pares em destaque sobre o total em B. 
Logo: 
36
6)Pr( =B . 
Consequentemente: 
.
6
1
)Pr(
)Pr()|Pr(
36
6
36
1
==
∩
=
B
BABA 
 
6
1)|Pr( =BA
 
 
b) de forma análoga pensamos em )Pr(
)Pr()|Pr(
C
CACA ∩= . 
O conjunto CA ∩ é o conjunto onde os pares em destaque que aparecem simultaneamente em A e C. 
 
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 
 
Observe que os únicos pares que aparecem nos dois conjuntos em destaque são os pares (6,2) e (5,3). 
Logo: 
36
2)Pr( =∩ CA . 
Sabemos que P(C) é o número de pares em destaque sobre o total em C. 
Logo: 
36
15)Pr( =C . 
Consequentemente: 
.
15
2
)Pr(
)Pr()|Pr(
36
15
36
2
==
∩
=
C
CACA 
 
15
2)|Pr( =CA
 
 
5) 
Sejam os eventos: 
A: oindivíduo da classe A comprou um carro 
B: o indivíduo da classe B comprou um carro 
C: o indivíduo da classe C comprou um carro 
D: o carro comprado foi da marca D 
 
Então os dados do nosso problema são: 
Pr(A)=3/4 
Pr(B)=1/6 
Pr(C)=1/20 
Pr(D|A)=1/10 
Pr(D|B)=3/5 
Pr(D|C)=3/10 
 
Pede-se: Pr(B|D). 
 
Pelo Teorema de Bayes: 
10
3
20
1
5
3
6
1
10
1
4
3
5
3
6
1
)|Pr()Pr()|Pr()Pr()|Pr()Pr(
)|Pr()Pr()|Pr(
×+×+×
×
=
++
=
CDCBDBADA
BDBDB 
.526,0
13680
7200
456
2400
30
3
2400
456
30
3
2400
36240180
30
3
200
3
30
3
40
3
30
3
==×===
++
=
++
 
 
.526,0)|Pr( =DB