Estabilidade

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Sistemas de Controle 
Realimentado
Profa. Gabriela Vieira Lima
gabriela.lima@ufu.br
Sala 3N 315
UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA
ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
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Estabilidade
▪ Sistema estável: a resposta natural tende a zero, à medida que o tempo tende a infinito.
▪ Sistema instável: a resposta natural aumenta sem limites, à medida que o tempo tende a infinito.
▪ Sistema marginalmente estável: a resposta natural não decai e nem aumenta, mas permanece 
oscilando à medida que o tempo tende a infinito.
Estabilidade
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▪ A avaliação da estabilidade de um sistema pode ser feita por meio da inspeção dos polos:
Estabilidade
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Região 
Instável
Região 
Estável
Eixo Imaginário
Plano s
Eixo Real
➢ Se todos os polos da função de transferência estão localizados no 
semiplano esquerdo, o sistema é estável. 
➢ Se houver pelo menos um polo no semiplano direito, ou polos com 
multiplicidade maior do que 1 no eixo imaginário, o sistema é instável.
➢ Se houver polos com multiplicidade 1 no eixo imaginário, e os demais 
no semiplano esquerdo, o sistema é marginalmente estável.
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▪ Equação Característica = equação que fornece os polos do sistema.
a) Se todos os coeficientes são positivos e diferentes de zero, o sistema pode ser estável;
b) Se há pelo menos um coeficiente negativo, o sistema é instável;
c) Se algum coeficiente é nulo, na melhor das hipóteses o sistema é marginalmente estável;
d) Se o sistema pode ser estável, construímos a Tabela de Routh-Hurwitz para verificar a 
estabilidade.
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1 2
1 2 1 0... 0n n n
n n na s a s a s a s a− −
− −+ + + + + =
Estabilidade
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Problema de Projeto!!
▪ Configuração inicial da tabela de Routh-Hurwitz:
➢ A primeira linha começa com o termo de mais alta potência em s, sempre pulando um dos termos, 
de forma a se ter apenas termos pares (ou ímpares). 
➢ A segunda linha começa com o segundo maior termo da potência em s, sempre pulando um dos 
termos de forma a se ter apenas termos ímpares (ou pares). 
Critério de Routh-Hurwitz
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▪ Linhas posteriores:
Critério de Routh-Hurwitz
9
▪ Linhas posteriores:
Critério de Routh-Hurwitz
10
▪ Linhas posteriores:
Critério de Routh-Hurwitz
11
0
0
▪ Os coeficientes de qualquer linha podem ser multiplicados ou divididos por um número positivo sem 
que haja alterações na posterior interpretação da tabela.
Critério de Routh-Hurwitz
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Interpretação da Tabela:
▪ O critério de Routh-Hurwitz afirma que o número de raízes do polinômio que estão no semiplano 
direito do plano s é igual ao número de mudanças de sinal na primeira coluna da tabela.
▪ Sendo assim, o sistema será estável se não houver mudanças de sinal na primeira coluna da tabela 
de Routh.
Exemplo 1) Aplique o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz e verifique se o sistema apresentado 
abaixo é estável.
Critério de Routh-Hurwitz
13
4
1
( )
2 ³ 3 ² 10 8
G s
s s s s
=
+ + + +
Exemplo 2) Considerando o sistema de controle de malha fechada apresentado a seguir, determine o 
intervalo de valores do ganho K, de modo que o sistema seja estável.
 
Critério de Routh-Hurwitz
14
3
( )
( ) 4 ² 8
Y s K
R s s s s K
=
+ + +
➢ Simulação Computacional
Casos Especiais
▪ Zero na 1ª Coluna
Caso o primeiro elemento de uma linha seja zero, uma divisão por zero seria necessária para formar a 
próxima linha. Para evitar esse fenômeno, um épsilon é designado para substituir o zero na 
primeira coluna. Em seguida, podemos analisar a tabela fazendo o épsilon tender a zero pelo lado 
positivo ou pelo lado negativo, e verificar o número de mudanças de sinal na primeira coluna da 
tabela.
Critério de Routh-Hurwitz
15
( )
Casos Especiais
▪ Zero na 1ª Coluna
Exemplo 3) Considere a seguinte função de transferência, e verifique a estabilidade através do 
critério de Routh-Hurwitz.
Critério de Routh-Hurwitz
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4 3
1
( )
2 2 ² 4 5
G s
s s s s
=
+ + + +
Casos Especiais
▪ Linha Completa de Zeros
Algumas vezes, ao construir uma tabela de Routh, verificamos que uma linha inteira é constituída de 
zeros. Isso indica que há: raízes simétricas e reais, ou raízes simétricas e imaginárias, ou raízes 
quadrantais. 
Critério de Routh-Hurwitz
Nesse caso, formamos um polinômio auxiliar com os coeficientes da 
última linha não nula, e utilizamos os coeficientes da derivada desse 
polinômio para substituir toda a linha de zeros.
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Casos Especiais
▪ Linha Completa de Zeros
Exemplo 4) Considerando a seguinte função de transferência, verifique a estabilidade através do 
critério de Routh-Hurwitz.
 
 
Critério de Routh-Hurwitz
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5 4 3
1
( )
2 6 10 ² 8 12
G s
s s s s s
=
+ + + + +
▪ Capítulo 6 
Livro: Engenharia de Sistemas de Controle – Norman Nise. 7ª edição. LTC Editora. 
Referências Bibliográficas
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	Slide 1: Sistemas de Controle Realimentado
	Slide 2
	Slide 3: Estabilidade
	Slide 4: Estabilidade
	Slide 5: Estabilidade
	Slide 6: Estabilidade
	Slide 7: Estabilidade
	Slide 8: Critério de Routh-Hurwitz
	Slide 9: Critério de Routh-Hurwitz
	Slide 10: Critério de Routh-Hurwitz
	Slide 11: Critério de Routh-Hurwitz
	Slide 12: Critério de Routh-Hurwitz
	Slide 13: Critério de Routh-Hurwitz
	Slide 14: Critério de Routh-Hurwitz
	Slide 15: Critério de Routh-Hurwitz
	Slide 16: Critério de Routh-Hurwitz
	Slide 17: Critério de Routh-Hurwitz
	Slide 18: Critério de Routh-Hurwitz
	Slide 19: Referências Bibliográficas