limites_aula_3

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Ca´lculo I
Prof. Dennis Bessada
UNIFESP - 1o semestre de 2012
Limites - Aula 3
1 Limites laterais
1.1 Motivac¸a˜o
• Observemos a func¸a˜o abaixo:
• Notamos que o valor de g(x), quando x → 2, se modifica dependendo de como x
tende a 2.
1
Figura 1: Quando x → 2 pela direita,
g(x)→ 1
Figura 2: Quando x→ 2 pela esquerda,
g(x)→ 3
• Com isso, ale´m da definic¸a˜o usual de limite, ha´, ainda, um outro tipo de limite que
podemos definir: o limite lateral.
1.2 Limite lateral a` direita
Definic¸a˜o - Limite lateral a` direita Escrevemos
lim
x→a+
f(x) = L (1)
e dizemos que o limite a` direita de f(x) quando x tende a a pela direita e´ igual a L se
pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente pro´ximos de L, para x suficientemente
pro´ximo de a e x maior que a.
1.3 Limite lateral a` esquerda
Definic¸a˜o - Limite lateral a` esquerda Escrevemos
lim
x→a−
f(x) = L (2)
e dizemos que o limite a` esquerda de f(x) quando x tende a a pela esquerda e´ igual
a L se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente pro´ximos de L, para x suficien-
temente pro´ximo de a e x menor que a.
Podemos resumir as definic¸o˜es acima por meio do seguinte gra´fico:
2
Pelas definic¸o˜es anteriores, e pelo gra´fico
fica claro que
lim
x→2−
f(x) = 3, lim
x→2+
f(x) = 1. (3)
1.4 Teorema
Teorema O limite abaixo
lim
x→a
f(x) = L (4)
existe se e somente se
lim
x→a−
f(x) = lim
x→a+
f(x) = L. (5)
3
1.5 Exemplos
II.3 Encontre os limites laterais abaixo:
• (a) f(x) =

x2 − 4, se x < 1
−1, se x = 1
3− x, se x > 1
lim
x→1−
f(x), lim
x→1+
f(x), lim
x→1
f(x) (6)
• (b) f(x) =

1− x2, se x < 2
0, se x = 2
x− 1, se x > 2
lim
x→2−
f(x), lim
x→2+
f(x), lim
x→2
f(x) (7)
• (c) f(x) =
{
x2 − 3x + 2, se x ≤ 3
8− 2x, se x > 3
lim
x→3−
f(x), lim
x→3+
f(x), lim
x→3
f(x) (8)
• (d) Dada a func¸a˜o f definida por f(x) = |x|
x
, para todo x ∈ R∗, determine:
lim
x→0−
f(x), lim
x→0+
f(x). (9)
Existe lim
x→0
f(x)?
4