Lista_1_Operaes_Binrias_e_Definio_de_Grupo

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Estruturas Algébricas - 2023/1 
 
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LISTA 1 - EXERCÍCIOS - OPERAÇÕES BINÁRIAS E DEFINIÇÃO DE GRUPO 
PARTE 1 
Resolver os exercícios do livro: 
 SILVA, J. C., GOMES, O. R. Estruturas algébricas para licenciatura: elementos de álgebra 
moderna, vol. 3. Ed. Blucher, 2020. 
Todos das Páginas 86, 87, 88, 89, 90 e 91. 
Pg. 134: n
os
 3 e 4 
Pg. 136: n
os 
11, 12, 13, 14, 15 e 16 
Pg. 137: n
o 
22 
Pg. 138: n
os 
23, 24 e 25 
Pg. 139: n
o 
26 
Pg. 141: n
os 
33, 34, 35 e 36(a-e) 
Pg. 142: n
os 
37(i-iii) e 38(i-iv) 
Pg. 190: 1(c), 4 e 5 
Pg. 191: n
os 
8 e 9 
Pg. 192: n
os 
10, 11 e 12 
Pg. 193: n
os 
13 e 14 
Pg. 194: n
os 
16 e 19 
Pg. 195: n
o 
21 
Pg. 196: n
os 
28 e 30 
PARTE 2 
Resolver os exercícios do livro: 
 DOMINGUES H. H; IEZZI, G. Álgebra Moderna. 4. ed. São Paulo: Atual, 2003. 
Pg. 114: n
os
 105, 106 e 107 
Pg. 115: n
os
 108, 109 e 110 
Pg. 116: n
os
 111, 112, 113, 114 e 115 
Pg. 119: n
os
 116, 117, 118 e 119 
Pg. 123: n
os
 125 a 131 
Pgs. 126 e 126: todos 
Pg. 155: n
o
 1 
Pg. 156 e 157: todos 
Pg. 158: n
o 
24 e 25 
 
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PARTE 3 
1. Cada item abaixo apresenta um conjunto S sobre o qual definimos uma operação e um subconjunto X 
do conjunto dado. Em cada caso, verifique se X é uma parte fechada de S em relação à operação dada. 
(a) S  ,  e  | é parX x x  
(b) S  ,  e  | é parX x x  
(c) S  ,  e  | é múltiplo de ,X x x m m   
(d) S  ,  e  | é múltiplo de ,X x x m m   
(e) S  ,  e  | é primoX x x  
(f) S  ,  e  | ( ,7) 1X x mdc x   
(g) S  ,  e  | ( ,7) 1X x mdc x   
(h) S  ,  e  | é irracionalX x x  
(i) S  ,  e  | é irracionalX x x  
(j) 2 2( )S M  ,  e 
0
| ,
0
a
X a b
b
  
   
  
 
(k) 2 2( )S M  ,  e 
0
| ,
0
a
X a b
b
  
   
  
 
(l) ( )n nS M  ,  e  ( ) | é inversíveln nX A M A  
(m) ( )n nS M  ,  e  ( ) | é inversíveln nX A M A  
(n)  Conjunto das funções de em S  ,  (a composição de funções reais) e 
 Conjunto das funções bijetoras de em X  
 
2. Em cada caso, construa a tábua para a operação  definida sobre S. 
(a)  1,3,5,15,25S  , ( , )x y mdc x y  (b)  1,2,4,8,16,32S  , ( , )x y mmc x y  
(c)  1, 2,0,7,13,21S    , min( , )x y x y  (d)  1, 2,0,7,13,21S    , max( , )x y x y  
(e)  1, , 1,S i i    ,  
(f)  0,1,2,3,4,5,6,7S  , , onde xy = resto da divisão de x + y por 8 (repita para: x + y por 7) 
(g)  0,1,2,3,4,5,6,7S  , , onde xy = resto da divisão de x y por 8 (repita para: x y por 7) 
 
 
 
 
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3. Construa a tábua da operação de composição para as funções definidas a seguir. 
 (a) Considere o conjunto de funções  , ,S f g h definidas sobre o conjunto  0,1,2X  , onde 
, e f g h são definidas por 
{(0,0),(1,1),(2,2)}
{(0,1),(1,2),(2,0)}
{(0,2),(1,0),(2,1)}.
f
g
h



 
 (b) Considere o conjunto de funções  , , ,S u v t w definidas sobre o conjunto  0,1,2,3X  , onde 
, , e u v t w são definidas por 
{(0,0),(1,1),(2,2),(3,3)}
{(0,1),(1,2),(2,3),(3,0)}
{(0,2),(1,3),(2,0),(3,1)}
{(0,3),(1,0),(2,1),(3,2)}.
u
v
t
w




 
 
4. Para cada operação binária definida sobre o conjunto S dado a seguir: 
 i) verifique se é associativa; é comutativa; admite elemento neutro; 
 ii) determine o conjunto dos elementos simetrizáveis; 
 iii) verifique se cada item tem estrutura de grupo (abeliano). 
(a) S  e :   dada por 11x y x y    
(b) S  e :   dada por 
9
x y
x y

  
(c) S  e :   dada por x y y  
(d) S  e :   dada por 1x y x  
(e) S  e :   dada por 2x y xy x   
(f)  : 1S x x   , :S S S  dada por x y x y xy   
(g)  : 1S x x    , :S S S  dada por x y xy x y   
(h) S  e :     dada por 
1
x y
x y
xy



 
(i) S  e :      dada por 
2 2x y x y   
(j) S  e :   dada por 
3 33x y x y   
(k) 
2S  e 
2 2 2:   dada por ( , ) ( , ) ( ,0)x y z t xy 
(l) 
2S  e 
2 2 2:   dada por ( , ) ( , )x y z t = ( , )x z y t  
(m) 
2S  e 
2 2 2:   dada por ( , ) ( , ) ( , )x y z t xz y t  
(n)  2 2IMS  e      : IM IM IM  dada por 1 2 1 2
3 4 3 4
a a b b
a a b b
   
   
   
 = 1 1 2 2
3 3 4 4
2a b a b
a b a b
  
 
  
 
5. Mostre que  2 2 : e não ambos nulos
a b
G IM a b
b a

  
     
 é um grupo abeliano em relação à 
multiplicação de matrizes. 
 
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6. Mostre que  é um grupo em relação à operação ( , ) ( , ) ( , )a b c d ac bc d  . 
 
7. Complete as tábuas a seguir, sabendo que elas representam as composições dos elementos em um 
grupo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Seja G um grupo de ordem 3. Escreva a tábua de G. 
 
9. Seja  : 0, 1X r r r    . Considere G o conjunto formado pelas seguintes funções de X em X: 
1
( )
1
f x
x


, 
1
( )
x
g x
x

 , 
1
( )h x
x
 , ( )i x x , ( ) 1j x x  , ( )
1
x
k x
x


. 
(a) Mostre que  ,G é um grupo. (b) Escreva a tábua desse grupo. (c) Verifique se G é abeliano. 
 
10. Defina sobre a operação dada por x y ax by   , para elementos fixados ,a b . Determine 
condições sobre a e b para que a operação seja: 
(a) associativa; 
(b) comutativa; 
(c) munida de elemento neutro. 
 
11. Sejam , ,a b c elementos de um grupo  ,G  com elemento neutro e. Determine a solução x G de 
cada uma das equações a seguir. 
(a) 'a x a e   (b) a x b a c    (c) ' 'a b x b a a b      
 
12. Discuta em detalhes a obtenção da solução de cada uma das equações a seguir, caso exista, 
considerando a estrutura  ,X  dada. 
(a) 1 4x  em  , (b) 1 4x  em  , (c) 57
3
x  em  , 
(d) 4 1x em  , (e) 57
3
x x  em  ,  (f) 2 8x x  em  ,  
 
 a b c d 
a a b c d 
b b a 
c c a 
d d 
 
 e a b c d f 
e e a b c d f 
a a b e d 
b b 
c c f a 
d d 
f f