62_7318100_Estudodoplano

Prévia do material em texto

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE POÇOS DE CALDAS 
Curso: Engenharia Civil – 1° período 
Disciplina: Álgebra Linear 
Professora: Suelainy Silveira Miquele de Melo 
Aluno (a): _______________________________________________ 
 
 
PLANO 
 
 Um plano pode ser determinado de várias maneiras. 
 
1- Consideremos um plano que passa por um ponto e sejam r e r os vetores posição de P e P . 
Então o vetor r - r é representado por P P perpendicular a um vetor n (ortogonal) não nulo como mostra 
a figura abaixo: 
 
 
 
 
Vejamos a equação do plano que passa por P = (5,-3,1) com vetor normal N = 4i + 3j - 2k. 
 
4(x-5) + 3(y+3) -2(z -1) =0 
4x – 20 + 3y +9 – 2z +2 =0 
4x +3y -2z = 9 
 
Observe que os coeficientes x, y e z da equação são as componentes do vetor normal. Este é sempre o caso, 
podendo então a equação escalar ser reescrita assim: 
 
. 
 
 Esta equação é chamada equação geral do plano cujo vetor normal é (a, b, c) onde a, b e c não são todos 
nulos e d é dado por: . Sendo assim, poderíamos reescrever a equação acima assim: 
 
 
 
2- determinação do plano por um ponto e por dois vetores não paralelos 
 
 1 
( )zyxP ,, 0 0
0
→
0
dczbyax =++
000 czbyax ++
000 czbyaxczbyax ++=++
 Assim, temos: 
n . (r - r ) = 0 
que pode ser reescrita como 
n . r = n .r 
chamadas equações vetoriais ou normais do plano. 
Fazendo n = (a, b, c), r = (x, y, z) e r =
 e substituindo na equação vetorial acima, 
obtemos a equação escalar ou cartesiana do plano: 
 
Esta equação passa por e possui vetor 
normal N=ai+bj+ck. 
 
 
 
 
Ex: Determine a equação geral do plano que contém o ponto A(3, 0, 1) e é paralelo aos vetores u = (1, 2, 0) e 
ao vetor v = ( 0, 3, 1). 
 
 
 
3- o plano é individualizado por dois pontos e por um vetor 
 
 
Ex: Achar a equação do plano que passa pelos pontos P = ( 1, 2, 3) e Q = ( 1, 2, 0) e tem a direção do 
vetor v = 2i + 3k. 
 
 
4- o plano é definido por três pontos não colineares 
 
 
 
A resolução de cada determinante representado por (I), (II) e (III) conduz a equação linear ax + by + cz + d =0. 
2 
 
Ex: Obter a equação do plano que contém os pontos A = ( 3, 0, 1), B = ( 2, 1, 1) e C = ( 3, 2, 2). 
 
 
 
 
De outra forma, dados três pontos P (3, 2, -1) , Q (1, -1, 3) e R (3, -2, 4) a equação do plano pode ser assim 
obtida: 
1°) => a = (-2, -3,4) e => b = (0, -4, 5) 
2°) Determinar o vetor N que seja normal ao plano: N = 
 
3°) pela equação , temos (x-3)+10(y-2)+8(z+1)=0, que nos leva após 
simplificação a: 
 
 
Ex: Dados os pontos A (1,1,1) , B (2,1,1) e C(1,1,0), determine a equação do plano que os contém. 
 
 
 
Distância entre ponto e plano 
 
 A distância entre um ponto ),,( 000 zyxP e um plano 0: =+++ dczbyaxπ , é dada por: 
 
222
000
cba
dczbyax
D
++
+++
= 
Ex: 
a) Determine a distância entre o ponto P (3, 5, 1) e o plano 0523: =−+− zyxπ . 
 
 
b) Determine a distância entre a reta r : x3 = y! 5= z! 2 e o plano ! : x + 2y! 5z!30 = 0 . 
 
 
Ângulo entre dois planos 
 
O ângulo entre dois planos é dado por: 
 
 3 
→
PQ
→
PR
kji
kji
810
540
432 ++=
−
−−
( ) ( ) ( ) 0000 =−+−+− zzcyybxxa
15810 =++ zyx
 
Ex: 
a) Dados os planos 2x - 2y + 1 = 0 e 2x – y - z = 0, o ângulo formado entre eles será: 
 
 
 
b) Determine o ângulo entre a reta r : x = y!1
!2 =
z! 2
3 e o plano ! : x ! y+ 5z+3= 0 . 
 
 
 
Condição de paralelismo entre planos: 
 
Sejam os planos 
 
 !1 = a1x + b1y+ c1z+ d1 = 0 e !2 = a2x + b2y+ c2z+ d2 = 0 
 
com respectivos vetores normais 
 !n1 = a1i+ b1 j + c1k e 
!n2 = a2i+ b2 j + c2k 
 
Então, !1 e !2 são paralelos se 
a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
 
indo mais além, temos 
 
coincidentes ou simplesmente paralelos 
a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
=
d1
d2
 a1a2
=
b1
b2
=
c1
c2
!
d1
d2
 
 
De modo análogo, os planos !1 e !2 serão perpendiculares se os vetores normais forem ortogonais, daí, 
temos: 
a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0 
 
Ex: 
a) Determine o valor de a e b para que os planos 2x + 3y + 3 = 0 e (a-2)x + 6y + (b-1)z + 5 = 0 sejam 
paralelos. 
 
 
 
b) Determinar o valor de k para que os planos 2x + 3z – 1 = 0 e 3x + y + kz + 2 = 0 sejam ortogonais. 
 
 
 
 
Interseção de um plano com os eixos coordenados 
 
Seja α: ax+by+cz+d = 0. O plano α intercepta: 
 
- o eixo das abscissas no ponto A(x,0,0), determinado ao se substituir y = z = 0 na equação do plano; 
- o eixo das ordenadas no ponto B(0,y,0), determinado fazendo x = z = 0; 
- o eixo das cotas no ponto C(0,0,z), determinado ao se substituir x = y = 0. 
 
 
4 
 
 
Ex: Determine os pontos de interseção do plano ! : 4x +3y! z!12 = 0 com os eixos coordenados e represente 
geometricamente. 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
1- Construa um sistema de coordenadas cartesianas no plano e coloque nele o vetor v e os pontos 
DeDCBA ,,, (dados do primeiro exemplo). Com o auxílio de uma régua verifique se de fato estes pontos 
estão sobre uma mesma reta e se os vetores ADeADACABv ,,, são paralelos. Estabeleça qual é a relação 
existente entre os módulos dos vetores ADeADACAB ,, e o módulo de v . 
 
2- Determine uma equação vetorial e equações paramétricas para a reta que passa pelo ponto: 
a) (1,0,-3) e é paralela ao vetor 2i - 4j + 5k. 
b) (-2,4,10) e é paralela ao vetor 3i + j - 8k. 
 
3- Determine as equações paramétricas e simétrica para a reta que passa: 
a) pela origem e pelo ponto (1,2,3). 
b) pelos pontos (1,3,2) e (-4,3,0). 
 
4- Verifique se a reta r1, que passa pelos pontos A1 (-3,4,2) e B1 (5,-2,4), e a reta r2 , que passa pelos pontos A2 
(-1,2,-3) e B2 (-5,5,-4), são paralelas. 
 
5- Verifique se as retas 
4
3
5
1
3
: 
6
1
8
3
3
: 21
−
=
+
=
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
+
=
−
=
zyxrezx
y
r são ortogonais. 
6- Calcular o ângulo entre as retas 
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−−=
=
+=
=
−
=
−
+
tz
ty
tx
r
zyxr
21
3
:
11
3
2
2:
1
2
 
7- Calcular o valor de “m” para que sejam coplanares as seguintes retas: 
 
 
m
zyxse
xz
xy
r =
−
=
−
⎩
⎨
⎧
−=
+=
12
1: 
13
32
: 
 
8- Determine a equação do plano que passa por P = (5, 3, 4 ) e tem vetor N = ( 3, 2, -1). 
5 
 
9- Determine a distância entre o ponto P(3,2,1) e a reta r: 
 
 a) que passa por Q(-3,4,0) e R(1,2,-2) 
 b) r: X (2,4,3) +t (1,-1,0) 
 
10- Dados os vetores a = (3, 1, 2) e b = ( -3, 4, 5), obter a equação do plano que contém a e b e que passa 
por P = (3, 4, 5). 
 
11- Seja o plano 0132: =++− zyxπ , calcule: 
 
a) o ponto de π que tem abscissa 4 e ordenada 3. 
b) o ponto de π que tem abscissa 1 e cota (z) 2. 
d) o valor de k para que o ponto P (2, k+1, k) pertença a π . 
e) o ponto de abscissa zero e cuja ordenada é o dobro da cota. 
f) o valor de k para que os planos π e !!: 3x + (k-2)y – 6z =0 sejam : 1- paralelos 
 2- ortogonais 
 
12- Calcule a distância entre os planos e os pontos dados: 
 
a) :π x – 2y +4z =1 e P (2, 1, 0) 
b) :π 3x + 2y + z – 1 = 0 e P (1, -1,2). 
 
13- Considerando os pontos A(-1,-3,4), B (-2,1,-4) e C(3, -11, 5), mostre que o triângulo ABC é isósceles e 
represente-o em R3. 
 
14- Determine o ângulo formado entre os planos: 
 
a) x +2y +z = 10 e 2x +y –z = - 1 
b) :1π 2x – y +1 = 0 e :2π 3x – 2y +1 = 0 
 
15- Esboce os planos (use os interceptos): 
 
a) 2x + 4y +3z = 8 
b) 4x + 3y – z – 12 = 0 
16- Determinar a equação do plano que passa pelo ponto A (2, 1, -2) e é perpendicular à reta 
! = −4+ 3!! = 1+ 2!! = ! 
 
17- Defina a equação geral do plano determinado pelos pontos A(2,1,-1), B(0,-1,1) e C (1,2,1). 
 
18- Determine o valor de m para que seja 30° o ângulo entre os planos: 
 
α: x + my + 2z - 7 = 0 e π: 4x +5y +3z + 2 = 0 
 
19- Determine as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A(1,-1,2) e B(2,1,0). 
 
20-Determinar, no eixo das ordenadas, um ponto equidistante de A(1,1,4) e B(-6,6,4). 
 
 
 
 
 
 
 
6