Matematica Discreta Aula 4

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MATEMÁTICA DISCRETA – AULA 4
PROFESSORA HELGA BODSTEIN, D.Sc. 
Aula 4
Relações Binárias
Conteúdo
• Relação Binária.
• Representação gráfica de uma Relação
Binária.
• A base para a formação de um banco de
dados
Aula 4 – Relações Binárias
Introdução
Ligações entre elementos de conjuntos são representados
usando uma estrutura chamada relação.
No nosso dia-a-dia estamos frequentemente utilizando o
conceito de relações:
– Comparar objetos (maior, menor, igual);
– Marido-Mulher, Pai-para-filho, Pai-mãe-filho; etc.
Aula 4 – Relações Binárias
Introdução
Relações podem ser usadas para resolver problemas tais
como:
– Determinar quais pares de cidades são ligadas por
linhas aéreas em uma rede;
– Busca de uma ordem viável para diferentes fases de um
projeto;
– Elaboração de um modo útil de armazenar informações
em bancos de dados computacionais.
Aula 4 – Relações Binárias
Introdução
Definição de Relações:
Pode-se definir relações como um subconjunto do produto 
cartesiano entre conjuntos.
Aula 4 – Relações Binárias
Produto Cartesiano
Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano
de A em B ao conjunto formado por todos os pares
ordenados cuja primeira coordenada seja pertencente a A, e a
segunda coordenada seja pertencente a B. O símbolo do
produto cartesioano é x.
Aula 4 – Relações Binárias
Produto Cartesiano
O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de
todos os pares ordenados:
A x B = {(x, y) | x ∈∈∈∈ A e y ∈∈∈∈ B}
Aula 4 – Relações Binárias
Produto Cartesiano
Por exemplo, dados os conjuntos A = {1, 2, 5} e B = {2, 4, 9},
o produto cartesiano de A em B é o conjunto (A x B) descrito a
seguir:
A x B = {(1,2), (1,4), (1,9), (2,2), (2,4), (2,9), (5,1), (5,4), (5,9)}
Aula 4 – Relações Binárias
Produto Cartesiano
O produto cartesiano não é comutativo, isto é, AxB ≠ BxA
Exemplo: Dados os conjuntos A = {1, 2, 5} e B = {2, 4, 9},
encontre os produtos cartesianos de A em B e de B em A.
A x B = {(1,2), (1,4), (1,9), (2,2), (2,4), (2,9), (5,1), (5,4), (5,9)}
B x A = {(2,1), (2,2), (2,5), (4,1), (4,2), (4,5), (9,1), (9,2), (9,5)}
Aula 4 – Relações Binárias
Relações Binárias
Dados dois conjuntos quaisquer A e B, uma relação binária
entre A e B é um subconjunto obtido do produto cartesiano
AxB destes conjuntos.
Uma relação binária de A em B é um conjunto R de pares
ordenados, onde o 1º elemento de cada par vem de A e o 2º
vem de B, ou seja R ⊆ A x B.
Aula 4 – Relações Binárias
Relações Binárias
Exemplo: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 5} e B = {2, 4, 9}. O
conjunto R= {(1,2), (2,4), (2,9)} é um subconjunto (A x B), logo
é define uma Relação Binária de A em B.
Aula 4 – Relações Binárias
Relações Binárias
Dado um conjunto A, uma relação binária sobre A, é um
subconjunto do produto cartesiano (AxA), ou seja, um
subconjunto de pares ordenados de elementos de A.
O produto cartesiano do conjunto A com ele mesmo,
denotado por (A x A) ou A2, é o conjunto de todos os pares
ordenados de elementos de A.
Aula 4 – Relações Binárias
Relações Binárias
Dado um conjunto A = {1,2,3},
A x A= {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}
O subconjunto R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} do conjunto (A x A)
define uma Relação Binária sobre A.
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Relações Binárias
Podemos descrever a relação binária R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}
como:
R = {(x, y)∈∈∈∈ A x A | y = x}
ou 
x R y ↔ y = x
(lê-se x está relacionado por R com y se e somente se y=x)
Aula 4 – Relações Binárias
Relações Binárias
Uma relação binária R sobre um conjunto A nada mas é do
que um subconjunto de (AxA) que pode ser descrita na forma
abreviada por:
x R y ↔ (x, y) R
Aula 4 – Relações Binárias
Relações Binárias
Exemplo: Seja A = {1,2}. Temos que, A x A = {(1,1), (1,2),
(2,1), (2, 2)}.
Seja R a relação sobre A definida por:
x R y ↔ x + y é ímpar.
A x A = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}
par ímpar ímpar par
R = {(1,2), (2,1)}
Aula 4 – Relações Binárias
Relações Binárias
Generalizando:
Dados n conjuntos A1, A2, ..., An, n > 2, uma relação n-ária 
em A1x A2x A3x ... An é um subconjunto do produto cartesiano 
(A1x A2x ... x An).
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Relação Ternária:
R = {(x, y, z)| x, y e z estão relacionados}
Em uma aplicação prática podemos ter o conjunto das ternas
ordenados que descrevam a seguinte situação:
(x, y, z) = (número de um vôo, ponto de partida, destino)
Aula 4 – Relações Binárias
Exemplos:
Para cada uma das relações binárias R, decida quais os
pares ordenados pertencem a R.
a) x R y ↔ x = y + 1; (2, 2), (2, 3), (3, 3), (3, 2)
b) x R y ↔ x divide y; (2, 4), (2, 5), (2, 6)
c) x R y ↔x é ímpar; (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)
d) x R y ↔x > y2; (1, 2), (2, 1), (5, 2), (6, 4), (4, 3)
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Exemplos:
a) x R y ↔ x = y + 1; (2, 2), (2, 3), (3, 3), (3, 2)
b) x R y ↔ x divide y; (2, 4), (2, 5), (2, 6)
c) x R y ↔x é ímpar; (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)
d) x R y ↔x > y2; (1, 2), (2, 1), (5, 2), (6, 4), (4, 3)
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Domínio e Contradomínio:
Em uma Relação Binária de A para B, o conjunto A é
chamado de domínio da relação e o conjunto B é chamado
de contradomínio da relação.
Exemplo: Na relação, R= {(2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)}
- O Domínio é o conjunto {2, 3, 4, 5}
- O Contra-Domínio é o conjunto {3, 4, 5, 6}.
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Domínio e Contradomínio:
Exemplo: Sejam os conjuntos A ={a, b, c, d} e B = {1, 2, 3}.
Considere R a relação binária definida a seguir por:
R = {(a,3), (b,3), (c,2), (c,3), (d,2), (d,3)}
O domínio de R é o conjunto A = {a,b,c,d} e o Contradomínio 
de R é o conjunto B = {1,2,3}.
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Domínio e Contra-domínio:
Representação gráfica:
A = {a,b,c,d}
B = {1,2,3}
R = {(a,3), (b,3), (c,2), (c,3), (d,2), (d,3)}
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Classificação das Relações Binárias
Seja R uma relação binária do conjunto A para o conjunto B.
• A relação R é um para um se cada primeira componente e
cada segunda componente aparecerem apenas uma vez
nos pares ordenados pertencentes à relação.
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Classificação das Relações Binárias
• A relação é um para muitos se alguma primeira
componente aparecer mais de uma vez nos pares
ordenados pertencentes à relação.
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Classificação das Relações Binárias
• A relação é dita muitos para um se alguma segunda
componente aparecer mais de uma vez nos pares
ordenados pertencentes à relação.
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Classificação das Relações Binárias
• A relação é muitos para muitos se pelo menos uma
primeira componente e pelo menos uma segunda
componente aparecerem em mais de uma vez nos pares
ordenados pertencentes à relação.
Aula 4 – Relações Binárias
Classificação das Relações Binárias
Exemplo: Identifique cada uma das relações em S como
sendo um para um, um para muitos, muitos para um ou
muitos para muitos, onde S = {2, 5, 7, 9}.
a) {(5,2), (7,5), (9,2)}
b) {(2,5), (5,7), (7,2)}
c) {(7,9), (2,5), (9,9), (2,7)}
Aula 4 – Relações Binárias
Classificação das Relações Binárias
a) {(5,2), (7,5), (9,2)} um para muitos
{(5,2), (7,5), (9,2)}
b) {(2,5), (5,7), (7,2)} um para um
{(2,5), (5,7), (7,2)}
c) {(7,9), (2,5), (9,9), (2,7)} muitos para muitos
{(7,9), (2,5), (9,9), (2,7)}
Aula 4 – Relações Binárias
Relações no Plano Cartesiano (R x R) ou R2
- Plano Cartesiano
O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y
perpendiculares entre si e que se cruzam num ponto O
chamado de origem dos eixos.
O eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas (eixo OX)
e o eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas (eixo OY).
Aula 4 – Relações Binárias
Relações no Plano Cartesiano (R x R) ou R2
- Plano Cartesiano
Aula 4 – Relações Binárias
Relações no Plano Cartesiano (R x R) ou R2
Os eixos x e y dividem o plano cartesiano em quatro regiões
distintas chamadas de quadrantes:
Aula 4 – Relações BináriasRelações no Plano Cartesiano (R x R) ou R2
Cada ponto P do plano cartesiano é formado por um par
ordenado (a, b) de números reais. O número a representa a
abscissa do ponto P e o número b a ordenada do ponto P.
Aula 4 – Relações Binárias
Relações no Plano Cartesiano (R x R) ou R2
• Pontos pertencentes ao 1º quadrante possuem
coordenadas (a,b) com a, b ≥ 0;
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Relações no Plano Cartesiano (R x R) ou R2
• Pontos pertencentes ao 2º quadrante possuem
coordenadas (a, b) com a ≤ 0 e b ≥ 0;
Aula 4 – Relações Binárias
Relações no Plano Cartesiano (R x R) ou R2
• Pontos pertencentes ao 3º quadrante possuem
coordenadas (a, b) com a, b ≤ 0;
Aula 4 – Relações Binárias
Relações no Plano Cartesiano (R x R) ou R2
• Pontos pertencentes ao 4º quadrante possuem
coordenadas (a, b) com a ≥ 0 e b ≤0.
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Relações no Plano Cartesiano (R x R) ou R2
• Pontos pertencentes ao 4º quadrante possuem
coordenadas (a, b) com a ≥ 0 e b ≤0.
Aula 4 – Relações Binárias
Exemplo: Marque no plano cartesiano e identifique em quais
quadrantes estão os seguintes pontos:
• P1(2,1)
• P2(-2, 3)
• P3(-1, -3)
• P4(2, -1)
Aula 4 – Relações Binárias
•P1(2,1) → a positivo e b positivo – 1º quadrante
•P2(-2,3) → a negativo e b positivo – 2º quadrante
•P3(-1,-3) → a negativo e b negativo – 3º quadrante
•P4(2,-1) → a negativo e b positivo – 4º quadrante
P2 P1
P4P3
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Gráficos de Relações Binárias em (R x R) ou R2
Relações binárias podem ser representadas por gráficos. 
Um gráfico é nada mais do que uma curva (o nome se
aplica mesmo a gráficos com apenas retas) que representa
visualmente a relação binária, para cada par ordenado em
que ela se defina.
O gráfico formado assim é também chamado de gráfico 
cartesiano, por representar um produto cartesiano.
Aula 4 – Relações Binárias
Gráficos de Relações Binárias em (R x R) ou R2
Exemplo: A relação R = {(x, y) | y = 2x para x e y reais} é
representada graficamente no plano cartesiano pela figura a
seguir:
Aula 4 – Relações Binárias
Exemplo: Seja x ∈ X = {1, 2, 3, 4}. Sabendo que:
xRy↔↔↔↔ x = y +1 (x está relacionado com y se e somente se x
= y + 1). Determine R e faça sua representação gráfica:
- Para x=1, y+1=1; y=0
- Para x=2, y+1=2; y=1
- Para x=3, y+1=3; y=2
- Para x=4, y+1=4. y=3
R = {(1,0), (2,1), (3,2), (4,3)}.
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Exemplo:
R = {(1,0), (2,1), (3,2), (4,3)}
Aula 4 – Relações Binárias
Exemplo: Seja X = {0, 1, 2, 3, 4}. Então, x R y↔ y = x2.
R = {(0,0), (1,1), (2,4), (3,9), (4,16)}
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Exercício: No plano cartesiano abaixo, encontre os pares
ordenados que definem cada ponto:
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Exercício: No plano cartesiano abaixo, encontre os pares
ordenados que definem cada ponto:
• A = (-2,4)
• B = (3,4)
• C = (2,0)
• D = (-2,-3)
• E = (1,-3)
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Exercício: Considere os segmentos g e k indicados no plano
cartesiano. Determine as coordenadas de suas extremidades.
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Exercício: Considere os segmentos g e k indicados no plano
cartesiano. Determine as coordenadas de suas extremidades.
• g = (-5,-3) e (0,2)
• k = (1,-2) e (4,1)
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Exercício: Dadas duas retas concorrentes (pxm), onde p∩m =
T. Determine as coordenadas cartesianas:
a) do ponto T
b) do ponto A, o que
corresponde à intersecção
da reta m com o eixo ox
c) do ponto B, o que
corresponde à intersecção
da reta p com o eixo de oy
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Exercício:
a) T = (4,1)
b) A = (3,0)
c) B = (0,5)