Resumo de Espaços Vetoriais Euclidianos

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Resumo de Espaços Vetoriais
Espaços vetoriais euclidianos
Espaço Euclidiano n-dimensional
Definição
	Se n é um inteiro positivo, dizemos que uma sequência de números reais é uma n-upla ordenada. O conjunto de todas a n-uplas ordenadas é chamado o espaço n-dimensional e denotado por .
Definição
	Dois vetores u = ( em são ditos iguais se:
	A soma u + v é definida por:
E se k é um escalar qualquer, o múltiplo escalar kv de v é definido por:
Teorema 1
Propriedade de Vetores em 
	Se u = (são vetores em e k e l são escalares então:
u + v = v + u
u + (v + w) = (u + v) + w
u + 0 = 0 + u = u
u + (-u) = 0
k (lu) = kl (u)
l (u + v) = lu + lv
(k + l)v = kv + lv
lu = u
Definição
	Se u = ( são vetores quaisquer em , então:
Define o produto interno euclidiano u . v de u e v.
Teorema 2
Propriedades do Produto Interno Euclidiano
	Se u, v e w são vetores em e l é um escalar, então:
u . v = v . u
(u + v) . w = u . w + v . w
(lu) . v = l (u . v)
v . v ≥ 0. Além disto, v . v = 0 se, e somente se, v = 0.
Teorema 3
A desigualdade de Cauchy-Schwars em 
	Se u = ( são vetores no , então:
Teorema 4
Propriedades do Comprimento em 
	Se u, v e w são vetores em e k é um escalar, então:
Teorema 5
Propriedades da Distância em 
	Se u, v e w são vetores em , então:
d(u,v) ≥ 0
d(u,v) = d(v,u)
d(u,v) = 0 se, e somente se, u = v
d(u,v) ≤ d(u,w) + d(u,v)
Teorema 6
	Se u e v são vetores em com o produto interno euclidiano, então:
Definição
	Dois vetores u e v em são ortogonais se u . v = 0.
Teorema 7
O teorema de Pitágoras em 
	Se u e v são vetores ortogonais em com o produto interno euclidiano, então:
Espaços vetoriais arbitrários
Espaços vetoriais reias
Definição
	Seja V um conjunto não-vazio qualquer de objetos no qual estão definidas duas operações, a adição e a multiplicação por escalares (números). Por adição nós entendemos uma regra que associa cada par de objetos u e v em V um objeto u + v, chamado a soma de u com v; por multiplicação por escalar nós entendemos uma regra que associa a cada escalar k um objeto v em V um objeto kv, chamado o múltiplo de v por k. Se os seguintes axiomas são satisfeitos por todos os objetos u, v e w em V e quaisquer escalares k e l, então nós dizemos que V é um espaço vetorial e que os objetos de V são vetores.
Se u e v são objetos em V então u + v é um objeto em V.
u + v = v + u
u + (v + w) = (u + v) + w
Existe um objeto 0 em V, chamado de vetor nulo ou vetor zero de V, tal que 0 + u = u + 0 = u, para cada u em V.
Para cada u em V, existe um objeto –u, chamado um negativo de u, tal u + (-u) = 0.
Se k é um qualquer escalar e v é um objeto em V, então kv é um objeto em V.
l (u + v) = lu + lv
(k + l)v = kv + lv
k (lu) = (kl)u
lu = u
Teorema 1
	Sejam V um espaço vetorial, u um vetor em V e l um escalar, então:
0u = 0
l0 = 0
(-1)u = -u
Se lu = 0 , então l = 0 ou u = 0
Subespaços vetoriais
Definição
	Um subconjunto W de um espaço vetorial V é chamado um subespaço vetorial de V se W é um espaço vetorial em relação às operações de adição e multiplicação por escalar definidas em V.
Teorema 1
	Se W é um conjunto de um ou mais vetores de um espaço vetorial V, então W é um subespaço de V se, e somente se, valem as seguintes condições:
Se u e v são vetores em W, então u + v está em W.
Se l é um escalar qualquer e u é um vetor qualquer em W, então lu estão em W.
Teorema 2
	Se Ax = b é um sistema linear homogêneo de m equações em n incógnitas, então o conjuntos dos vetores solução é um subespaço de .
Definição
	Dizemos que um vetor w é uma combinação linear dos vetores se w pode ser escrito na forma:
 
Onde são escalares.
Teorema 3
	Se são vetores em um espaço vetorial V, então:
O conjunto W de todas as combinações lineares de é um subespaço de V.
W é o menor subespaço de V que contém , no seguinte sentido: qualquer subespaço de V que contém também contém W.
Definição
	Se S = {} é um conjunto de vetores de um espaço vetorial V, então o subespaço W de V que consiste de todas as combinações lineares dos vetores em S é chamado o espaço gerado por e nós dizemos que os vetores geram W. Para indicar que W é o espaço gerado pelos vetores do conjunto S = {} nós escrevemos:
}
Teorema 4
	Se S = {} e S’ = {} são dois conjuntos de vetores em um espaço vetorial V, então:
Se, e somente se, cada vetor em S é uma combinação linear dos vetores de S’ e cada vetor em S’ é uma combinação linear dos vetores em S.
Independência Linear
Definição
	Se S = é um conjunto não vazio de vetores, então a equação vetorial , tem pelo menos uma solução, a saber, . Se esta é a única solução, então o conjunto S é chamado linearmente independente. Se existem outras soluções, então S é um conjunto linearmente dependente.
Teorema 1
	Um conjunto S de dois ou mais vetores é:
Linearmente dependente se, e somente se, pelo menos um dos vetores S pode ser escrito.
Linearmente independente se, e somente se, nenhum vetor de S pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores de S.
Teorema 2
Um conjunto finito de vetores que contém o vetor nulo é linearmente dependente.
Um conjunto de exatamente dois vetores é linearmente independente se, e somente se, nenhum dos dois vetores é um múltiplo escalar do outro.
Teorema 3
	Seja S = {} um conjunto de vetores em . Se r > n, então S é linearmente dependente.
Teorema 4
	Se as funções têm n-1 derivadas contínuas no intervalo (-∞, ∞) e se o wronskiano destas funções não é identicamente zero em (-∞, ∞), então estas funções formam um conjunto linearmente independente de vetores em .
Bases e Dimensão
Definição
	Se V é um espalho vetorial qualquer de S = {} é um conjunto de vetores em V, dizemos que S é uma base de V se valerem as seguintes condições:
S é linearmente independente.
S gera V.
Teorema 1
	Se S = {} é uma base de um espaço vetorial V, então cada vetor em V pode ser expresso da forma v = de uma única maneira.
Definição
	Um espaço vetorial não nulo V é chamado de dimensão finita se contém um conjunto finito {} de vetores que constitui uma base de V. Se não existir um tal conjunto, dizemos que V é de dimensão infinita. Além disto, consideramos o espaço vetorial nulo como sendo de dimensão finita.
Teorema 2
	Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita e {} uma base qualquer de V.
Um conjunto com mais do que n vetores é linearmente dependente.
Um conjunto com menos do que n vetores não gera V.
Teorema 3
	Todas as bases de um espaço vetorial de dimensão finita têm o mesmo número de vetores.
Definição
	A dimensão de um espaço vetorial de dimensão finita V é definida como o número de vetores de uma base de V e denotada por dim(V). Além disto, definimos o espaço vetorial nulo como tendo dimensão zero.
Teorema 4
	Seja S um conjunto não vazio de vetores em um espaço vetorial V.
Se S é um conjunto linearmente independente e se v é um vetor em V que está fora do ger(S), então o conjunto S {v} que resulta acrescentando v a S é ainda linearmente independente.
Se v é um vetor em S que pode ser expresso como uma combinação linear dos outros vetores de S e se S – {v} denota o conjunto obtido removendo v de S, então S e S – {v} geram o mesmo espaço, ou seja:
ger(S) = ger(S – {v})
Teorema 5
	Se V é um espaço vetorial n-dimensional e se S é um conjunto em V com exatamente n vetores, então S é uma vase de V se S ou gera V ou é linearmente independente.
Teorema 6
	Seja S um conjunto finito de vetores em um espaço vetorial V de dimensão finita.
Se S gera V mas não é uma base de V, então S pode ser reduzido a uma base de V removendo vetores apropriados de S.
Se S é um conjunto linearmente independente que não é uma base de V, então S pode ser ampliado para uma base de V acrescentando vetores apropriados a S.
Teorema 7
	Se W é um subespaço de um espaço vetorial V de dimensão finita, então dim(W) ≤ dim(V); além disto, se dim(W) = dim(V), então W = V.
Espaço-linha, espaço-coluna e espaço-nulo
Definição
	Parauma matriz m x n:
Os vetores:
Em formados pelas linhas de A são chamados os vetores linhas de A e os vetores:
Em formados pelas colunas de A são chamados os vetores-coluna de A.
Definição
	Se A é uma matriz m x n, então o subespaço de gerado pelos vetores-linha de A é chamado espaço-linha de A e o subespaço de gerado pelos vetores-coluna de A. O espaço-solução do sistema homogêneo de equações Ax = 0, que é um subespaço de , é chamado o espaço-nulo de A.
Teorema 1
	Um sistema Ax = b de equações lineares é consistente se, e somente se, b está no espaço-coluna de A.
Teorema 2
	Se denota uma solução particular de um sistema linear consistente Ax = b e se forma uma base do espaço-nulo de A, ou seja, do espaço-solução do sistema homogêneo Ax = 0, então cada solução de Ax = b pode ser escrita na forma:
E, reciprocamente, para qualquer escolha de escalares o vetor x desta fórmula é uma solução de Ax = b.
Teorema 3
	As operações elementares sobre linhas não alteram o espaço-nulo de uma matriz.
Teorema 4
	As operações elementares sobre linhas não alteram o espaço-linha de uma matriz.
Teorema 5
	Se A e B são matrizes equivalente por linhas, então:
Um conjunto qualquer de vetores-coluna de A é linearmente independente se, e somente se, o conjunto de vetores-coluna correspondente de B é linearmente independente.
Um conjunto qualquer de vetores-coluna de A forma uma base para o espaço-coluna de A se, e somente se, o conjunto de vetores-coluna correspondente de B forma uma base do espaço-coluna de B.
Teorema 6
	Se a matriz R está em forma escalonada por linhas, então os vetores-linha com os líderes (ou seja, os vetores-linha não nulos) formam uma base do espaço linha formam uma base do espaço-coluna de R.
Posto e Nulidade	
Teorema 1
	Se A é uma matriz qualquer, então o espaço-linha e o espaço-coluna de A têm a mesma dimensão.
Definição 
	A dimensão comum do espaço-linha e do espaço-coluna de uma matriz A é chamada posto de A, que nós denotamos por pos(A); a dimensão do espaço-nulo de A é chamada de nulidade de A, que nós denotamos por nul(A).
Teorema 2
	Se A é uma matriz qualquer, então pos(A) = pos().
Teorema 3
	Se A é uma matriz com n colunas, então: pos(A) + nul(A) = n.
Teorema 4
	Se A é uma matriz m x n, então:
Pos(A) = número de variáveis líderes na solução de Ax = 0.
Nul(A) = número de parâmetros na solução geral de Ax = 0.
Teorema 5
	Se Ax = b é um sistema linear de m equações em n incógnitas, então as seguintes afirmações são equivalentes:
Ax = b é consistente.
b está no espaço-coluna de A.
A matriz de coeficientes A e a matriz aumentada [A│b] tem o mesmo posto.
Teorema 6
	Se Ax = b é um sistema linear de m equações em n incógnitas, então as seguintes afirmações são equivalentes:
Ax = b é consistente para qualquer matriz b de tamanho m x 1.
Os vetores-coluna de A geram 
Pos(A) = m.
Teorema 7
	Se Ax = b é um sistema linear consistente de m equações em n incógnitas e se A tem posto r, então a solução geral do sistema contém n – r parâmetros.
Teorema 8
	Se A é uma matriz m x n, então as seguintes afirmações são equivalentes:
Ax = 0 possui somente a solução trivial.
Os vetores-coluna de A são linearmente independentes.
Ax = b tem no máximo uma solução para cada matriz b de tamanho m x 1.
Espaços com produtos interno
Produtos internos
Definição
	Um produto interno em um espaço vetorial real V é uma função que associa um número real <u,v> a cada par de vetores u e v em V de tal maneira que os seguintes axiomas são satisfeitos por quaisquer vetores u, v e w de V e qualquer escalar l.
<u, v> = <v, u>
<u + v, w> = <u,w> + <v,w>
<lu, v> = l<u,v>
<v,v> ≥ 0 e <v, v> = 0 se, e somente se, v = 0
Um espaço vetorial real com um produto interno é chamado espaço com produto interno real.
Definição
	Se V é um espaço com produto interno, então a norma (ou comprimento) de um vetor u de V é denotada por e é definida por:
	A distância entre dois pontos (vetores) u e v é denotada por d(u,v) e é definida por:
Teorema 1
	Se u, v e w são vetores em um espaço com produto interno real e k é um escalar qualquer, então:
<0, v> = <v, 0> = 0
<u, v + w> = <u, v> + <u, w>
<u, kv> = k<u,v>
<u – v, w> = <u, w> - <v, w>
<u, v – w> = <u, v> - <u, w>
Ângulo e ortogonalidade em espaços com produto interno
Teorema 1
	Se u e v são vetores de um espaço com produto interno real, então:
Teorema 2
	Se u e v são vetores de um espaço com produto interno V e se k é um escalar qualquer, então:
 
Teorema 3
	Se u, v e w são vetores em um espaço com produto interno V, então:
Definição
	Dois vetores u e v de um espaço com produto interno são chamados ortogonais se <u, v> = 0.
Teorema 4
	Se u e v são vetores ortogonais em um espaço com produto interno, então:
Definição
	Seja W um subespaço de um espaço com produto interno V. Um vetor u de V é dito ortogonal a W se é ortogonal a cada vetor de W, e o conjunto de todos os vetores de V que são ortogonais a W é chamado complemento ortogonal de W.
Teorema 5
	Se W é um subespaço de um espaço com produto interno V de dimensão finita, então:
O único vetor comum a W é 
O complemento ortogonal de é W, ou seja, = W
Teorema 6
	Se A é uma matriz m x n, então:
O espaço-nulo de A e o espaço-linha de A são complementos ortogonais em com relação ao produto interno no euclidiano.
O espaço-nulo e o espaço-coluna de A são complementos ortogonais em com relação ao produto interno euclidiano.
Teorema 7
	Se A é uma matriz n x n e se é a multiplicação por A, então as seguintes afirmações são equivalentes:
A é invertível.
Ax = 0 admite somente a solução trivial.
A forma escalonada reduzida por linhas de A é 
A pode ser escrita como um produto de matrizes elementares.
Ax = b é consistente para cada matiz b de tamanho n x 1.
Ax = b tem exatamente uma solução para cada matiz b de tamanho n x 1.
Det(A) ≠ 0
A imagem de 
Os vetores-coluna de A são linearmente independentes
Os vetores-linha de A são linearmente independentes
Os vetores-coluna de A geram 
Os vetores-linha de A geram 
Os vetores-coluna de A formam uma base do 
Os vetores-linha de A formam uma base do 
A tem posto n
A tem nulidade 0
O complemento ortogonal do espaço-nulo de A é o 
O complemento ortogonal do espaço-linha de A é {0}
Bases ortonormais: processo de Gram-Schmidt; decomposição de QR
Definição
	Um conjunto de vetores em um espaço com produto interno é chamado um conjunto ortogonal se quaisquer dois vetores distintos do conjunto são ortogonais. Um conjunto ortogonal no qual cada vetor tem norma 1 é chamado ortonormal.
Teorema 1
	 Se é uma base ortonormal de um espaço com produto interno V e u é um vetor qualquer de V, então:
Teorema 2
	Se S é uma base ortonormal de um espaço n-dimensional com produto interno e se , então:
<u, v> = 
Teorema 3
	Se } é um conjunto ortogonal de vetores não-nulos de um espaço com produto interno, então S é linearmente independente.
Teorema 4
	Se W é um subespaço de dimensão finita de um espaço com produto interno V, então cada vetor u de V pode ser expresso precisamente de uma única maneira como:
, onde está em W e está em 
Matrizes ortogonais: mudança de base
Definição
	Uma matriz ortogonal é uma matriz quadrada A com a propriedade 
Teorema 1
A inversa de uma matriz ortogonal é ortogonal.
Um produto de matrizes ortogonais é ortogonal.
Se A é ortogonal, então det(A) = 1 ou det(A) = -1.
Teorema 2
	Se A é uma matriz n x n, as seguintes afirmações são equivalentes:
A é ortogonal.
para quaisquer x e y em 
Teorema 3
	Se P é a matriz de transição de uma base B’ para uma base B em um espaço vetorial de dimensão finita V, então:
P é invertível.
é a matriz de transição de B para B’.