P1_2015-2_gabarito

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Centro Federal de Educac¸a˜o Tecnolo´gica
UnED Itagua´ı
Engenharia Mecaˆnica
A´lgebra Linear 2 Turma: 2015-2 Data: 01/10/2015 Prova: P1
Professor: Washington Santos Aluno: Nota:
Questa˜o 1 - (2.0 pt)
Considere S = {(x, y, z); z = 2x− y} ∈ R3.
a) Mostre que S e´ um subespac¸o vetorial de R3 relativamente a`s operac¸o˜es de soma e produto por escalar
usuais. (1.0 pt)
b) Determine uma base de S e sua dimensa˜o. Geometricamente, o que representa S? (1.0 pt)
a)
(i) (0, 0, 0) ∈ S. De fato, basta fazer x = y = 0 =⇒ z = 0.
(ii) Sejam u = (x1, y1, 2x1 − y1) e u = (x2, y2, 2x2 − y2) vetores de S. Temos que,
u+ v = (x1, y1, 2x1 − y1) + (x2, y2, 2x2 − y2) = (x1 + x2, y1 + y2, 2x1 − y1 + 2x2 − y2)
= (x1 + x2, y1 + y2, 2(x1 + x2)− (y1 + y2)) ∈ S
Logo, S e´ fechado pra soma.
(iii) Sejam u = (x, y, 2x− y) ∈ S e λ ∈ R. Temos que
λu = λ(x, y, 2x− y) = (λx, λy, 2λx− λy) ∈ S
Logo, S e´ fechado para o produto por escalar.
Portanto, de (i), (ii) e (iii), temos que S e´ um subespac¸o vetorial de R3 relativamente a`s operac¸o˜es de
soma e produto por escalar usuais.
b)
S = {(x, y, 2x− y);x, y ∈ R} = {(x, 0, 2x) + (0, y,−y);x, y ∈ R} = {x(1, 0, 2) + y(0, 1,−1);x, y ∈ R}
= [(1, 0, 2), (0, 1,−1)]
Logo, {(1, 0, 2), (0, 1,−1)} e´ uma base de S.
S e´ o plano ortogonal ao vetor (1, 0, 2)× (0, 1,−1) e que conte´m a origem.
Questa˜o 2 - (4.0 pt)
Seja T : R3 → R2 dada por T (x, y, z) = (2x − y + z, 3x + y − 2z) e A = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} e
B = {(2, 1), (5, 3)}.
a) Mostre que A e B sa˜o bases de R3 e R2, respectivamente. (1.0 pt)
b) Determine a matriz [T ]A,B. (1.0 pt)
c) Determine N(T ) e sua dimensa˜o. Geometricamente, o que representa N(T )? (1.0 pt)
d) Determine a dimensa˜o de Im(T ). Geometricamente, o que representa Im(T )? (1.0 pt)
a)
A e´ LI. De fato, observe que
a(1, 1, 1) + b(0, 1, 1) + c(0, 0, 1) = (0, 0, 0)⇐⇒

a = 0
a+ b = 0
a+ b+ c = 0
⇐⇒ a = b = c = 0
A gera R3. Note que ∀(x, y, z) ∈ R3, temos que
a(1, 1, 1) + b(0, 1, 1) + c(0, 0, 1) = (x, y, z)⇐⇒

a = x
a+ b = y
a+ b+ c = z
⇐⇒

a = x
b = y − x
c = z − y
BOA PROVA!!! 1
Centro Federal de Educac¸a˜o Tecnolo´gica
UnED Itagua´ı
Engenharia Mecaˆnica
A´lgebra Linear 2 Turma: 2015-2 Data: 01/10/2015 Prova: P1
Professor: Washington Santos Aluno: Nota:
Logo, A e´ uma base de R3.
B e´ LI. De fato, note que
a(2, 1) + b(5, 3) = (0, 0)⇐⇒
{
2a+ 5b = 0
a+ 3b = 0
⇐⇒ a = b = 0
B gera R2. Note que ∀(x, y) ∈ R2, temos que
a(2, 1) + b(5, 3) = (x, y)⇐⇒
{
2a+ 5b = x
a+ 3b = y
⇐⇒
{
a = 3x− 5y
b = 2y − x
Logo, B e´ uma base de R2.
b)
Aplicando T aos vetores de A, temos que
T (1, 1, 1) = (2, 2), T (0, 1, 1) = (0,−1) e T (0, 0, 1) = (1,−2)
De (a), temos que
[(x, y)]B =
[
3x− 5y
−x+ 2y
]
Assim, temos que
[T (1, 1, 1)]B = [(2, 2)]B =
[−4
2
]
[T (0, 1, 1)]B = [(0,−1)]B =
[
5
−2
]
[T (0, 0, 1)]B = [(1,−2)]B =
[
13
−5
]
Portanto,
[T ]A,B =
−4 5 13
2 −2 −5

c)
N(T ) = {(x, y, z) ∈ R3;T (x, y, z) = (0, 0)}. Assim, basta fazermos
(2x− y + z, 3x+ y − 2z) = (0, 0)⇐⇒
{
2x− y + z = 0
3x+ y − 2z = 0
Uma das soluc¸o˜es desse sistema e´ dado por z = 5x e y = 7x. Logo,
N(T ) = {(x, 7x, 5x);x ∈ R} = {x(1, 7, 5);x ∈ R} = [(1, 7, 5)] =⇒ dimN(T ) = 1
Assim, N(T ) representa uma reta no R3 gerada pelo vetor v = (1, 7, 5) e que conte´m a origem.
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Engenharia Mecaˆnica
A´lgebra Linear 2 Turma: 2015-2 Data: 01/10/2015 Prova: P1
Professor: Washington Santos Aluno: Nota:
d)
Pelo Teorema do Nu´cleo e Imagem (dimV = dimN(T ) + dimIm(T )), temos que
dimR3 = 3 = dimN(T ) + dimIm(T ) = 1 + dimIm(T ) =⇒ dimIm(T ) = 2 = dimR2
Portanto, Im(T ) = R2.
Questa˜o 3 - (2.0 pt)
Em R2, considere as bases β′ = {(2,−1), (3, 4)} e β a base canoˆnica do R2.
a) Mostre que β′ e´ uma base de R2. (0.5 pt)
a) Encontre a matriz de transic¸a˜o Pβ→β′ de β para β′. (1.0 pt)
b) Use Pβ→β′ para determinar [v]β′ para v = (5,−8). (0.5 pt)
a)
β′ e´ LI. De fato, note que
a(2,−1) + b(3, 4) = (0, 0)⇐⇒
{
2a+ 3b = 0
−a+ 4b = 0 ⇐⇒ a = b = 0
β′ gera R2. Note que ∀(x, y) ∈ R2, temos que
(x, y) = a(2,−1) + b(3, 4)⇐⇒
{
x = 2a+ 3b
y = −a+ 4b
=⇒ a = 4x− 3y
11
e b =
x+ 2y
11
Logo, β′ e´ uma base de R2.
b)
De (a), temos que
[(x, y)]β′ =
4x−3y11
x+2y
11

Assim, temos que
[(1, 0)]β′ =
[
4
11
1
11
]
e [(0, 1)]β′ =
[−3
11
2
11
]
Portanto,
Pβ→β′ =
 411 −311
1
11
2
11

c)
[v]β′ = Pβ→β′ · [v]β =
 411 −311
1
11
2
11
 · [ 5−8
]
=
[
4
−1
]
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A´lgebra Linear 2 Turma: 2015-2 Data: 01/10/2015 Prova: P1
Professor: Washington Santos Aluno: Nota:
Questa˜o 4 - (2.0 pt)
Considere em R3 a transformac¸a˜o que consiste de uma de rotac¸a˜o de 300, no sentido anti-hora´rio, em
torno do eixo y, seguida de uma projec¸a˜o sobre o plano yz. Encontre T (x, y).
[T1] =
cos300 0 −sen3000 1 0
sen300 0 cos300
 =

√
3
2
0 −1
2
0 1 0
1
2
0
√
3
2

T2(x, y, z) = (0, y, z) =
0 0 00 1 0
0 0 1
xy
z
 =⇒ [T2] =
0 0 00 1 0
0 0 1

[T ] = [T2] · [T1] =
0 0 00 1 0
0 0 1

√
3
2
0 −1
2
0 1 0
1
2
0
√
3
2
 =
0 0 00 1 0
1
2
0
√
3
2

=⇒ T (x, y, z) = [T ]
xy
z
 = (0, y, x+√3z
2
)
BOA PROVA!!! 4