Transformações lineares

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Transformações Lineares 
 
Definição: Sejam 𝑈 e 𝑉 espaços vetoriais. Uma aplicação 𝑇: 𝑈 → 𝑉 é chamada linear se: 
i) 𝑇(𝐮 + 𝐯) = 𝑇(𝐮) + 𝑇(𝐯), ∀ 𝐮, 𝐯 ∈ 𝑈 
ii) 𝑇(k𝐮) = 𝑘𝑇(𝐮); ∀ 𝐮 ∈ 𝑈 𝑒 ∀𝑘 ∈ ℝ 
 
Exemplos: 
a) 𝑇: 𝑈 → 𝑉 definida por 𝑇(𝐮) = 𝐮 é transformação linear, pois: 
i) 𝑇(𝐮 + 𝐯) = 𝑇(𝐮) + 𝑇(𝐯), ∀ 𝐮, 𝐯 ∈ 𝑈 
 𝑇(𝐮 + 𝐯) = 𝐮 + 𝐯 = 𝑇(𝐮) + 𝑇(𝐯) 
ii) 𝑇(k𝐮) = 𝑘𝑇(𝐮); ∀ 𝐮 ∈ 𝑈 𝑒 ∀𝑘 ∈ ℝ 
 𝑇(k𝐮) = 𝑘𝐮 = 𝑘𝑇(𝐮) 
b) 𝑇: ℝ3 → ℝ2 definida por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦, 2𝑥 − 𝑧) é transformação linear, pois: 
 𝒖 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝒗 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) 
i) 𝑇(𝐮 + 𝐯) = 𝑇(𝐮) + 𝑇(𝐯), ∀ 𝐮, 𝐯 ∈ 𝑈 
 𝑇((𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) + (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2)) = 𝑇(𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2, 𝑧1 + 𝑧2) 
= (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑦1 + 𝑦2, 2(𝑥1 + 𝑥2) − (𝑧1 + 𝑧1)) 
 T(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) + 𝑇(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) = (𝑥1 + 𝑦1, 2𝑥1 − 𝑧1) + (𝑥2 + 𝑦2, 2𝑥2 − 𝑧2) 
= (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑦1 + 𝑦2, 2(𝑥1 + 𝑥2) − (𝑧1 + 𝑧1)) 
ii) 𝑇(k𝐮) = 𝑘𝑇(𝐮); ∀ 𝐮 ∈ 𝑈 𝑒 ∀𝑘 ∈ ℝ 
 𝑇(k(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1)) = 𝑇(𝑘𝑥1, 𝑘𝑦1, 𝑘𝑧1) = (𝑘𝑥1 + 𝑘𝑦1, 2𝑘𝑥1 − 𝑘𝑧1) 
 𝑘𝑇(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) = (𝑥1 + 𝑦1, 2𝑥1 − 𝑧1) = (𝑘𝑥1 + 𝑘𝑦1, 2𝑘𝑥1 − 𝑘𝑧1) 
 
Obs: Uma transformação linear 𝑇: 𝑈  𝑉 leva o vetor nulo de 𝑈 no vetor nulo de 𝑉, isto é, se 
0  𝑉, 𝑇(0) = 0  𝑊. Assim, se 𝑇(0) ≠ 0, T não é linear. No entanto, 𝑇(0) = 0 não é suficiente 
para que T seja linear. 
 
Exemplo: 𝑇: ℝ2 → ℝ3; em que 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥𝑦, 𝑦, 𝑧 + 1) não é linear, pois 𝑇(0,0) = (0, 0,1). 
Exercícios: 
a) Seja 𝑇: ℝ2 → ℝ2 definida por 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦, 𝑥 + 𝑦). T é transformação linear? 
b) Seja 𝑇: ℝ → ℝ definida por 𝑇(𝑥) = 𝑥2 . T é transformação linear? 
c) Seja 𝑇: ℝ2 → ℝ2 definida por 𝑇(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 4. T é uma transformação linear? 
 
Transformações do plano no plano: 
a) Expansão ou contração uniforme: 
𝑇: ℝ2 → ℝ2, 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑘(𝑥, 𝑦); 𝑘 > 0 
b) Reflexão em torno do eixo x: 
 𝑇: ℝ2 → ℝ2, 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥, −𝑦) 
c) Reflexão na origem: 
 𝑇: ℝ2 → ℝ2; 𝑇(𝑥, 𝑦) = (−𝑥, −𝑦) 
d) Rotação de um ângulo 𝜃 no sentido anti-horário: 
 𝑅𝜃: ℝ
2 → ℝ2; 𝑅𝜃(𝑥, 𝑦) = (𝑥 cos𝜃 – 𝑦 sen𝜃, 𝑦 cos 𝜃 + 𝑥 sen𝜃) 
 
Exemplo: Seja 𝑇: ℝ2 → ℝ2 uma transformação linear tal que 𝑇(1,2) = (3, −1) e 𝑇(0,1) = (1,2). 
Encontre 𝑇(𝑥, 𝑦). 
Solução: Note que {(1,2), (0,1)} é uma base de ℝ2, então todo vetor (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 pode ser escrito 
como uma combinação linear de (1,2) e (0,1): 
(𝑥, 𝑦) = 𝑎(1,2) + 𝑏(0,1) = (𝑎, 2𝑎 + 𝑏) ⇒ {
𝑥 = 𝑎
𝑦 = 2𝑎 + 𝑏 ⇒ 𝑏 = 𝑦 − 2𝑥 
Ou seja, 
(𝑥, 𝑦) = 𝑥(1,2) + (𝑦 − 2𝑥)(0,1) 
⇒ 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑇[𝑥(1,2) + (𝑦 − 2𝑥)(0,1)] 
 = 𝑇[𝑥(1,2)] + 𝑇[(𝑦 − 2𝑥)(0,1)]; pois 𝑇é linear 
 = 𝑥 𝑇(1,2) + (𝑦 − 2𝑥) 𝑇(0,1); pois 𝑇é linear 
 = 𝑥 (3, −1) + (𝑦 − 2𝑥)(1,2) 
 = (𝑥 + 𝑦, 2𝑦 − 5𝑥) 
 
Obs: Uma transformação linear 𝑇: 𝑈 → 𝑉 fica determinada por seus valores em uma base de 𝑈. 
 
Exercício: Qual é a transformação linear 𝑇: ℝ2 → ℝ3 com 𝑇(1,0) = (2, −1,0) e 𝑇(0,1) =
 (0,0,1)? 
 
Imagem e Núcleo 
Definição: Seja 𝑇: 𝑈 → 𝑉 uma transformação linear. 
i) A imagem de 𝑇 é o subconjunto (e subespaço ) de 𝑉 : 
𝐼𝑚 (𝑇) = {𝐯  𝑉; 𝑇(𝐮) = 𝐯, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚 𝐮  𝑈} = {𝑇(𝐮); 𝐮 ∈ 𝑈}. 
ii) O núcleo de 𝑇 é o subconjunto (e subespaço) de U: 
𝑁𝑢𝑐(𝑇) = 𝐾𝑒𝑟(𝑇) = {𝐮  𝑈; 𝑇(𝐮) = 0}. 
 
Exemplo: 𝑇: ℝ2 → ℝ; tal que 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 
i) 𝐾𝑒𝑟(𝑇) = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2; 𝑇(𝑥, 𝑦) = 0} = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2; 𝑥 + 𝑦 = 0} 
 = {(𝑥, −𝑥); 𝑥 ∈ ℝ} = [ (1, −1)] 
ii) 𝐼𝑚(𝑇) = {𝑇(𝐮); 𝐮 ∈ 𝑈} = {𝑥 + 𝑦; 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ} = [1] = ℝ 
 
Exemplo: 𝑇: ℝ3 → ℝ3; tal que 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, 2𝑦, 0) 
i) 𝐾𝑒𝑟(𝑇) = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3; 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0} = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3; (𝑥, 2𝑦, 0) = (0,0,0)} 
 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3; 𝑥 = 𝑦 = 0} = {(0,0, 𝑧); 𝑧 ∈ ℝ} = [ (0,0,1)] 
ii) 𝐼𝑚(𝑇) = {𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧); (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3} = {(𝑥, 2𝑦, 0); 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ} 
 = {(𝑥, 0,0) + (0,2𝑦, 0); 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ} = [(1,0,0), (0,2,0)] 
Exercícios: Determine a dimensão do núcleo e da imagem das transformações lineares: 
a) 𝑇: ℝ2 → ℝ3; tal que 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦, 𝑥 + 2𝑦, 0) 
b) 𝑇: ℝ3 → ℝ2; tal que 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦, 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧) 
 
Definição: Seja 𝑇: 𝑈 → 𝑉 uma transformação linear. 
i) T é injetora se dados 𝐮, 𝐯 ∈ 𝑈 com 𝐮 ≠ 𝐯, então 𝑇(𝐮) ≠ 𝑇(𝐯). Equivalentemente, 
 𝑇(𝐮) = 𝑇(𝐯) ⇔ 𝐮 = 𝐯 
ii) T é sobrejetora se a imagem de T coincidir com 𝑉, ou seja, 𝐼𝑚(𝑇) = 𝑉. 
 
Exemplo: 𝑇: ℝ2 → ℝ2; tal que 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑦, −𝑥) 
Sejam 𝐮 = (𝑥1, 𝑦1); 𝐯 = (𝑥2, 𝑦2) ∈ ℝ
2 
i) T é injetora pois: 
 𝑇(𝐮) = 𝑇(𝐯) ⇔ T(𝑥1, 𝑦1) = T(𝑥2, 𝑦2) ⇔ (𝑦1, −𝑥1) = (𝑦2, −𝑥2) ⇔ 𝑥1 = 𝑥2 𝑒 𝑦1 = 𝑦2 ⇔
 𝐮 = 𝐯 
ii) T é sobrejetora pois: 
𝐼𝑚(𝑇) = {𝑇(𝑥, 𝑦); (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2} = {(𝑦, −𝑥); 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ} = [(1,0), (0, −1)] = ℝ2. 
 
Exemplo: 𝑇: ℝ2 → ℝ3; tal que 𝑇(𝑥, 𝑦) = (2𝑥, −𝑦, 𝑦) 
Sejam 𝐮 = (𝑥1, 𝑦1); 𝐯 = (𝑥2, 𝑦2) ∈ ℝ
2 
i) T é injetora pois: 
𝑇(𝐮) = 𝑇(𝐯) ⇔ T(𝑥1, 𝑦1) = T(𝑥2, 𝑦2) ⇔ (2𝑥1, −𝑦1, 𝑦1) = (2𝑥2, −𝑦2, 𝑦2) 
 ⇔ 𝑥1 = 𝑥2 𝑒 𝑦1 = 𝑦2 ⇔ 𝐮 = 𝐯 
ii) T não é sobrejetora pois: 
𝐼𝑚(𝑇) = {𝑇(𝑥, 𝑦); (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2} = {(2𝑥, −𝑦, 𝑦); 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ} = [(2,0,0), (0, −1, 1)] ≠ ℝ2, já 
que dim 𝐼𝑚(𝑇) = 2 ≠ dim 𝑅3 = 3 
Exemplo: 𝑇: ℝ2 → ℝ3; tal que 𝑇(𝑥, 𝑦) = (0, 𝑥 + 𝑦, 0) 
Sejam 𝐮 = (𝑥1, 𝑦1); 𝐯 = (𝑥2, 𝑦2) ∈ ℝ
2 
a) T não é injetora pois: 
𝑇(𝐮) = 𝑇(𝐯) ⇔ T(𝑥1, 𝑦1) = T(𝑥2, 𝑦2) ⇔ (0, 𝑥1 + 𝑦1, 0) = (0, 𝑥2 + 𝑦2, 0) 
⇔ 𝑥1 + 𝑦1 = 𝑥2 + 𝑦2 
Se 𝐮 = (1,2) e 𝐯 = (2,1), então 𝑇(𝐮) = 𝑇(𝐯) = (0,3,0), mas 𝐮 ≠ 𝐯 
b) T não é sobrejetora pois: 
𝐼𝑚(𝑇) = {𝑇(𝑥, 𝑦); (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2} = {(0, 𝑥 + 𝑦, 0); 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ} = [ (0,1, 0)] ≠ ℝ2, já que 
dim 𝐼𝑚(𝑇) = 1 ≠ dim 𝑅3 = 3 
 
Exercício: Determine se 𝑇: ℝ2 → ℝ3; tal que 𝑇(𝑥, 𝑦) = (−𝑥, 𝑥 + 𝑦, 2𝑦) é injetora e sobrejetora. 
 
Proposição: Uma transformação linear é injetora se, e somente se, Ker(T) = {0}. 
 
Teorema do Núcleo e da Imagem: Sejam 𝑈 e 𝑉 espaços vetoriais. Dada uma transformação linear 
𝑇: 𝑈 → 𝑉, então 
dim 𝑈 = dim 𝐾𝑒𝑟(𝑇) + dim 𝐼𝑚 (𝑇) 
 
Exemplo: 𝑇: ℝ3 → ℝ3; tal que 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑧, 𝑥 − 𝑦, −𝑧). Determine 
dim 𝐾𝑒𝑟(𝑇) e dim 𝐼𝑚 (𝑇). Depois, decida se T é injetora e se T é sobrejetora. 
Solução: 
𝐾𝑒𝑟(𝑇) = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3; 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0,0,0)} = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3; (𝑧, 𝑥 − 𝑦, 𝑧) = (0,0,0)} 
 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3; 𝑧 = 0 𝑒 𝑥 = 𝑦} = {(𝑥, 𝑥, 0); 𝑥 ∈ ℝ} = [ (1,1,0)] 
 ⇒ dim 𝐾𝑒𝑟(𝑇) = 1 e 𝑇 não é injetora. 
Além disso, pelo teorema do núcleo e da imagem, 
dim ℝ3 = dim 𝐾𝑒𝑟(𝑇) + dim 𝐼𝑚 (𝑇) 
3 = 1 + dim 𝐼𝑚 (𝑇) 
ou seja, dim 𝐼𝑚(𝑇) = 2 ≠ dim 𝑅3 = 3. Logo, T não é sobrejetora. 
 
Exercício: 𝑇: ℝ3 → ℝ4; tal que 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑧, 2𝑥, 𝑦, 𝑥 − 𝑧). Determine 
dim 𝐾𝑒𝑟(𝑇) e dim 𝐼𝑚 (𝑇). Depois, decida se T é injetora e se T é sobrejetora. 
Proposição: Sejam 𝑈 e 𝑉 espaços vetoriais com a mesma dimensão 𝑛 e suponhamos 𝑇: 𝑈 → 𝑉 uma 
transformação linear. Então, são equivalentes as seguintes afirmações: 
a) T é sobrejetora 
b) T é bijetora 
c) T é injetora 
d) T transforma uma base de 𝑈 em uma base de 𝑉, isto é, se {𝐮1, 𝐮2, … , 𝐮𝑛} é uma base de 𝑈, 
então {𝑇(𝐮1), 𝑇(𝐮2), … , 𝑇(𝐮𝑛)} é base de 𝑉. 
 
Exercício: 𝑇: ℝ3 → ℝ3; tal que 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑧, 2𝑥 − 𝑦, 𝑦). Determine 
dim 𝐾𝑒𝑟(𝑇) e dim 𝐼𝑚 (𝑇). Depois, decida se T é injetora e se T é sobrejetora. 
 
Matriz de uma transformação linear 
Toda transformação linear pode ser representada poruma matriz. 
Exemplos: 
1) Reflexão em torno do eixo 𝑥: 𝑇: ℝ2 → ℝ2 tal que 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥, −𝑦) 
Considerando a base canônica: 
 
𝑇(1,0) = (1,0)
𝑇(0,1) = (0, −1)
⇒ 𝑇 (
𝑥
𝑦) = [
1 0
0 −1
] [
𝑥
𝑦] 
 
2) Reflexão na origem: 𝑇: ℝ2 → ℝ2; 𝑇(𝑥, 𝑦) = (−𝑥, −𝑦) 
Considerando a base canônica: 
 
𝑇(1,0) = (−1,0)
𝑇(0,1) = (0, −1)
⇒ 𝑇 (
𝑥
𝑦) = [
−1 0
0 −1
] [
𝑥
𝑦] 
Exemplo: Sejam 𝐴 = [
1 −3 5
2 4 −1
] e 𝑇: ℝ3 → ℝ2; com 𝑇𝑋 = 𝐴𝑋; 𝑋 = (
𝑥
𝑦
𝑧
). 
𝑇𝑋 = 𝑇 (
𝑥
𝑦
𝑧
) = [
1 −3 5
2 4 −1
] (
𝑥
𝑦
𝑧
) = (
𝑥 − 3𝑦 + 5𝑧
2𝑥 + 4𝑦 + 𝑧
). 
Ou seja, 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 3𝑦 + 5𝑧, 2𝑥 + 4𝑦 + 𝑧). 
 
Sejam 𝑆 = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e 𝑆′ = {(1,0), (0,1)}. Então, 
[(𝑥, 𝑦, 𝑧)]𝑆 = (
𝑥
𝑦
𝑧
) e [𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧)]𝑆′ = (
𝑥 − 3𝑦 + 5𝑧
2𝑥 + 4𝑦 + 𝑧
) = 𝐴[(𝑥, 𝑦, 𝑧)]𝑆. 
Exemplo: Sejam A= [
1 −3 5
2 4 −1
] e 𝑇: ℝ3 → ℝ2; com 𝑇𝑋 = 𝐴𝑋; 𝑋 = (
𝑥
𝑦
𝑧
) e as bases 
𝐵 = {(1,1,0), (1,1,0), (1,0,0)} e 𝐵′ = {(1,1), (−1,1)}. Então, 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧(1,1,1) + (𝑦 − 𝑧)(1,1,0) + (𝑥 − 𝑦)(1,0,0) 
Logo, [(𝑥, 𝑦, 𝑧)]𝐵 = (
𝑧
𝑦 − 𝑧
𝑥 − 𝑦
) e 
[𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧)]𝐵′ = 𝐴[(𝑥, 𝑦, 𝑧)]𝐵 
= [
1 −3 5
2 4 −1
] (
𝑧
𝑦 − 𝑧
𝑥 − 𝑦
) = (
𝑧 − 3𝑦 + 3𝑧 + 5𝑥 − 5𝑦
2𝑧 + 4𝑦 − 4𝑧 + 𝑥 − 𝑦
) = (
5𝑥 − 8𝑦 + 4𝑧
𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧
). 
Assim, 
 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (5𝑥 − 8𝑦 + 4𝑧)(1,1) + (𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧)(−1,1) = (4𝑥 − 11𝑦 + 6𝑧, 6𝑥 − 5𝑦 + 2𝑧). 
 
De maneira geral, sejam 𝑈 e 𝑉 espaços vetoriais de dimensão 𝑛 e 𝑚, respectivamente, com as bases 
𝑆 = {𝐮1, 𝐮2, … , 𝐮𝑛} de 𝑈 e 𝑆
′ = {𝐯1, 𝐯𝟐, … , 𝐯𝑚} de 𝑉. Consideremos uma transformação linear 
𝑇: 𝑈 → 𝑉 com [𝑇(𝐮)]𝑆′ = 𝐴 [𝐮]𝑠. Temos que cada um dos vetores 𝑇(𝐮1), 𝑇(𝐮2), … , 𝑇(𝐮𝑛) está em 
𝑉 e consequentemente é combinação de 𝐯1, 𝐯𝟐, … , 𝐯𝑚. 
𝑇(𝐮1) = 𝑎11𝐯1 + 𝑎21𝐯2 + ⋯ + 𝑎𝑚1𝐯𝑚 
𝑇(𝐮2) = 𝑎12𝐯1 + 𝑎22𝐯2 + ⋯ + 𝑎𝑚2𝐯𝒎 
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 
𝑇(𝑛) = 𝑎1𝑛𝐯1 + 𝑎2𝑛𝐯2 + . . . + 𝑎𝑚𝑛𝐯𝑚 
 
[𝑇]𝑠′
𝑠 = (
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
) = ([𝑇(𝐮1)]𝑆′|[𝑇(𝐮2)]𝑆′| … |[𝑇(𝐮𝑛)]𝑆′) 
 
[𝑇]𝑠′
𝑠 é chamada matriz de 𝑇 em relação às bases 𝑆 e 𝑆’. 
 
Exemplo: Qual a matriz de 𝑇: ℝ3 → ℝ2 dada por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦, 𝑦 + 𝑧), em relação às bases 
 𝑆 = { (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} 𝑒 𝑆’ = {(1, 0), (1, 1)}? 
Solução: 𝑇(1, 0, 0) = (1, 0) = 1 (1, 0) + 0(1, 1) 
 𝑇(0, 1, 0) = (1, 1) = 0 (1, 0) + 1(1, 1) 
 𝑇(0, 0, 1) = (0, 1) = − (1, 0) + 1(1, 1). 
 Logo, [𝑇]𝑠′
𝑠 = (
1 0 −1
0 1 1
) 
Exemplo: Seja 𝑇: ℝ3 → ℝ2) definida por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑧, 𝑥 + 𝑦). Determine a matriz de 𝑇 em 
relação às bases B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} do R3 e C = {(1, 3), (2, 5)} do R2. 
Solução: 𝑇(1, 1, 1) = (1, 2) = 𝑎1(1, 3) + 𝑏1(2, 5) 
 𝑇(1, 1, 0) = (0, 2) = 𝑎2(1, 3) + 𝑏2(2, 5) E [𝑇]𝐶
𝐵 = (
𝑎1 𝑎2 𝑎3
𝑏1 𝑏2 𝑏3
) 
 𝑇(1, 0, 0) = (0, 1) = 𝑎3(1, 3) + 𝑏3(2, 5) 
 {
a1 + 2b1 = 1
3a1 + 5b1 = 2
⇒ a1 = −1 e b1 = 1 
 {
a2 + 2b2 = 0 
3a2 + 5b2 = 2
⇒ 𝑎2 = 4 𝑒 𝑏2 = −2 Portanto, [𝑇]𝐶
𝐵 = (
−1 4 2
1 −2 −1
) 
 {
a3 + 2b3 = 0 
3a3 + 5b3 = 2
⇒ 𝑎3 = 2 𝑒 𝑏3 = −1 
 
Exemplo: Sejam [𝑇]𝐶
𝐵 = (
1 2 3
0 1 0
), 𝐵 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 2)} e 𝐶 = {(1, 0), (1, 1). 
a) Determine 𝑇(1,3,4) 
Solução: [(1,3,4)]𝐵 = (
1
1
2
) 
 [𝑇(1,2,4)]𝐶 = (
1 2 3
0 1 0
) (
1
1
2
) = (
9
1
) 
 𝑇(1,3,4) = 9(1,0) + 1(1,1) = (10,1) 
b) Determine 𝑇: ℝ3 → ℝ2 
Solução: Da definição de matriz decorre que devemos ter: 
 𝑇(1, 0, 0) = 1(1,0) + 0(1, 1) = (1, 0) 
 𝑇(0, 1, 0) = 2(1, 0) + 1(1, 1) = (3, 1) 
 𝑇(0, 1, 2) = 3(1, 0) + 0(1, 1) = (3, 0) 
 
Seja (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3. 
 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎(1, 0, 0) + 𝑏(0, 1, 0) + 𝑐(0, 1, 2) = (𝑎, 0, 0) + (0, 𝑏, 0) +
 (0, 𝑐, 2𝑐) 
 = (𝑎, 𝑏 + 𝑐, 2𝑐) 
 ⇒ {
𝑎 = 𝑥
𝑏 + 𝑐 = 𝑦
2𝑐 = 𝑧
⇒ 𝑎 = 𝑥; 𝑏 = 𝑦 −
𝑧
2
 e 𝑐 = 
2
z
 
Logo: 
 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑇(1, 0, 0) + 







2
z
y
𝑇(0, 1, 0) + 






2
z
𝑇(0, 1, 2) 
 = 𝑥(1, 0) + 







2
z
y
(3, 1) + 






2
z
(3, 0) 
 = (𝑥 + 3𝑦, 𝑦 − 
2
z
) 
 
Exercício: Determine a matriz de 𝑇: ℝ2 → ℝ2 em relação às bases indicadas: 
c) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (2𝑥, 3𝑦 – 𝑥) e base canônica 
d) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (3𝑥 – 4𝑦, 𝑥 + 5𝑦) e base 𝑆 = {(1, 2), (2, 3)} 
Exercício: Determine 𝑇: ℝ2 → ℝ2 cuja matriz em relação à base 𝑆 = {(1, 1), (1, 2)} é (
1 0
1 2
). 
Exercício: Seja 𝑇: ℝ3 → ℝ2 definida por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑧, 𝑦 – 2𝑧). Determine [𝑇]𝐶
𝐵 sendo 𝐵 =
 {(1, 2, 1), (0, 1, 1), (0, 3, −1)} e 𝐶 = {(1, 5), (2, −1)}.