MTM5163 - Cálculo C - Luiz Alberto Radavelli - 2015.2 - Prova3

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Departamento de Matemática
Prof. Luiz RADAVELLI
Prova 3
MTM5163 - Cálculo C
Instruções:
• Prova individual;
• Interpretação das questões também fazem parte da avaliação;
• Detalhes, justi�cativas, das resoluções também farão parte da avaliação;
• Você pode deixar as respostas na forma de integral de�nida, mas caso a integral
admita uma forma fechada você deveria usar essa forma;
• Organize suas resoluções. Você pode fazê-las à lápis.
• Horário da prova: 07:30 as 09:05. nota
Aluno(a): Matrícula:
1. (1,0 pontos) Mostre que as funções f(x) = ex e f2(x) = x ex são linearmente independentes.
2. (2,5 pontos) Para cada EDO dada, diga qual o tipo conforme a tabela à direita, o grau e a ordem. Se
você encontrar alguma EDO de Riccati e/ou alguma EDO de Bernoulli e/ou EDO de Lagrange, diga qual o
procedimento para a sua resolução (não há necessidade de resolvê-la).
EDO 1 xy′ + y = y2 ln x
EDO 2 y′ = 3y − y2 − 2
EDO 3
(
d2y
dx2
)3
− 3
(
dy
dx
)4 d2y
dx2
− 2y = 6x
EDO 4 d
4y
dx4
+ 3d
3y
dx3
+ 4d
2y
dx2
− 5dy
dx
= 2y
EDO 5 y = x(y′)2 − (y′)2
(1) EDO linear
(2) EDO não-linear
(3) EDO de Riccati
(4) EDO de Bernoulli
(5) EDO de Lagrange (Clairaut)
3. (2,0 pontos) Determine a solução da EDO não homogênea y′′ + 4y′ + 3y = x + 4, com y(0) = 1 e
y′(0) = 0.
4. (1,0 pontos) Determine a solução da EDO homogênea de ordem zero y′ = x
2 − y2
xy
, com y(1) = 2.
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5. (2,0 pontos) Resolva as seguintes EDO’s:
(a) y′ + 3x2y = £enx e−x3 , com y(0) = 1 (b) 2xy − 9x2 + (2y + x2 + 1) y′ = 0
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Aluno(a):
6. (1,5 pontos) Utilizando a transformada de Laplace, resolva a EDO
y′′ + y = e−t co¢ 2at, a > 0.
Não há necessidade de resolver a questão na íntegra. Se você quiser, determine a função Y no domínio de
s e, em seguida, diga quais os procedimentos que devem ser seguidos para se obter a solução do problema
original y(t).
Boa prova!
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