1a. Lista de Exercícios MD_2013

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Lista de Exercícios - Parte: Lógica e Teoria de Conjuntos 
 
 
 
1- i) Sejam as seguintes proposições: 
p: “todos gostam de matemática” 
q: “Não existe povo ateu ”; 
r: “ Todo mundo foi tirou nota vermelha na 
prova de Lógica ” 
ii)- p: “27 -1 é um número primo” 
 q: “(-2)3 + 5 = 13 ”; 
 r: “ 125 é divisível por 25 ” 
 
 
 
Determine o valor lógico da proposição 
a) ( p’ ∧ q ↔ r )’ ; b) p’ ∧ q → r; c): ( p ∨ r ↔ q ) ⇔ ( p ∨ q) ∧ ( p → q). 
 
 b) determine os valores lógicos das proposições p e q , sabendo que o valor lógico de p ↔ q 
é a Verdade (p ↔ q = V), e o valor lógico de p ∧ q é a Falsidade (p ∧ q = F) . 
 
2.- Construa a tabela verdade da fórmula abaixo. Identifique se é tautologia, contradição ou 
contingência. [(p  q) ( p ∨ q’ )]’ ∧ ( p’ ∨ q). OBS: p´ negação de p. 
 
Definição: Uma seqüência da forma P1 , P2 ,P3 ,... , Pn , Q (n ≥ 0) de fórmulas onde os Pi , 0< i < n, denominadas 
premissas e a última fórmula Q, conclusão, é chamada de argumento. 
 
 Dizemos que o argumento é válido, se e somente se, sendo as premissas Pi´s verdadeiras então a conclusão Q 
também é verdadeira. Equivale a mostrar que P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧... ∧ Pn → Q é uma tautologia. Se lê : "B decorre de P1 
, ... , Pn " ou ainda, "Q se infere de P1 , ... , Pn ." 
 
Exemplo1: O argumento p, q→ r, ∼ r, ∼ q ou [p ∧ (q→ r) , ∧ ∼ r  ∼ q] é válido pois a fórmula 
[ p ∧ (q → r) ∧∼ r ] → ∼ q é uma tautologia. Verifique 
3.- É um argumento válido? Justifique (as premissas são verdadeiras implicam que a conclusão também é verdadeira): 
Se, eu casar com viúva rica, serei rico. Eu casei com viúva rica. Logo, sou rico. 
 
b.- Justifique cada passo a validade do 
argumento:∼p → q , q →∼ r , r ∨ s , ∼ s → p 
Demonstração : 
1. ∼p → q premissa 
2. q → ∼ r premissa 
3. r ∨ s premissa 
4. ∼p → ∼r 1.2. ? 
5. ∼r → s 3. ? 
6. ∼p → s 4.5. 
7. ∼s → ∼∼p 6. 
8. ∼s → p Conclusão 
 
c.- Justifique os passos da prova, por absurdo, 
a validade do argumento 
∼p → q , q → ∼ r , r ∨ s , ∼ s → p 
1.∼p → q hipótese 
2. q → ∼ r hipótese 
3. r ∨ s hipótese 
4. ∼(∼ s → p) hipótese adicional 
5.∼p →∼ r 1.2. ? 
6. ∼r → s 3. 
7. ∼p → s 5.6. 
8. ∼s → p 7. 
9. ∼(∼ s → p) ∧ (∼ s → p) 4. 8. 
10. contradição 
 
 
 Lista de Exercícios - Parte: Lógica e Teoria de Conjuntos 
 
 
 
4.- Demonstrar a validade do argumento 
1. ∼p → q , q →∼ r , r ∨ s , ∼ s → p 
2. (p → q ) ∧ ( ~p → q ) → q 
3. (~p → q ) ∧ ( q → r ) ∧ ( r → s)  (~p → s) (*) 
4. ( A ∨ B) ∧ ( A → C) ∧ (B → C) → C 
5. (~p → q ) ∧ ( q → r ) ∧ ( r → s) ∧ ~p → s (*) 
5.- Verifique que é uma tautologia: A → (B →C) ⇔ (A ∧ B) → C. A seguir, usando uma 
serie de equivalências, verifique: A → (B →C) ⇔ (A ∧ B) → C 
6.- Mostrar as identidades 
i.- A B B A∩ = ∩ 
ii.- ( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ 
iii.- ( )cA B∩ = c cA B∪ 
iv.- ( ) ( )A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩ 
v.- prove se, x≠0 ∧ y≠0 → xy≠0 
A B B A∪ = ∪ comutativa 
( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪ distributiva 
( )cA B∪ = c cA B∩ Leis de Morgan 
( ) ( )A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪ associativa 
Usar a contraposição e SD 
 
7)- Enumere se possível os elementos dos conjuntos a seguir. Calcule ainda o complementar de 
cada um. Se não for possível, justifique. 
a) A = {x | x ∈ N/ -3< x < 8}, b).- B= {x | x ∈ R , 2 < x ∧ x < 8} 
c) C = { x ∈ Z | x = y - 3 ∧ y ∈ {1, -4, -2, 3}} 
d) D = {x | x é natural, x > 0 ∧ x < 10 ∧ x ∉ C}, em que C foi definido no item anterior. 
8- Sejam os conjuntos numéricos 
i) A={ x ∈ N / 9x2 + 4x – 8 = 3x +2 } e B={ x ∈ N / 0< x < 7 }. 
ii) A={ x ∈ N / 5x2 + 4x – 8 = x} e B={ x ∈ N / 0< x < 6 }. 
Portanto, para cada caso, podemos afirmar que 
a) A = B ou A= φ ou A ⊂ B ou B ⊂ A? 
b) A é um conjunto unitário? 
c) A ∩ B = φ ou A - B = φ? ou B ⊂ A ou A ⊂ A ∩ B. ? JUSTIFIQUE 
 
9.- i.- Mostre que o produto xy í impar se, e somente se, x e y são inteiros impares. 
ii.- Mostre que a soma de três inteiros consecutivos é divisível por três. 
iii.- Mostre que o quadrado de um numero impar é igual a 8k+1,para algum k 
iv.- A diferença entre dois cubos consecutivos é impar. 
v.- A soma de um numero inteiro com seu quadrado é par 
vi.- Se x é positivo então x+1 também o é. ( Use a contraposição) 
vii.- O numero n é impar se, e só se, 3n +5 é par. 
vii.- Se o produto xy não é divisível por n, então nenhum deles é divisível por n.