2a. Lista de Exercicios MD_2013

Prévia do material em texto

Segunda Lista de Exercícios de Matemática Discreta 
 
I) 1.- Converta os números para a base indicada. Complete a tabela 
Base 10 Base 2 Base 3 Base 5 Base 7 Base 8 Base 16 
0 
1 
2 
3 
. 
. 
49 
50 
60 
70 
80 
90 
100 
200 
2.- Converta os números para a base indicada. Complete a tabela 
n Base 2 Base 10 Base 8 Base 16 
100012 - 
3B7 
2518 
6AD16 
3217658 
56208 
110101011012 - 
4F5H 
3.- Efetuar as seguintes operações na base 2. Conferir os resultados 
100101 1001 11110 1010.11 101101 101101 11101 1111 
 100110 1010 11111 1001.01 -1111 - 11101 - 11111 * 101 
+100111 +1011 +101101 +1100.00 
 
 
II) Matrizes: 1.- Dadas as matrizes A, B, 3x3 a seguir 
2 3 1
5 2 1
1 3 1
A
− − 
 = − 
 − − 
; 
2 11 1
3 2 1
1 7 5
B
− 
 = − − 
 − − 
; 
 Calcule 
i) A+ B, ii) 2A - 3B, iii) AB e BA, iv) (AB)t , Bt At , v) ½ ( A + At), vi) ½ ( A - At) 
ii) Dada a matriz A= 
7 4
9 5
 
 − − 
. Mostre por indução que An = 
1 6 4
9 1 6
n n
n n
+ 
 − − 
 
 Segunda Lista de Exercícios de Matemática Discreta 
2.- Sendo 
1 1
2 2
1 1
2 2
A
− 
 
=  
−  
 
. Calcule A2 , A3 , o que deve ser An ?. 
c) Sendo 
1 1
1 1
A
− 
=  − 
 e 
1 1
1 1
B  =  
 
 calcule A2 . Se A fosse simétrica ainda valeria o resultado. 
Calcule ainda, B2 , B3, em gera que pode-se concluir. 
 
III) 1.- Usando algoritmo de Euclides calcule o MDC(a,b) = d , e expressar na forma de Bezout, ie, 
d= λa + ηb, se: 
 
i) a= 420, b= 66; ii) a= 89, b= 55; iii) a= 750, b = 105, iv) a =116, b= 84. v) a=100, b=36. 
 
2.- Prove a fórmula de Pascal, para 1 ≤ k ≤ n-1, 
 nCk = n-1Ck-1 + n-1Ck 
3.- Use o teorema binomial e expanda a expressão a seguir 
 i) ( 2x – 3)4 , ii) ( 2 – x/3)4 , iii) ( 2x – 
x2
1
)4 , iv) ( x +
x
1
)4 
 
4.- Encontrar a parcela indicada na expansão binomial 
 i) o coeficiente do quinto monômio de ( 2x – 3)7 
 ii) o termo constante de ( x +
x
1
)6 e de ( x – 
x
1
)8 , iii) desenvolver ( 1 +
x
1
)4 
5.- Considere o conjunto A={ 1, 2, 3, ....400}. 
i) Quantos números não são quadrados perfeitos, ii) quantos não são múltipos de 4. 
iii) quantos não são quadrados perfeitos nem múltiplos de 4. 
 
7.- Encontre o número de permutações simples da palavra LOVE. 
 nas quais L esta em 1º lugar ou O está em 2º lugar . 
 Sugestão faça A1 ={ permutações em que L esta em 1º lugar}, A2 = etc, usar o principio de inclusão e exclusão. 
 
12.- Encontrar o numero de soluções, em inteiros positivos de X1 + X2 + X3 = 25, com X1 ≤ 4 , X2 ≤ 6, X3 ≤ 5. 
 
13.- Encontrar o numero de soluções de X1 + X2 + X3 = 1, em inteiros entre -2 e 2 inclusive. 
 
14.- Encontrar o numero de soluções de X1 + X2 + X3 = 1, em inteiros entre -3 e 3 inclusive. 
 
 [A] é relacionado ao principio da casa dos pombos. 
 1.- a.- dados 3 ou mais números inteiros existirão necessariamente, pelo menos 2 cuja diferença é 
divisível por 2. 
 b.- dados 4 ou mais números inteiros existirão necessariamente, pelo menos 2 cuja diferença é 
divisível por 3. 
2.- Mostre que num quadrado de lado 2, ao considerar 5 pontos quaisquer existem pelo menos dois 
pontos que cuja distancia é menor ou igual a 2 . 
 3.- Numa festa de aniversario com 61 crianças pelo menos 6 nasceram o mesmo mês 
4.- Mostre que em qualquer grupo de 
a.- 30 pessoas pelo menos 5 nasceram no mesmo dia da semana 
b.- 50 pessoas pelo menos 8 nasceram no mesmo dia da semana 
a.- 20 pessoas pelo menos 3 nasceram no mesmo dia da semana. 
 
5.- a.- dados 3 ou mais números inteiros existirão necessariamente, pelo menos 2 cuja diferença é 
divisível por 2. 
 b.- dados 4 ou mais números inteiros existirão necessariamente, pelo menos 2 cuja diferença é divisível 
por 3. c.- dados 6 ou mais números inteiros existirão necessariamente, pelo menos 2 cuja diferença é 
divisível por 5. 
	i) a= 420, b= 66; ii) a= 89, b= 55; iii) a= 750, b = 105, iv) a =116, b= 84. v) a=100, b=36.