Motivação - Autovalores e Autovetores

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Cieˆncia e Tecnologia
Motivac¸a˜o - Autovalores e Autovetores
Fabiana T. Santana
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 1 / 11
Refereˆncias Bibliogra´ficas:
1. H. Anton, C. Rorres. A´lgebra Linear com Aplicac¸o˜es. 8a ed.
Porto Alegre: Bookman, 2001.
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Observe as elipses abaixo:
Focos sobre os eixos xy
x2
4
+
y2
9
= 1 ou
9x2 + 4y2 − 36 = 0
Focos sobre os eixos x′y′
(Rotacionada)
5x2 − 4xy + 8y2 − 36 = 0
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Definic¸a˜o 0.1
As formas quadra´ticas sa˜o func¸o˜es da forma
a1x
2
1 + a2x
2
2 + . . .+ anx
2
n + f(x)
onde f(x) e´ a soma de todos os termos poss´ıveis do tipo akxixj para
i < j.
Exemplo 0.1
(a) Forma quadra´tica nas varia´veis x1 e x2:
a1x
2
1 + a2x
2
2 + a3x1x2
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Definic¸a˜o 0.2
A equac¸a˜o
ax2 + 2bxy + cy2 + dx+ ey + f = 0
onde a, b, . . . , f sa˜o nu´meros reais na˜o todos nulos e´ chamada equac¸a˜o
quadra´tica em x e y e
ax2 + 2bxy + cy2
e´ chamada forma quadra´tica associada. Os gra´ficos das equac¸o˜es
quadra´ticas em x e y podem ser: elipses, hipe´rboles, para´bolas e c´ırculos.
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Figura : Elipse ou c´ırculo cujas equac¸o˜es na˜o possuem produto misto.
Figura : Elipse rotacionada ou transladada cujas equac¸o˜es possuem produto
misto.
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Representac¸a˜o Matricial de Formas Quadra´ticas
Uma forma quadra´tica pode ser representada por
→
x
T
A
→
x,
onde
→
x e´ o vetor-coluna das varia´veis e A e´ uma matriz sime´trica cujas
entradas na diagonal aii sa˜o os coeficientes dos termos x
2
i e as entradas
aij e aji sa˜o a metade dos coeficientes dos termos xixj .
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Exemplo 0.2
(a) 9x2 + 4y2 − 36 = 0⇒ [x y] [9 0
0 4
] [
x
y
]
= 36
(b) 5x2 − 4xy + 8y2 − 36 = 0⇒ [x y] [5 2
2 4
] [
x
y
]
= 36
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9x2 + 4y2 − 36 = 0 ou [x y] [9 0
0 4
] [
x
y
]
= 36
O gra´fico e´ uma elipse em R2.
Base ortonormal de R2 e´ {(1, 0), (0, 1)}.
As entradas da diagonal da matriz indicam as intersec¸o˜es com os eixos
x e y.
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5x2 − 4xy + 8y2 − 36 = 0 ou [x y] [5 2
2 4
] [
x
y
]
= 36
A matriz na˜o fornece as intersec¸o˜es com os eixos.
Queremos encontrar uma base ortonormal de vetores
→
v1,
→
v2 para que a
matriz informe as intersec¸o˜es com os novos eixos x′ e y′ gerados
→
v1 e→
v2.
Colocando os vetores da base ortonormal
{(2/√5, 1/√5), (−1/√5, 2/√5)} nas colunas da matriz P , a mudanc¸a
de varia´veis
→
x= P
→
x′ dara´ origem a` nova equac¸a˜o[
x′ y′
] [4 0
0 9
] [
x′
y′
]
= 36.
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Problema
Como obter os vetores
→
v1 e
→
v2?
Qual e´ a relac¸a˜o das entradas da diagonal da matriz
[
4 0
0 9
]
com os
vetores
→
v1 e
→
v2?
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