Lista de Exercícios - Cálculo 1

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Centro Universitário Jorge Amado
Curso: Engenharias
Disciplina: Cálculo I
Professora: Renata Issa Vianna
Lista de exercícios
1) Esboce o gráfico de f , determine lim
x→a−
f(x), lim
x→a+
f(x) e, caso exista, lim
x→a
f(x):
a) f(x) =

3x− 2, se x > 1
2, se x = 1 (a = 1)
4x+ 1, se x < 1
b) f(x) =

x2 − 1, se x ≥ 1 e x 6= 2
1, se x = 2 (a = 2)
1− x, se x < 1
c) f(x) =
{
x2 − x, se x ≥ 0
−x, se x < 0 (a = 0) d) f(x) =
{
x+2
|x+2| , se x 6= −2
0, se x = −2 (a = −2)
2) Determine, se possível, a ∈ R, para que exista lim
x→x0
f(x), sendo:
a) f(x) =

3x− 2, se x > −1
3, se x = −1 (x0 = −1)
5− ax, se x < −1
b) f(x) =
{
(x2 − 4)(x− 2)−1, se x 6= 2
a, se x = 2 (x0 = 2)
3) Considere as funções do exercício 1. Verifique se f é contínua em x = a. Justifique.
4) Calcule os limites a seguir:
a) lim
y→−1
(−y5 − 3y4 + 12y2) b) lim
w→10
(logw − lnw) c) lim
x→1
ex(x3 − 4)
d) lim
x→pi
2
sen x
1+cosx
e) lim
x→2
∣∣∣x2−42−x ∣∣∣ f) limx→1 x3−1|x−1|
g) lim
x→ 1
2
2x2+3x−2
8x3−1 h)limx→2 e
(x4−16)(x3−8)−1 i) lim
x→1
√
x−1
x−1
j) lim
y→−1
1−y2
y+
√
2+y
k)lim
x→4
3−√5+x
1−√5−x l) limx→4
√
x−2√
x−4
5) Determine, se possível, as constantes a, b e c ∈ R, de modo que f seja contínua em x0,
sendo:
a) f(x) =
{
bx2 + 2, se x 6= 1
b2, se x = 1 (x0 = 1)
b) f(x) =

3x− 3, se x > −3
ax, se x = −3 (x0 = −3)
bx2 + 1, se x < −3
6) Esboce o gráfico de cada função f a seguir e determine o que se pede:
a) f(x) =
{
lnx, se x > 0
ex, se x ≤ 0
1
(i) lim
x→−∞
f(x), lim
x→0−
f(x), lim
x→0+
f(x), lim
x→0
f(x), lim
x→1
f(x), lim
x→−1
f(x), lim
x→e
f(x), lim
x→+∞
f(x);
(ii) Intervalos onde f é contínua.
b) f(x) =
{
(1
2
)x, se x > 0
1
x
, se x < 0
(i) lim
x→−∞
f(x), lim
x→0−
f(x), lim
x→0+
f(x), lim
x→0
f(x), lim
x→1
f(x), lim
x→−1
f(x), lim
x→+∞
f(x).
c) f(x) =

log 1
2
x, se x > 0
0, se x = 0
x−2, se x < 0
(i) lim
x→−∞
f(x), lim
x→+∞
f(x), lim
x→0
f(x), lim
x→1
f(x);
(ii) Estude a continuidade de f em x = 0.
7) Calcule:
a) lim
x→+∞
(2x5 + 4x2 − 3) b) lim
x→−∞
(4x3 − 2x2 + x− 5) c) lim
x→−∞
(−5ex)
d) lim
x→+∞
(
√
x2 − 3x+ x) e) lim
x→0+
(x2 + lnx) f) lim
x→+∞
1
1+2
1
x
g) lim
x→+∞
2x2−4x−25
18x3−9x2 h) limx→+∞ sen
(
2+x−pix2
12x−4x2
)
i) lim
x→+∞
( 1
pi
)x
3(x2−1)−1
j) lim
x→0
sen ax
x
k) lim
x→pi
sen x
x−pi
8) Calcule as constantes de modo que:
a) lim
x→3
x2−ax+b
x−3 = 5 b) limx→∞
(
ax− bx+3
x+1
)
= 5
9) Determine a derivada de cada uma das funções a seguir:
a) y = 2x4 − 3x2 + x− 3; b)x = 2(2z−1)√
3
; c) w = 3
4y
+ 2y( 3
√
y2) + 3√
y
d) u = t+5
t−7 ; e)y =
−5
6x3−1 + x
3.ln
√
pi; f) y = x
2
3 (2x
1
3 − 1);
g) y = 2x(x3 + x+ 1); h) y = (−2
5
)sen x+ 9sec x; i)y = xsen x+ cos x;
2
j) f(x) = 2sen x cos x+ 8tg x sec x; k) g(x) = sen x+cos x
sen x−cos x ; l) y
′ = e
x
sen x
.
10) Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f no ponto de abs-
cissa x0.
a) f(x) = 2x3 + 3x− 1, x0 = 1; b) f(x) = tgx; x0 = pi4 ; c) f(x) = cossec x;x0 = pi2 .
11) Determine as abscissas dos pontos do gráfico de f(x) = x3+2x2− 4x nos quais a reta
tangente é:
a) horizontal; b) paralela à reta 2y + 8x− 5 = 0.
12) Caso exista, determine o(s) ponto(s) da curva f(x) = 1
x
, no qual a reta tangente é
paralela à:
a) 1a bissetriz; b) 2a bissetriz.
13) Seja f(x) = b − (x2
16
). Determine a constante b de modo que a reta que passa pelos
pontos M(0, 5) e N(5
2
, 0) seja tangente ao gráfico de f .
14) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x2 − 3x e perpendicular
à reta 2y + x = 3.
15) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P (0, 2) e é tangente ao gráfico de
f(x) = x3. Ilustre a interseção construindo o gráfico.
16) Determine f ′(x) supondo g e h deriváveis e f(x) = (xh(x))
3
g(x)
, g(x) 6= 0.
Respostas
2) a) −10; b) lim
x→2
f(x) existe, independente do valor de a, Por isso, a pode ser um
número real qualquer.
3) a) Não é contínua em x = 1, pois não existe lim
x→1
f(x).
b) Não é contínua em x = 2, pois lim
x→2
f(x) 6= f(2).
c) É contínua em zero, pois lim
x→0
f(x) = f(0) = 0.
d) Não é contínua em x = −2, pois não existe lim
x→−2
f(x).
4) a) 10; b) 1 − ln 10; c) −3e; d) 1; e) 4; f) Não existe, pois lim
x→1−
x3−1
|x−1| = −3 e
3
lim
x→1+
x3−1
|x−1| = 3; g)
5
6
; h) e
8
3 ; i) 1
2
; j) 4
3
; k) −1
3
; l) 0.
5) a) b = −1 ou b = 2; b) a = 4 e b = −13
9
.
6) a) (i) 0, 1,−∞, não existe, 0, 1
e
, 1,+∞; (ii) (−∞, 0), (0,+∞).
b) (i) 0,−∞, 1, não existe, 1
2
,−1, 0.
c) (i) 0,−∞,+∞, 0; (ii) Não é contínua em zero, pois lim
x→0
f(x) 6= f(0).
7) a),d) +∞; b),e) −∞; c),g),i) 0; f) 1
2
; h)
√
2
2
; j) a; k) −1.
8) a) a = 1, b = −6; b) a = 0, b = −5.
9) a) y′ = 8x3 − 6x+ 1; b) x′ = 4√
3
; c) w′ = − 3
4y2
+ 10
3
( 3
√
y2)− 3
2
√
y3
; d) u′ = − 12
(t−7)2 ;
e) y′ = 90x2
(6x3−1)2 + 3x
2ln
√
pi; f) y′ = 2− 2
3( 3
√
x)
; g) y′ = 2xln 2(x3 + x+ 1) + 2x(3x2 + 1);
h) y′ = −(2
5
)cos x+ 9sec x tg x; i) y′ = xcos x; j) f ′(x) = 2cos 2x+ 8sec x(2tg2 x+ 1);
k) g′(x) = −2(sen x− cos x)−2; l) y′ = ex(sen x−cos x)
sen2 x
.
10) a) t : 9x−y−5 = 0 e n : x+9y−37 = 0; b) t : y−1 = 2(x− pi
4
) e n : y−1 = −1
2
(x− pi
4
);
c) t : y = 1 e n : x = pi
2
.
11) a) x = −2, x = 2
3
; b) x = 0, x = −4
3
.
12) a) Não existe; b) (1, 1), (−1,−1).
13) b = −11.
14) t : y = 2x− (25
4
).
15) t : y = 3x+ 2.
16) f ′(x) = [3(xh(x))
2.(h(x)+xh′(x))].g(x)−(x.h(x))3.g′(x)
g(x)2
.
4